2022-2023学年江苏省常州市金坛区金沙高级中学高二下学期5月教学质量检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省常州市金坛区金沙高级中学高二下学期5月教学质量检测数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市金坛区金沙高级中学高二下学期5月教学质量检测数学试题

一、单选题
1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.
【详解】由题意，得，
所以，则复数的虚部为．
故选：．
2．已知向量，，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.
【详解】若，则，所以；
若，则，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
【答案】A
【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有种，计算即可.
【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.
故选：A
4．在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算，求出，得到的值，再对各选项分析判断即可求出结果.
【详解】因为是线段上一点，满足，所以，
又是线段的中点，所以，
所以，
所以，故，

故选：B.
5．已知多项式，则（    ）
A．11 B．74 C．86 D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可.
【详解】对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
所以.
故选：B.
6．已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.
【详解】圆锥的高为，如图，

由可得：，∴，
∴,
圆柱侧面积，
圆锥侧面积，.
故选：D．
7．北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（    ）
A．0.45 B．0.14 C．0.75 D．0.8
【答案】C
【分析】根据题意，由全概率公式，代入计算即可得到结果.
【详解】设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，则，且与互斥，
根据题意得：，，，
由全概率公式得，
故选：C．
8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ）．

A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果.
【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，，

如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，
此时，，，，
故的最小值为.
故选：B.

二、多选题
9．已知向量，下列结论中正确的是（    ）
A．若//，则
B．若，则与的夹角的余弦值为
C．当时，在上的投影向量为
D．当时，与的夹角为锐角
【答案】BC
【分析】根据向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】对于A：若//，则，解得，故A错误；
对于B、C：若，则，
可得，
所以与的夹角的余弦值为，故B正确；
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D：与的夹角为锐角，等价于，
解得且，故D错误；
故选：BC.
10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种
B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种
C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种
D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种
【答案】BCD
【分析】对于A：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.
【详解】对于选项A：可知有三种可能：
甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种；
甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种；
甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种；
不同的排法共有种，故A错误；
对于选项B：可知有四种可能：
甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；
甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；
甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；
甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；
不同的排法共有种，故B正确；
对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种；
若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种；
不同的排法共有种，故C正确；
对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种；
若有小区没有人去，则有两种可能：
所有人去了一个小区，则不同的排法有种；
所有人去了两个小区，则不同的排法有种；
不同的排法共有种，故D正确；
故选：BCD.
11．下列结论正确的有（    ）
A．若随机变量，满足，，则
B．若样本数据（i=1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
C．若随机变量，且P（ξ<6）=0.84，则P（3<ξ<6）=0.34
D．若根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到的值越小，则X与Y相关性越强
【答案】BC
【分析】根据，则，可判断A；利用正态分布的性质可判断B；根据回归方程的性质可判断C；根据和分类变量相关性的关系可判断D，
【详解】对于A，若，则，所以若，则，故错误；
对于B，若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点 ，正确；
对于C，若随机变量，且，则，所以，故正确；
对于D，若根据分类变量X与Y的成对样本数据，值越大，则X与Y相关性越强，错误.
故选：BC.
12．如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上总会有一点，使得平面
C．当三棱锥的体积最大时，
D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BC
【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A；取中点，连接，可证明平面判断B；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时平面，进而可证明平面得判断C；过作，过点作交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关系求解得可判断D.
【详解】解：对于A选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故错误；

对于B选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；

对于C选项，设到平面的距离为，因为且，
所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，故正确；
对于D选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，过点作交于，如图所示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，即，
在中，，即，进而解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误.

故选：BC

三、填空题
13．某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为 ．
/万件
1
2
3
4
/万件
3.8
5.6

8.2
【答案】6.4/
【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据的值.
【详解】由题意及表知，
，，
∵回归方程是，
∴，
∴．
故答案为：6.4.
14．某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为 ．
【答案】
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以90分以上同学人数为人.
故答案为：.
15．在中，，且，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据平面向量的基本定理和向量的数量积定义以及运算律即可求解.
【详解】因为，
所以，
又，在中，，则
所以，
即，
所以或．
故答案为：或.

四、双空题
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有 个面，其体积为 .

【答案】 26
【分析】由图形确定正方形和正三角形个数即可，由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，分别求出大小正方体及三棱柱的体积，即可得解.
【详解】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，
则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；
所以该半正多面体共有个面，
如图所示，
因为半正多面体的棱长为1，所以，又为等腰直角三角形，
故，所以正方体棱长为，
由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，
其中三棱柱的高1，底面为斜边为的等腰直角三角形，
小正方体的棱长为，大正方体的棱长为，
所以所求体积


故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，是解决本题的关键.

五、解答题
17．已知，，且与夹角为，求：
(1)；
(2)与的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用来计算求；
（2）设与的夹角为，先求出，再利用向量夹角公式来计算即可.
【详解】（1）由已知可得，
；
（2）设与的夹角为，
又，
.
18．若复数，为虚数单位，为实数.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；
（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为负数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由为纯虚数得，解得；
（2）复数，
因为复数位于第三象限，所以，
即，解得．
故的取值范围为.
19．已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：
(1)的值；
(2)展开式中的常数项；
(3)展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据二项式系数和，可解方程求得的值；
（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将代入通项中即可得到常数项；
（3）设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项.
【详解】（1）展开式的二项式系数和为，，解得：.
（2）展开式通项为：，
令，解得：，则展开式常数项为.
（3）设展开式第项的系数最大，
则，即，解得：，
又，，展开式中系数最大的项为.
20．国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：

保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
70
30
100
女性
40
60
100
合计
110
90
200
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
附：

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．
【答案】(1)认为保护动物意识的强弱与性别有关，理由见解析
(2)分布列见解析，．

【分析】（1）根据公式计算，与临界值进行比较，可得结论；
                
（2）根据X的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式计算数学期望.
【详解】（1）零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，
由题意，．            
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
所以，X的所有可能取值为0，1，2，3，                                
，                                                    
，                                                
，                                        
，                                                
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




．
21．如图，在三棱柱中，.

（1）证明：平面；
（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.
（2）解法1通过作辅助线，找到直线与平面所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面的一个法向量，然后按公式计算即可.
【详解】（1）    证明：如图，连接

由，所以为等边三角形
因为，
所以，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解法1：如图，设E为的中点，连结，作于F.

因为平面，，所以平面，
又平面，所以.
在中，，
D为的中点，所以，又，所以平面.
因为，所以平面，所以，
又因为平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为.
在中，，
所以，所以.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
解法2：如图，以C为原点，以射线分别为x，y轴正半轴，建立空间直角坐标系，

则

因此，
.
设平面的法向量为，
由，得
可取.
设直线与平面所成角为，
则.
因此，直线与平面所成角的正弦值是.
【点睛】方法点睛：
证明线面平行的方法：（1）根据线线平行得到线面平行（线面平行判定定理）；（2）根据面面平行得到线面平行；（3）向量法；
线面角的一般求法；（1）根据定义找到线面角；（2）向量法.
22．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了解研发资金的投资额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投资额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
投资额
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
(1)求年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程；
(2)在（1）的条件下，若投资额为16百万元，估计年收入的附加额；
(3)若年收入的附加额与投资额的比值大于1，则称对应的投资额为“优秀投资额”，现从上面8个投资额中任意取3个，用X表示这3个投资额中“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．
附：，，．
在线性回归方程中，，．
【答案】(1)
(2)12.325百万元
(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据公式计算可得结果；
（2）将代入可求出结果；
（3）根据超几何分布的概率公式计算出概率可得分布列，根据期望公式可得数学期望.
【详解】（1），，
得，
又，所以，
所以年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程为．
（2）由（1）知，所以当时，，
所以当投资额为16百万元时，估计年收入的附加额为12.325百万元．
（3）8个投资额中，“优秀投资额”的个数为5，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P




故．