吉林省长春第八十七中学2022-2023学年九年级上学期9-16班期中数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春第八十七中学2022-2023学年九年级上学期9-16班期中数学试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省长春第八十七中学2022-2023学年九年级上学期9-16班期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣（﹣2）的值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010
C．52.86×109 D．5286×107
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是第一象限内一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，点C是线段OA上一点，且OC＝2AC．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D．若BD＝1，则AB的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：3﹣＝　 　．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝　 　．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 　 　．
12．（3分）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1、B2、B3…都在直线上，则点A3的坐标为 　 　．

13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF．再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为（﹣2，1），若抛物线y＝（x﹣1）2+m在矩形ABCD内部的图象中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
16．（6分）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，求原计划平均每天生产药品的箱数．
17．（6分）如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°．求A、B两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）
【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】

18．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，连结AB．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画一个直角三角形ABC，使得∠ACB＝45°，点C在格点上；
（2）在图②中，画一个锐角三角形ABD，使得∠ADB＝45°，点D在格点上；
（3）在图③中，画一个钝角三角形ABE，使得∠AEB＝45°，点E在格点上．


19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

20．（7分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　 　．

21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　 　千米/时，a的值为　 　．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

22．（9分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　 　度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　 　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 　 　．

23．（10分）如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，BC＝3．点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，在线段BP的延长线上取一点Q，使得PQ＝2BP，连结PQ，以PQ为斜边向下作Rt△PQN，其中PN∥AB，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点N落在AC上时，求t的值．
（3）当△PQN被△ACB的边分成的两部分面积比为1：8时，求t的值．
（4）如图②，作点N关于AC的对称点N'，连结AN'，当直线AN'与△ACB的一边垂直时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，﹣2）和点B（3，1），点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与A、B重合．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）当点M到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍时，求点M的坐标．
（3）设抛物线在A、M两点之间的部分记为图象G1（包含A、M两点），抛物线在B、M两点之间的部分记为图象G2（包含B、M两点）．当图象G1和图象G2的最低点的纵坐标的差为1时，求m的取值范围．
（4）设点E的坐标为（﹣m﹣1，m），点F的坐标为（2m﹣1，m），连结EF．当抛物线在A、M两点之间的部分（包含A、M两点）与线段EF有1个公共点时，直接写出m的取值范围．

吉林省长春第八十七中学2022-2023学年九年级上学期9-16班期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣（﹣2）的值为（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】直接根据相反数的定义可得答案．
【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．
故选：C．
【点评】此题考查的是相反数的概念，掌握其概念是解决此题关键．
2．（3分）据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.5286×1011 B．5.286×1010
C．52.86×109 D．5286×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：52860000000＝5.286×1010．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
6．（3分）如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
【分析】先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，
∴△ABD∽△BDC，
∴＝，即＝，
解得CD＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°．下列尺规作图痕迹中，不能将△ABC的面积平分的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，一一判断可得结论．
【解答】解：选项A中，

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
由作图可知CB＝CT，
∴△CBT是等边三角形，
∴CB＝BT，
∵AB＝2BC，
∴BT＝AT，
∴直线CT平分△ABC的面积．
选项B中，由作图可知EF垂直平分线段AC，

∴CD＝AD，
∴中线BD平分△ABC的面积．
选项C中，

由作图可知，∠A＝∠RCA＝30°，
∴CR＝AR，
∴∠CRB＝∠B＝60°，
∴△CBR是等边三角形，
∴CR＝BR，
∴AR＝BR，
∴直线CR平分△ABC的面积．
故选项A，B，C不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图﹣三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线的性质，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是第一象限内一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，点C是线段OA上一点，且OC＝2AC．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D．若BD＝1，则AB的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】作CE⊥x轴于E，则CE∥AB，即可得出＝＝＝，由D的纵坐标为1，求得D的横坐标为k，进而求得C的横坐标为k，代入y＝即可求得CE＝，进而求得AB＝．
【解答】解：作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴CE∥AB，
∴＝＝，
∵OC＝2AC，
∴＝＝＝，
∵BD＝1，
∴D的纵坐标为1，
∵点C、D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴D的坐标为（k，1），
∴OB＝k，
∴OE＝k，
∴C的横坐标为k，
∴点C的纵坐标为y＝＝，
∴CE＝，
∴AB＝CE＝，
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，求得C点的纵坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：3﹣＝　2　．
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是 　9　．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得：Δ＝62﹣4a＝0，
解得a＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
12．（3分）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1、B2、B3…都在直线上，则点A3的坐标为 　（3，5）　．

【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC＝30°，利用直角三角形的性质可求得B1C＝OC＝，可求得A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标．
【解答】解：如图，∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，
∴∠AOB1＝∠AB1B2＝∠A2B2B3＝…＝60°，
∴AO∥A1B1∥A2B2∥…，
∵AO在y轴上，
∴A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，…
过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，
∵点B1在直线y＝x上，
设B1（x，x），
∴∠B1OC＝30°，
∵△OAB1是等边三角形，且边长为2，
∴B1C＝1，OC＝，
∴A1的坐标为（，2+1），
同理A2（2，2+2）、A3（3，2+3），
∴点A3的坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，利用等边三角形和直角三角形的性质求得A1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF．再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为　4+2　．

【分析】BD和CD是矩形BCFD的对边．BG∥EF，BG与EF的比等于AB与AD的比．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，折叠后四边形BCFD是矩形，
∴BC∥DF，BD＝CF．
由折叠的性质知，第2个图中BD＝AB﹣AD＝2，第三个图中AB＝AD﹣BD＝4，
∵BG∥EF，
∴BG：EF＝AB：AD，
∴BG＝4，
∴CG＝BC﹣BG＝2，
∴FG＝＝2，
∴C△CFG＝2+2+2＝4+2．
故答案为：4+2．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴，点A的坐标为（﹣2，1），若抛物线y＝（x﹣1）2+m在矩形ABCD内部的图象中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　﹣10＜m≤﹣1　．

【分析】求出抛物线经过C，B两点时，m的值，可得结论．
【解答】解：由题意，C（2，﹣1），B（﹣2，﹣1），
当抛物线y＝（x﹣1）2+m经过点C（2，﹣1）时，1＝2+m，
∴m＝﹣1．
当抛物线y＝（x﹣1）2+m经过点B（﹣2，﹣1）时，﹣1＝9+m，
∴m＝﹣10，
观察图象可知满足条件m的值为﹣10＜m≤﹣1．
故答案为：﹣10＜m≤﹣1．

【点评】本题考查中心对称，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2
＝a2+7．
当a＝时，原式＝（）2+7＝9．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
16．（6分）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，求原计划平均每天生产药品的箱数．
【分析】设原计划平均每天可生产x箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天可生产x箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品，
依题意得：＝，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天可生产1500箱药品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
17．（6分）如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°．求A、B两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）
【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】

【分析】根据路程＝速度×时间，可得AC＝18×2＝36海里，在Rt△ABC中，利用正切函数的定义可得AB＝AC•tan∠ACB，将数值代入计算即可求解．
【解答】解：由题意得，AC＝18×2＝36海里，∠ACB＝43°．
在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，
∴AB＝AC•tan∠ACB＝36×0.93≈33.5海里．
故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正切函数的定义，路程、速度与时间自己的关系，难度一般．理解方向角的定义，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
18．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，连结AB．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，画一个直角三角形ABC，使得∠ACB＝45°，点C在格点上；
（2）在图②中，画一个锐角三角形ABD，使得∠ADB＝45°，点D在格点上；
（3）在图③中，画一个钝角三角形ABE，使得∠AEB＝45°，点E在格点上．


【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形；
（2）构造等腰直角三角形，利用圆周角定理解决问题；
（3）构造等腰直角三角形，利用圆周角定理解决问题；
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABD即为所求；
（3）如图③中，△ABE即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；
（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∵OF＝2，
∴OE＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
20．（7分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象顶点坐标为（﹣1，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣3≤x＜3时，则函数值y的取值范围是 　﹣2≤y＜6　．

【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解；
（2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+1）2﹣2，
x＝1时，y＝a（1+1）2﹣2＝0，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣2；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2，
当x＝3时，y＝6，
∴当﹣3≤x＜3时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
故答案为：﹣2≤y＜6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　40　千米/时，a的值为　480　．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；

（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　45　度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　60　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 　2﹣2　．

【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，由AN+EN＝AE得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴a+a＝2，
解得：a＝﹣1，
∴AP＝2a＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF＝45°是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（10分）如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，BC＝3．点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，在线段BP的延长线上取一点Q，使得PQ＝2BP，连结PQ，以PQ为斜边向下作Rt△PQN，其中PN∥AB，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求线段CQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点N落在AC上时，求t的值．
（3）当△PQN被△ACB的边分成的两部分面积比为1：8时，求t的值．
（4）如图②，作点N关于AC的对称点N'，连结AN'，当直线AN'与△ACB的一边垂直时，直接写出t的值．

【分析】（1）分当Q在边BC上，即t≤1时和当Q在边BC延长线上，即1＜t≤3时，分别画出图形，即可得到答案；
（2）当N落在AC上时，由BP＝t，PQ＝2t，得CQ＝BP+PQ﹣BC＝3t﹣3，根据PN∥AB，可得∠QPN＝30°，∠CNP＝∠A＝60°，即可得∠QNC＝∠PNQ﹣∠CNP＝30°，从而QN＝2CQ＝6t﹣6，在Rt△PQN中，2t＝2（6t﹣6），故t＝；
（3）分两种情况：①设QN交AC于K，当S△QCK：S四边形PCKN＝1：8时，可得S△QCK：S△QNP＝1：9，根据△QCK∽△QNP，即得＝，故t＝；②设PN交AC于T，当S△PCT：S四边形CTNQ＝1：8时，S△PCT：S△PNQ＝1：9，由△CPT∽△NPQ，得CP＝PN，即3﹣t＝×t，故t＝；
（4）分三种情况：①当AN'⊥AB时，延长QN交AB于G，可得NG＝QG﹣QN＝t，AG＝AB﹣BG＝2﹣t，由AN'⊥AB，∠BAC＝60°，N'，N关于AC对称，可得∠NAG＝90°﹣∠N'AC﹣∠NAC＝30°，故AG＝NG，即2﹣t＝×t，从而t＝1；②当N在AC上时，N，N'重合，此时AN'⊥BC，由（2）知此时t＝；③当AN'⊥AC时，可得四边形PNAB是平行四边形，故t＝2，即得t＝2．
【解答】解：（1）当Q在边BC上，即t≤1时，如图：

由已知BP＝t，
∵PQ＝2BP，
∴PQ＝2t，
∴CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝3﹣3t，
当Q在边BC延长线上，即1＜t≤3时，如图：

∵BP＝t，PQ＝2t，
∴CQ＝BP+PQ﹣BC＝t+2t﹣3＝3t﹣3，
∴CQ＝；
（2）当N落在AC上时，如图：

∵BP＝t，PQ＝2t，
∴CQ＝BP+PQ﹣BC＝3t﹣3，
∵PN∥AB，
∴∠QPN＝∠B＝90°﹣∠A＝30°，∠CNP＝∠A＝60°，
∵∠PNQ＝90°，
∴∠QNC＝∠PNQ﹣∠CNP＝30°，
∵∠QCN＝∠ACB＝90°，
∴QN＝2CQ＝6t﹣6，
在Rt△PQN中，PQ＝2QN，
∴2t＝2（6t﹣6），
解得t＝，
∴当点N落在AC上时，t的值为；
（3）①设QN交AC于K，当S△QCK：S四边形PCKN＝1：8时，如图：

∴S△QCK：S△QNP＝1：9，
∵∠Q＝∠Q，∠N＝90°＝∠QCK，
∴△QCK∽△QNP，
∴（）2＝，即＝，
而CQ＝3t﹣3，NQ＝PQ＝t，
∴＝，
解得t＝；
②设PN交AC于T，当S△PCT：S四边形CTNQ＝1：8时，如图：

∴S△PCT：S△PNQ＝1：9，
∵∠CPT＝∠NPQ，∠PCT＝90°＝∠N，
∴△CPT∽△NPQ，
∴（）2＝，即CP＝PN，
∵CP＝BC﹣BP＝3﹣t，PN＝PQ＝×2t＝t，
∴3﹣t＝×t，
解得t＝；
综上所述，当△PQN被△ACB的边分成的两部分面积比为1：8时，t的值为或；
（4）①当AN'⊥AB时，延长QN交AB于G，如图：

在Rt△QPN中，QN＝PQ，
∴QN＝×2t＝t，
在Rt△QBG中，QG＝BQ，BG＝QG，
∴QG＝×3t＝t，BG＝t，
∴NG＝QG﹣QN＝t﹣t＝t，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴AG＝AB﹣BG＝2﹣t，
∵AN'⊥AB，∠BAC＝60°，
∴∠N'AC＝30°，
∵N'，N关于AC对称，
∴∠NAC＝30°，
∴∠NAG＝90°﹣∠N'AC﹣∠NAC＝30°，
∴Rt△ANG中，AG＝NG，
∴2﹣t＝×t，
解得t＝1；
②当N在AC上时，N，N'重合，此时AN'⊥BC，如图：

由（2）知此时t＝；
③当AN'⊥AC时，如图：

∴∠N'AC＝90°＝∠NAC＝∠ACB，
∴N'，A，N共线，BC∥AN，
∵PN∥AB，
∴四边形PNAB是平行四边形，
∴PN＝AB，
而PN＝PQ＝t，AB＝2，
∴t＝2，
解得t＝2；
综上所述，当直线AN'与△ACB的一边垂直时，t的值为1或或2．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及含30°角的直角三角形三边关系，平行四边形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，﹣2）和点B（3，1），点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与A、B重合．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式．
（2）当点M到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍时，求点M的坐标．
（3）设抛物线在A、M两点之间的部分记为图象G1（包含A、M两点），抛物线在B、M两点之间的部分记为图象G2（包含B、M两点）．当图象G1和图象G2的最低点的纵坐标的差为1时，求m的取值范围．
（4）设点E的坐标为（﹣m﹣1，m），点F的坐标为（2m﹣1，m），连结EF．当抛物线在A、M两点之间的部分（包含A、M两点）与线段EF有1个公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由题意可得方程3＝|m2﹣2m﹣2|，求出m的值即可求M点坐标；
（3）画出函数的图象，结合图象分类讨论求解即可；
（4）分两种情况：当m＞0时，当M点在EF点上方时；当m＜0时，当M点在EF点上方时，A点在线段EF下方时；分别求出m的范围即可．
【解答】解：（1）将点A（0，﹣2）、点B（3，1）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣2；
（2）∵点M的横坐标为m，
∴M（m，m2﹣2m﹣2），
∴M到x轴的距离为|m2﹣2m﹣2|，
∵B到x轴距离为1，
∴3＝|m2﹣2m﹣2|，
解得m＝1+或m＝1﹣或m＝1，
∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（1，﹣3）；
（3）当y＝1时，x2﹣2x﹣2＝1，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴E（﹣1，1），
当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣2＝﹣2，
解得x＝0或x＝2，
∴F（2，﹣2），
①如图1、图2，当m＜0时，图象G1的最低点为A点，纵坐标为﹣2，图象G2的最低点为顶点，纵坐标为﹣3，
∴纵坐标的差为1，
∴m＜0时，纵坐标的差为1；
②如图3，当0＜m≤1时，图象G1的最低点为M点，纵坐标为m2﹣2m﹣2，图象G2的最低点为顶点，纵坐标为﹣3，
∴纵坐标的差小于1；
③如图4，当1＜m＜3时，图象G1的最低点为顶点，纵坐标为﹣3，图象G2的最低点为M点，纵坐标为m2﹣2m﹣2，
∴m2﹣2m﹣2+3＝1，
解得m＝2或m＝0（舍），
∴m＝2时，纵坐标的差为1；
④如图5，当m≥3时，图象G1的最低点为顶点，纵坐标为﹣3，图象G2的最低点为B点，纵坐标为1，
∴纵坐标的差大于1；
综上所述：m＜0或m＝2时满足题意；
（4）当m＞0时，2m﹣1＞﹣m﹣1，
∴当M点在EF点上方时，抛物线在A、M两点之间的部分与线段EF有1个公共点，
∴m2﹣2m﹣2≥m，
解得m≥或m≤，
∴m≥时，抛物线在A、M两点之间的部分与线段EF有1个公共点；
当m＜0时，当M点在EF点上方时，A点在线段EF下方，
∴m2﹣2m﹣2≥m，m≥﹣2，
解得﹣2≤m≤，
∴﹣2≤m≤，抛物线在A、M两点之间的部分与线段EF有1个公共点；
综上所述：m≥或﹣2≤m≤时，抛物线在A、M两点之间的部分与线段EF有1个公共点.




【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．