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吉林省白城市大安市2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）
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这是一份吉林省白城市大安市2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省白城市大安市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
4．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．如图，C、D是⊙O上直径AB两侧的点，若∠D＝75°，则∠ABC等于（ ）
A．35° B．25° C．20° D．15°
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角整标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ．
8．抛物线y＝﹣3（x+8）2的顶点坐标是 ．
9．如图所示，这个图案绕精它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 （写出一个即可）．
10．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 （用“＞”连接）．
11．数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝58°，则∠AOC＝ 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
16．在平面直角坐标系中，求抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标．
17．某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约423.5万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
（1）在图1中，画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到的△A1B1C1．
（2）在图2中，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称；
（3）在图3中，以AB为一边画出一个▭ABEF、使▭ABEF的面积是△ABC的面积的4倍．
20．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
21．如图，在⊙O中，B、C是AD的三等分点，弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
24．[猜想]如图1，在⊙O中，点C在优弧ACB上，连接AO、BO，得到圆心角∠AOB，发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，则∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]为证明图1中的结论，我们不妨使点O在∠ACB的边AC上，如图2．若BC＝OC，则∠AOB＝ 度；
[证明结论]请结合图2的特例探究，用图1证明[猜想]中的结论；
[结论应用]在图1中，若∠C＝65°，点P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
（1）求证：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度数；
[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE＝8，则△MNP的周长为 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，其对称轴是直线x＝2．点P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为m，m+3，设该抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的图象记为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P的纵坐标为2时，求点Q的坐标；
（3）当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，①求h与m之间的函数关系式；②当h＝5时，直接写出m的值．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．若抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
解：∵抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，
∴|a|＝1，
∴a＝±1．
故选：B．
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，即可判定方程实数根的情况．
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×16＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项符合题意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×1＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣5）＝20＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意．
故选：A．
4．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由旋转的性质可直接求解．
解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，
∴∠AOC是旋转角，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+10°＝40°，
∴旋转角度为40°，
故选：C．
5．如图，C、D是⊙O上直径AB两侧的点，若∠D＝75°，则∠ABC等于（ ）
A．35° B．25° C．20° D．15°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，根据圆周角定理由∠D＝75°可知∠CAB＝75°，再根据直角三角形锐角互余可得∠ABC的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝75°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠ABC＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．
解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为x＝，
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D选项正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角整标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ﹣3 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
8．抛物线y＝﹣3（x+8）2的顶点坐标是 （﹣8，0） ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标．
解：∵y＝﹣3（x+8）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣8，0），
故答案为：（﹣8，0）．
9．如图所示，这个图案绕精它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 90°（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解．
解：图形看作正方形，
而正方形的中心角为90°，
所以此图案绕旋转中心旋转90°的整数倍时能够与自身重合，
故α可以为90°（答案不唯一）（写出一个即可）．
故答案为：90°（答案不唯一）．
10．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＞y3＞y1 （用“＞”连接）．
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是y轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．
解：∵y＝﹣x2+5，
∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，
∴点（，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣，y3）在函数y＝﹣x2+5的图象上，
∵﹣4＜﹣＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案为：y2＞y3＞y1．
11．数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 5 cm．
【分析】设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，由垂径定理得O、C、D三点共线，则OC＝（R﹣2）cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，
则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 （4，1） ．
【分析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标．
解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝58°，则∠AOC＝ 116 度．
【分析】根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义求出∠ADC，再根据圆周角定理解答即可．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠CBE+∠ABC＝180°，∠CBE＝58°，
∴∠ADC＝∠CBE＝58°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝116°，
故答案为：116．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为 ﹣ ．
【分析】先用根与系数的关系求出AB＝2，再根据CD∥x求出CD，然后由AB+CD＝3得到关于c的方程，解方程求出c即可．
解：设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，
由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，
则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，
令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
∵CD∥x轴，
∴点D纵坐标为c，
当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，
解得：x＝2，或x＝0，
∴D（2，c），
∴CD＝2，
∵AB+CD＝3，
∴2+2＝3，
解得：c＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根．
解：x2﹣3x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．在平面直角坐标系中，求抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标．
【分析】令y＝0，得x的一元二次方程，解方程便可求得结果．
解：令y＝0，得x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝﹣1±，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0）或（1+，0）．
17．某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约423.5万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，利用该市2021年底绿化面积＝该市2019年底绿化面积×（1+这两年绿化面积的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，
依题意得：350（1+x）2＝423.5，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：这两年绿化面积的年平均增长率为10%．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．
【分析】由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，求出∠AEB可得结论．
解：由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝110°．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
（1）在图1中，画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到的△A1B1C1．
（2）在图2中，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称；
（3）在图3中，以AB为一边画出一个▭ABEF、使▭ABEF的面积是△ABC的面积的4倍．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用三角形面积公式和平行四边形的性质，把AB向上平移可得到满足条件的平行四边形．
解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；
（2）如图2，△A2B2C2为所作；
（3）如图3，▱ABEF为所作．
20．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
【分析】（1）建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A点坐标代入解析式求出a即可；
（2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间t．
解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴A（﹣10，0），C（0，4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），
把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴这个函数的表达式为：y＝﹣x2+4；
（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y＝﹣×52+4＝3，
此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
21．如图，在⊙O中，B、C是AD的三等分点，弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度数．
【分析】（1）根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解；
（2）根据圆周角定理及三角形三角形外角的性质求解即可
【解答】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：∵∠BAC＝25°，，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠BDA＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积．
【分析】（1）把点（﹣3，0）、（3，3）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组即可得到结论；
（2）根据平移规律得到D点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），
∴，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4），y轴交于点C（0，），
∵将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点D的坐标为（﹣2，2），
∴△ODC的面积为2×＝．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
【分析】（1）表示出矩形的长和宽可得出y和x的函数关系式；
（2）利用配方法和函数的性质求得最大面积．
解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为（40﹣2x）m，
∴y＝x（40﹣2x），
根据题意得：，
解得≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，≤x＜20，
∴当x＝时，y最大，最大值为187.5，
答：这个矩形场地面积的最大值为187.5m2．
24．[猜想]如图1，在⊙O中，点C在优弧ACB上，连接AO、BO，得到圆心角∠AOB，发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，则∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]为证明图1中的结论，我们不妨使点O在∠ACB的边AC上，如图2．若BC＝OC，则∠AOB＝ 120 度；
[证明结论]请结合图2的特例探究，用图1证明[猜想]中的结论；
[结论应用]在图1中，若∠C＝65°，点P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数．
【分析】[特例探究]由OC＝OB＝BC，可得△BOC是等边三角形，有∠BOC＝60°，即得∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°；
[证明结论]连接并延长CO交⊙O于D，由OA＝OC，得∠OAC＝∠OCA，即得∠AOD＝2∠OCA，同理∠BOD＝2∠OCB，故∠AOB＝2∠ACB；
[结论应用]分三种情况画出图形：①当P在优弧ACB上，AP＝BP时，连接OA，OB，由∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，得∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的顶角是65°；②当P在劣弧AB上，AP＝BP时，连接OA，OB，OP，由∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，得∠AOB＝130°，有∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝230°，而OA＝OP＝OB，证△OAP≌△OBP（SSS），即得∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，故∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的顶角是115°；③当AB＝PB时，可得∠PAB＝∠P＝65°，有∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的顶角是50°．
【解答】[特例探究]
解：如图：
∵OC＝OB＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
故答案为：120；
[证明结论]
证明：连接并延长CO交⊙O于D，如图：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOD＝∠OAC+∠OCA，
∴∠AOD＝2∠OCA，
同理∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝2（∠OCA+∠OCB）＝2∠ACB，
即∠AOB＝2∠ACB；
[结论应用]
解：①当P在优弧ACB上，AP＝BP时，连接OA，OB，如图：
∵∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，
∴∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的顶角是65°；
②当P在劣弧AB上，AP＝BP时，连接OA，OB，OP，如图：
∵∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝360°﹣130°＝230°，
∵OA＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，
∵OA＝OB，AP＝BP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP，
∴∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，
∴∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的顶角是115°；
③当AB＝PB时，如图：
∵∠P＝∠AOB＝∠C＝65°，AB＝PB，
∴∠PAB＝∠P＝65°，
∴∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的顶角是50°；
同理AB＝AP'时，∠P'AB＝50°，等腰三角形BAP'顶角是50°；
综上所述，△BAP是等腰三角形，该等腰三角形的顶角的度数是65°或115°或50°．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
（1）求证：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度数；
[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE＝8，则△MNP的周长为 8+4 ．
【分析】[操作]（1）由旋转的性质得∠DCE＝90°，CD＝CE，再证∠ACD＝∠BCE，然后由SAS证△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再由三角形的外角性质得∠HFB＝∠ACB＝90°，即可得出结论；
[探究]由全等三角形的性质得AD＝BE＝8，再由三角形中位线定理得PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，则PM＝PN，然后证PM⊥PN，则△MNP是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】[操作]（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
由旋转的性质得：∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：如图1，设AF与BC交于点H，
由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AHB＝∠CBE+∠HFB＝∠CAD+∠ACB，
∴∠HFB＝∠ACB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣∠HFB＝90°；
[探究]解：由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE＝8，
∵M、N、P分别是AB、DE、AE的中点，
∴PM是△ABE的中位线，PN是△ADE的中位线，
∴PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，
∴PM＝PN，
由（2）可知，∠AFE＝90°，
∴AF⊥BE，
∴PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形，
∴MN＝PM＝4，
∴△MNP的周长＝PM+PN+MN＝4+4+4＝8+4，
故答案为：8+4．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，其对称轴是直线x＝2．点P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为m，m+3，设该抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的图象记为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P的纵坐标为2时，求点Q的坐标；
（3）当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，①求h与m之间的函数关系式；②当h＝5时，直接写出m的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝2代入解析式求出m的值，再求出Q点坐标；
（3）①求出抛物线的对称轴，再根据图象G的最低点是该抛物线的顶点时，根据﹣1≤m≤和≤m≤2两种情况求出h关于m的解析式；
②把h＝5代入①中解析式，求出m的值即可．
解：（1）根据题意得，
解得b＝﹣4，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣3；
（2）当y＝2时，2＝m2﹣4m﹣3，
解得m1＝﹣1，m2＝5，
当m＝﹣1时，m+3＝2，
当x＝2时，y＝4﹣8﹣3＝﹣7，
当m＝5时，m+3＝8，
当x＝8时，y＝64﹣32﹣3＝29，
∴点Q的坐标为（2，﹣7）或（8，29）；
（3）①∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣7），
当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，m≤2≤m+3，
∴﹣1≤m≤2，
当﹣1≤m≤时，在图象G中当x＝m时取得最大值m2﹣4m﹣3，
∴h＝m2﹣4m﹣3﹣（﹣7）＝m2﹣4m+4；
当≤m≤2时，在图象G中当x＝m+3时取得最大值（m+3）2﹣4（m+3）﹣3＝m2+2m﹣6，
∴h＝m2+2m﹣6﹣（﹣7）＝m2+2m+1，
∴h与m之间的函数关系式为h＝m2﹣4m+4或h＝m2+2m+1；
②当h＝5时，m2﹣4m+4＝5或m2+2m+1＝5，
解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣或m3＝﹣1﹣（舍去），m3＝﹣1+，
∴m＝2﹣或m＝﹣1+．
2022-2023学年吉林省白城市大安市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
4．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．如图，C、D是⊙O上直径AB两侧的点，若∠D＝75°，则∠ABC等于（ ）
A．35° B．25° C．20° D．15°
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角整标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ．
8．抛物线y＝﹣3（x+8）2的顶点坐标是 ．
9．如图所示，这个图案绕精它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 （写出一个即可）．
10．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 （用“＞”连接）．
11．数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝58°，则∠AOC＝ 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
16．在平面直角坐标系中，求抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标．
17．某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约423.5万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
（1）在图1中，画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到的△A1B1C1．
（2）在图2中，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称；
（3）在图3中，以AB为一边画出一个▭ABEF、使▭ABEF的面积是△ABC的面积的4倍．
20．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
21．如图，在⊙O中，B、C是AD的三等分点，弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
24．[猜想]如图1，在⊙O中，点C在优弧ACB上，连接AO、BO，得到圆心角∠AOB，发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，则∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]为证明图1中的结论，我们不妨使点O在∠ACB的边AC上，如图2．若BC＝OC，则∠AOB＝ 度；
[证明结论]请结合图2的特例探究，用图1证明[猜想]中的结论；
[结论应用]在图1中，若∠C＝65°，点P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
（1）求证：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度数；
[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE＝8，则△MNP的周长为 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，其对称轴是直线x＝2．点P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为m，m+3，设该抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的图象记为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P的纵坐标为2时，求点Q的坐标；
（3）当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，①求h与m之间的函数关系式；②当h＝5时，直接写出m的值．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．若抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
解：∵抛物线y＝ax2与y＝﹣x2+3x﹣1的形状相同，
∴|a|＝1，
∴a＝±1．
故选：B．
3．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，即可判定方程实数根的情况．
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×16＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项符合题意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×1＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣5）＝20＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项不符合题意．
故选：A．
4．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由旋转的性质可直接求解．
解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，
∴∠AOC是旋转角，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+10°＝40°，
∴旋转角度为40°，
故选：C．
5．如图，C、D是⊙O上直径AB两侧的点，若∠D＝75°，则∠ABC等于（ ）
A．35° B．25° C．20° D．15°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，根据圆周角定理由∠D＝75°可知∠CAB＝75°，再根据直角三角形锐角互余可得∠ABC的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝75°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠ABC＝90°﹣75°＝15°．
故选：D．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
【分析】利用函数图象的开口，与y轴交点坐标，和对称轴，分别判断出a，b，c的正负，可以判断出A选项，由抛物线与x轴交点个数，可以判断Δ＝b2﹣4ac的正负，可以判断出B选项，又当x＝2时，y＝4a+2b+c，根据图象可以判断C选项，由对称轴为x＝1，可以判断D选项．
解：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为x＝，
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D选项正确，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．在平面直角整标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ﹣3 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
8．抛物线y＝﹣3（x+8）2的顶点坐标是 （﹣8，0） ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标．
解：∵y＝﹣3（x+8）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣8，0），
故答案为：（﹣8，0）．
9．如图所示，这个图案绕精它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 90°（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解．
解：图形看作正方形，
而正方形的中心角为90°，
所以此图案绕旋转中心旋转90°的整数倍时能够与自身重合，
故α可以为90°（答案不唯一）（写出一个即可）．
故答案为：90°（答案不唯一）．
10．已知点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 y2＞y3＞y1 （用“＞”连接）．
【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是y轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．
解：∵y＝﹣x2+5，
∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函数y＝﹣x2+5的图象上，
∴点（，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣，y3）在函数y＝﹣x2+5的图象上，
∵﹣4＜﹣＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案为：y2＞y3＞y1．
11．数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 5 cm．
【分析】设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，由垂径定理得O、C、D三点共线，则OC＝（R﹣2）cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC，
则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即这个齿轮内圈圆的半径为5cm，
故答案为：5．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为 （4，1） ．
【分析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标．
解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE是它的一个外角，若∠CBE＝58°，则∠AOC＝ 116 度．
【分析】根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义求出∠ADC，再根据圆周角定理解答即可．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠CBE+∠ABC＝180°，∠CBE＝58°，
∴∠ADC＝∠CBE＝58°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝116°，
故答案为：116．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为 ﹣ ．
【分析】先用根与系数的关系求出AB＝2，再根据CD∥x求出CD，然后由AB+CD＝3得到关于c的方程，解方程求出c即可．
解：设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，
由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，
则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，
令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
∵CD∥x轴，
∴点D纵坐标为c，
当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，
解得：x＝2，或x＝0，
∴D（2，c），
∴CD＝2，
∵AB+CD＝3，
∴2+2＝3，
解得：c＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根．
解：x2﹣3x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．在平面直角坐标系中，求抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标．
【分析】令y＝0，得x的一元二次方程，解方程便可求得结果．
解：令y＝0，得x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝﹣1±，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1﹣，0）或（1+，0）．
17．某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约350万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约423.5万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，利用该市2021年底绿化面积＝该市2019年底绿化面积×（1+这两年绿化面积的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，
依题意得：350（1+x）2＝423.5，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：这两年绿化面积的年平均增长率为10%．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．
【分析】由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，求出∠AEB可得结论．
解：由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝110°．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图1、图2、图3均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点D均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求面图、并保留作图痕迹、
（1）在图1中，画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到的△A1B1C1．
（2）在图2中，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称；
（3）在图3中，以AB为一边画出一个▭ABEF、使▭ABEF的面积是△ABC的面积的4倍．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）利用三角形面积公式和平行四边形的性质，把AB向上平移可得到满足条件的平行四边形．
解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；
（2）如图2，△A2B2C2为所作；
（3）如图3，▱ABEF为所作．
20．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
【分析】（1）建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A点坐标代入解析式求出a即可；
（2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间t．
解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴A（﹣10，0），C（0，4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），
把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴这个函数的表达式为：y＝﹣x2+4；
（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y＝﹣×52+4＝3，
此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
21．如图，在⊙O中，B、C是AD的三等分点，弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度数．
【分析】（1）根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解；
（2）根据圆周角定理及三角形三角形外角的性质求解即可
【解答】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：∵∠BAC＝25°，，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠BDA＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积．
【分析】（1）把点（﹣3，0）、（3，3）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组即可得到结论；
（2）根据平移规律得到D点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（﹣3，0）、（3，3），
∴，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4），y轴交于点C（0，），
∵将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点D的坐标为（﹣2，2），
∴△ODC的面积为2×＝．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m．垂直于墙的边长为xm．围成的矩形场地的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
【分析】（1）表示出矩形的长和宽可得出y和x的函数关系式；
（2）利用配方法和函数的性质求得最大面积．
解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为（40﹣2x）m，
∴y＝x（40﹣2x），
根据题意得：，
解得≤x＜20，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，≤x＜20，
∴当x＝时，y最大，最大值为187.5，
答：这个矩形场地面积的最大值为187.5m2．
24．[猜想]如图1，在⊙O中，点C在优弧ACB上，连接AO、BO，得到圆心角∠AOB，发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，则∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]为证明图1中的结论，我们不妨使点O在∠ACB的边AC上，如图2．若BC＝OC，则∠AOB＝ 120 度；
[证明结论]请结合图2的特例探究，用图1证明[猜想]中的结论；
[结论应用]在图1中，若∠C＝65°，点P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接写出该等腰三角形的顶角的度数．
【分析】[特例探究]由OC＝OB＝BC，可得△BOC是等边三角形，有∠BOC＝60°，即得∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°；
[证明结论]连接并延长CO交⊙O于D，由OA＝OC，得∠OAC＝∠OCA，即得∠AOD＝2∠OCA，同理∠BOD＝2∠OCB，故∠AOB＝2∠ACB；
[结论应用]分三种情况画出图形：①当P在优弧ACB上，AP＝BP时，连接OA，OB，由∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，得∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的顶角是65°；②当P在劣弧AB上，AP＝BP时，连接OA，OB，OP，由∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，得∠AOB＝130°，有∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝230°，而OA＝OP＝OB，证△OAP≌△OBP（SSS），即得∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，故∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的顶角是115°；③当AB＝PB时，可得∠PAB＝∠P＝65°，有∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的顶角是50°．
【解答】[特例探究]
解：如图：
∵OC＝OB＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
故答案为：120；
[证明结论]
证明：连接并延长CO交⊙O于D，如图：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOD＝∠OAC+∠OCA，
∴∠AOD＝2∠OCA，
同理∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝2（∠OCA+∠OCB）＝2∠ACB，
即∠AOB＝2∠ACB；
[结论应用]
解：①当P在优弧ACB上，AP＝BP时，连接OA，OB，如图：
∵∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，
∴∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的顶角是65°；
②当P在劣弧AB上，AP＝BP时，连接OA，OB，OP，如图：
∵∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝360°﹣130°＝230°，
∵OA＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，
∵OA＝OB，AP＝BP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP，
∴∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，
∴∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的顶角是115°；
③当AB＝PB时，如图：
∵∠P＝∠AOB＝∠C＝65°，AB＝PB，
∴∠PAB＝∠P＝65°，
∴∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的顶角是50°；
同理AB＝AP'时，∠P'AB＝50°，等腰三角形BAP'顶角是50°；
综上所述，△BAP是等腰三角形，该等腰三角形的顶角的度数是65°或115°或50°．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
（1）求证：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度数；
[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE＝8，则△MNP的周长为 8+4 ．
【分析】[操作]（1）由旋转的性质得∠DCE＝90°，CD＝CE，再证∠ACD＝∠BCE，然后由SAS证△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再由三角形的外角性质得∠HFB＝∠ACB＝90°，即可得出结论；
[探究]由全等三角形的性质得AD＝BE＝8，再由三角形中位线定理得PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，则PM＝PN，然后证PM⊥PN，则△MNP是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】[操作]（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
由旋转的性质得：∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：如图1，设AF与BC交于点H，
由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AHB＝∠CBE+∠HFB＝∠CAD+∠ACB，
∴∠HFB＝∠ACB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣∠HFB＝90°；
[探究]解：由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE＝8，
∵M、N、P分别是AB、DE、AE的中点，
∴PM是△ABE的中位线，PN是△ADE的中位线，
∴PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，
∴PM＝PN，
由（2）可知，∠AFE＝90°，
∴AF⊥BE，
∴PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形，
∴MN＝PM＝4，
∴△MNP的周长＝PM+PN+MN＝4+4+4＝8+4，
故答案为：8+4．
26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，其对称轴是直线x＝2．点P、Q为该抛物线上的点，其横坐标分别为m，m+3，设该抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）的图象记为G，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P的纵坐标为2时，求点Q的坐标；
（3）当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，①求h与m之间的函数关系式；②当h＝5时，直接写出m的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝2代入解析式求出m的值，再求出Q点坐标；
（3）①求出抛物线的对称轴，再根据图象G的最低点是该抛物线的顶点时，根据﹣1≤m≤和≤m≤2两种情况求出h关于m的解析式；
②把h＝5代入①中解析式，求出m的值即可．
解：（1）根据题意得，
解得b＝﹣4，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣3；
（2）当y＝2时，2＝m2﹣4m﹣3，
解得m1＝﹣1，m2＝5，
当m＝﹣1时，m+3＝2，
当x＝2时，y＝4﹣8﹣3＝﹣7，
当m＝5时，m+3＝8，
当x＝8时，y＝64﹣32﹣3＝29，
∴点Q的坐标为（2，﹣7）或（8，29）；
（3）①∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣7），
当图象G的最低点是该抛物线的顶点时，m≤2≤m+3，
∴﹣1≤m≤2，
当﹣1≤m≤时，在图象G中当x＝m时取得最大值m2﹣4m﹣3，
∴h＝m2﹣4m﹣3﹣（﹣7）＝m2﹣4m+4；
当≤m≤2时，在图象G中当x＝m+3时取得最大值（m+3）2﹣4（m+3）﹣3＝m2+2m﹣6，
∴h＝m2+2m﹣6﹣（﹣7）＝m2+2m+1，
∴h与m之间的函数关系式为h＝m2﹣4m+4或h＝m2+2m+1；
②当h＝5时，m2﹣4m+4＝5或m2+2m+1＝5，
解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣或m3＝﹣1﹣（舍去），m3＝﹣1+，
∴m＝2﹣或m＝﹣1+．
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