2022-2023学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，再求并集即可.

【详解】由题可知：，

而，

所以.

故选：C

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据特称命题改写为否定形式格式判断即可.

【详解】特称命题改写为否定形式格式为特称量词改为全程量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为.

故选：C

3．者关于x的不等式的解集为，则实数m的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由根与系数的关系即可求解.

【详解】由题意可知：

和是方程的两个根，

由韦达定理可知：，解得.

故选：D

4．若集合，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的定义再结合子集关系即可得到答案.

【详解】当时，，满足充分性.

，，所以.

当时，，

因为，所以或.

当时，，此时，满足.

所以，或或，不满足必要性.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．若均为正数，且，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】因为均为正数，且，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以，的最小值等于.

故选：B

6．已知函数为偶函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，判断函数在上的单调性，再结合奇偶性即可判断作答.

【详解】因当时，恒成立，则函数在上单调递减，

而，因此，又函数为偶函数，有，

因此，所以.

故选：C

7．若函数和分别由下表给出：

则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的表格，依次代入计算判断作答.

【详解】依题意，，，，

所以不等式的解集为.

故选：D

8．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可.

【详解】因为为奇函数，所以关于对称，

所以关于对称，即.

当时，，

当时，，，

所以.

因为，

所以或，

解得，，，，

所以.

故选：A

二、多选题

9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BC

【分析】利用相同函数的定义，逐一分析各个选项中的两个函数的定义域、对应法则即可判断作答.

【详解】对于A，函数，定义域均为R，而，，显然它们的对应法则不同，A不是；

对于B，函数，定义域均为R，且，它们的对应法则相同，B是；

对于C，函数，定义域均为，且，它们的对应法则相同，C是；

对于D，函数定义域，而定义域为R，D不是.

故选：BC

10．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A，因为，当且仅当等号成立，故的最大值为，故正确；

对于B，，当且仅当等号成立，故的最大值为，而不是最小值，故错误；

对于C，，当且仅当等号成立，即的最小值为4，故正确；

对于D，，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故正确；

故选：ACD

11．以下运算中正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．若，则 D．

【答案】ABD

【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可.

【详解】对选项A，，故A正确.

对选项B，，故B正确.

对选项C，因为，所以.

因为，

所以，故C错误.

对选项D，

，故D正确.

故选：ABD

12．若（其中a为整数，），则把整数a叫做离实数x最近的整数，并用符号“”表示“离实数x最近的整数为a”.设函数，下列结论正确的为（    ）

A． B．

C．函数为偶函数且其值域为 D．函数图象的对称轴方程为

【答案】BD

【分析】对于A、B选项根据定义计算即可；对于C.通过函数解析式看以看出代表的含义是在数轴上实数x与整数a的距离，故可取；对于D证明是函数对称轴只需要证明即可.

【详解】对于A.由题可知，得；，得，故A错误；

对于B.，得，

，得，，故B正确；

对于C. 代表的含义是在数轴上实数x与整数a的距离，根据定义可知此距离可以等于，如当时，，故C错误；

对于D.当时，，所以函数图象的对称轴方程为，故D正确.

故选:BD

三、填空题

13．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.

【答案】120或130

【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可.

【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，

所以，旅馆每晚的收入为元，

因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，

所以，，即，解得，

因为是10的整数倍，

所以，每个床位的定价应为120或130元.

故答案为：120或130

14．设，且满足且，则______.

【答案】3

【分析】根据集合相等得到，即可得到答案.

【详解】因为且

，

所以，

所以

，即.

故答案为：3

15．已知函数，若函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题知，再解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数是定义在上的减函数，

所以，，解得，

所以，实数的取值范围是.

故答案为：

16．若，则的最小值为______.

【答案】

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，所以，

所以

.

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值.

(1)；

(2).

【答案】(1)1

(2)4

【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可.

（2）根据对数的运算性质求解即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

18．设全集，集合，.

(1)求和；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）解分式不等式化简集合，再利用集合的交并补运算与数轴法即可求解；

（2）先解二次不等式化简集合，再由题意条件得，利用数轴法即可求得的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以或，

又因为，

所以，

（2）因为，

又因为，所以，即，

则，得，

所以实数m的取值范围为.

19．设命题，命题.

(1)若命题p为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题p，q为一真一假，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得，再解不等式即可；

（2）由题知当命题q为真时，，再结合（1）分p为真q为假和p为假q为真两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：因为命题为真命题，

所以，即，解得或，

所以，实数的取值范围为

（2）解：由（1）知，当命题为真时，或，

所以当命题p为假时，，

又因为命题，

当且仅当时等号成立，

所以当命题q为真时，，

所以，当命题q为假时，

又因为命题p，q为一真一假，

所以p为真时q为假时，实数的取值范围是

当p为假时q为真，实数的取值范围是，

综上，实数的取值范围为

20．若函数是定义在上的奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)用定义证明：函数在上是递减函数；

(3)若，求实数t的范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据题意得，进而解方程得，再检验满足奇函数性质即可；

（2）根据函数单调性的定义证明即可；

（3）根据奇偶性得，再根据函数单调性解即可.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，

又因为，所以解得，

当时，，

经检验，此时满足，即函数为奇函数，符合题意，

所以，所求函数的解析式为

（2）证明：设，

则，

因为，所以，

所以，即，

则函数在上是递减函数

（3）解：因为，即，

又因为由（2）知函数在上是递减函数，

所以，即，解得:，

所以，所求实数的范围为

21．金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，（万元）；当年产量不少于45台时，（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.

(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；

(2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

【答案】(1)

(2)当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）

【分析】（1）根据题意，分和求解即可；

（2）结合（1），根据二次函数的性质和基本不等式求解最值即可.

【详解】（1）解：当时，

，

当时，

，

综上所得，

（2）解：当时，

，

当时，，

当时，

当且仅当时，即时，上式取等号，即.

综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）

22．已知二次函数满足以下①②③三个条件：

①当时，，

②当时，，

③当时，.

(1)求函数的解析表达式；

(2)若存在实数，使得当时，都有成立，则求符合条件的的最大值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）由题知二次函数图像的对称轴为，，，再根据题意待定系数求解即可；

（2）由题知，，进而得，再令得的最大值为，进而得答案.

【详解】（1）解：由①得，因为当时，，

所以二次函数图像的对称轴为，

又二次函数的对称轴方程为，

所以，即，①

由②得，当时，，

所以当时，得到，即，

所以，②

由③得，当时，，

所以，也即，③

由①②③联立得，解得，

所以，所求二次函数的解析式为

（2）解：存在实数，使得当时，都有成立，

所以，当时，有，即，解得，

而当时，有，即，

所以，，即，

令，则，

记，则，

所以，当时，，也即当时，

所以，所求符合条件的的最大值为1，

解法二：

因为存在实数，使得当时，都有成立，

所以，，即关于变量的不等式有实数解，

所以，，解得，

又因为，

所以，即所求符合条件的的最大值为1.