2022北京海淀初三（上）期中数学

2022北京海淀初三（上）期中

数    学

2022.10

学校_______姓名__________准考证号___________

第一部分  选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.一元二次方程才的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

（A）3,6,4     （B）3,-6,4

（C）3,6,-4     （D）3,-6,-4

2.将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是

（A）   （B）

（C）   （D）

3.下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转180。得到的图案是

4.如图，BD是△ABC的中线，E,F分别是BD,BC的中点，连接EF.若应AD=4,则EF的长为

（A）      （B）2

（C）      （D）4

5.用配方法解一元二次方程,变形后的结果正确的是

(A)    (B)

(C)    (D)

6.二次函数的x与y的部分对应值如下表：

则m的值为

(A)1    (B)2    (C)5    (D)10

7.如图，在△ABC中，∠BAC=135°,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD.当点A,D,E在同一条直线上时，下列结论不正确的是

(A)    (B)∠ADC=45°

(C)     (D) AE=AB+CD

8.如图，已知关于x的一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则h的值可能是

(A)-1   (B)0    (C)1    (D)2

第二部分  非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.若1是关于x的方程的根，则a的值为____________.

10.已知的周长为14,AB=3,则BC的长为_________.

11.若二次函数的图象如图所示，则ac_______0(填“>”，“=”或.“<”)

12.如图，等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BE,则∠ABE=______°.

13.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____.

14.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽为x米，可列方程为_____.

15.点在二次函数的图象上.若,写出一个符合条件的a的值___.

16.甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同.下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：

甲：开口向下；

乙：顶点在第三象限；

丙：经过点(-2,0),(1,3).

根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是_____(填“甲”，“乙”或“丙”).

三、解答题(共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分)

17.解方程：

(1);     (2).

18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点A与点D对应，点B与点E对应.

(1)依题意补全图形；

(2)直线AB与直线DE的位置关系为___

19.已知m是方程的一个根，求代数式的值.

20.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=20°,将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△ADE,AD交BC于点F.若AE=3,求AF的长.

21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过虫A(0,3)和B(l,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)该抛物线的对称轴为____.

22.已知关于x的一元二次方程.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个实数根小于2,求m的取值范围.

23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象顶点为A,与x轴正半轴交于点B.

(1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；

(2)一次函数y=kx+b的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集.

24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BD为△ABC的中线.BE∥DC,BE=DC,连接CE.

(1)求证：四边形BDCE为菱形；

(2)连接DE,若∠ACB=60°,BC=4,求DE的长.

25.探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点.若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为.

如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为,焦点为F.

（1）点F的坐标是____；

（2）过点F的直线与抛物线交于A,B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线AM射出，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4,0）.

①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；

②BP所在直线与x轴的交点坐标为_____.

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线.

（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）;

（2）已知点P（3,2）.

①当抛物线过点P时，求m的值；

②点Q的坐标为（m，1）.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围.

27.在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD,线段CD与线段AB交于点E,射线AD与射线CB交于点F.

（1）①依题意补全图形；

②分别求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段BE,CE,CF之间的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a,b）.对于点P（x,y）给出如下定义：当x≠a时,若实数k满足,则称k为点P关于点A的距离系数.若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数.

（1）当点A与点O重合时，在中，关于点A的距离系数为1的是______;

（2）已知点B（-2,1）,C（l,1）,若线段BC关于点A（m,-1）的距离系数小于，则m的取值范围为___________;

（3）已知点A（4,0）,T（0,t）,其中.以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直.点D,E为该正方形上的动点，线段D,E的长度是一个定值（0<DE<2）.

①线段DE关于点A的距离系数的最小值为______;

②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是则DE的长为________.

参考答案

第一部分 选择题

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第二部分 非选择题

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．1； 10．4； 11．<； 12．20；

13．； 14．； 15．3（答案不唯一）；

16．甲

三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）

17．解：（1） ··················1分

，·················3分

，.·················4分

 （2），·················1分

，

， ·················2分

，

，．·················4分

18．（1）补全图形，如图。

·················3分

（2）．·················5分

19．解：∵是方程的一个根，

∴．·················1分

∴．

原式．·················3分

． ·················4分

=

=3．·················5分

20．解：∵绕点顺时针旋转得到，

∴，．·················1分

∵，

∴．·················2分

∵°，

∴°．·················4分

∵，

∴是等腰直角三角形。

∴．·················5分

21．（1）解：∵抛物线经过和两点，

·················2分

解得·················3分

∴抛物线的解析式为  ·················4分

（2）抛物线的对称轴为．·················5分

22．（1）证明：由题意， ················· 1分

．

∴该方程总有两个实数根.  ·················2分

（2）解：解方程，得，．·················4分

∵方程有一个实数根小于2，

∴．

∴．·················5分

23．（1）解：令，则．·················1分

解得，．

∴点坐标为.  ·················2分

列表得：

画图得：

  ················· 4分

（2）．·················5分

24．（1）证明：，

∴四边形为平行四边形。·················1分

∵，为边上的中线，

∴．·················2分

∴四边形为菱形．·················3分

（2）解：连接交于点，如图。

∵四边形为菱形，，

∴

∴

∴

∴

∴  ·················5分

25．（1）（0,1）．·················2分

（2）①画出反射光线，如图。

················· 4分

②．5分

26．解：（1）∵，·················1分

∴抛物线的顶点坐标为．·················2分

（2）①∵点在抛物线上，

∴．·················3分

∴．

解得，．·················4分

②或．·················6分

27．（1）①补全图形，如图.

················· 1分

②解：∵是等边三角形，

∴．

∵线段绕点逆时针旋转得到线段，

∴，．·················2分

∴

∴．·················3分

∴．·················4分

（2）线段之间的数量关系为．·················5分

证明：延长至点使得，连接，如图。

∴．

∵，

∴.

∴，

∵.

∵是等边三角形，

∴，．

∴．·················6分

∴．

∵，

∴．·················7分

28．（1），．·················2分

（2）或．·················4分

（3）①；·················6分

②．·················7分