吉林省长春市第一〇八学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

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吉林省长春市第一〇八学校2022-2023学年九年级上学期期中
数学试题（附答案与详解）
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝2的根是（　　）
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则AO：OD的比为（　　）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
4．（3分）某厂家今年一月份的口罩产量是36万个，三月份的口罩产量是49万个，若设该厂一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．36（1+x）2＝49 B．36（1﹣x）2＝49
C．36（1+x2）＝49 D．36（1﹣x2）＝49
5．（3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数
（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频
率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是（　　）（结果精确到0.1）
A．0.902 B．0.90 C．0.89 D．0.9
6．（3分）已知p＞3，点（p﹣3，y1），（p，y2），（p+2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2
二．填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）当x＝1时，二次根式的值是 　 　．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝0.8，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　 　．

12．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 　 　．

13．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，CD＝10，sinC＝，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值 　 　．

14．（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（2，2）、（2，6）、（6，6），若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 　 　．

三、解答题（共78分）
15．（6分）计算题：6tan30°+（π+1）0﹣．
16．（6分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字大于2的概率是 　 　．
（2）同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．

17．（6分）如图，在一块长14m，宽6m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是65m2，则道路的宽应设计为多少m？

18．（7分）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．

19．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　 　．
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等．
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为3：5．

20．（7分）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进155m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.6m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）

21．（8分）某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式．
（2）商店想在销售成本不超过2500元的情况下，使销售利润达到3600元，销售单价应定为多少？

22．（9分）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）[结论应用]如图2，直角三角形ABC纸片中，ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE　 　．
（3）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G是CE的中点，CD＝AE．若AB＝10，DG＝2，则cos∠BCE＝　 　．

23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+n（n为常数）与x轴交点的坐标是（﹣1，0）．点A、点B均在这个抛物线上，点A的横坐标为﹣2a，点B的横坐标为4﹣2a，将A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出当x≥3时，函数值y的取值范围．
（3）当A、B两点纵坐标相等时，求线段AB中点的坐标．
（4）抛物线y＝﹣x2+n（n为常数）与y轴交于点D，以点D为中心作矩形MNPQ，矩形的边平行于坐标轴，点M坐标为（a，0），当图象G在矩形MNPQ内部y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，动点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿CB向终点B运动（点P不与点B、C重合），以CP为边在BC上方作等腰Rt△CPN，使∠CPN＝90°，CP＝NP，以CP，CN为邻边作平行四边形CPMN，点P的运动时间为t秒．
（1）NP的长为 　 　，点M到BC的距离为 　 　．（用含t的代数式表示）
（2）当点M在边AB上时，求CN的长．
（3）当点M在△ABC一边垂直平分线上时，求t的值．
（4）作点B关于直线PM的对称点B'，点Q为AC的中点，连结B'Q，当B'Q与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．


吉林省长春市第一〇八学校2022-2023学年九年级上学期期中
数学试题参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列式子中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义进行判断．
【解答】解：，，为二次根式，
而3﹣π＜0，
所以不是二次根式．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
2．（3分）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝2的根是（　　）
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
ax2+bx
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝4
【分析】根据表中的对应值得到当x＝﹣1时，ax2+bx＝2；当x＝2时，ax2+bx＝2，则根据一元二次方程解的定义可得到方程ax2+bx＝2的解．
【解答】解：由表中数据得当x＝﹣1时，ax2+bx＝2；
当x＝2时，ax2+bx＝2；
所以方程ax2+bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则AO：OD的比为（　　）

A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝，
∵△ABC与△DEF的周长之比为4：9，
∴AB：DE＝4：9，
∴AO：OD＝4：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．
4．（3分）某厂家今年一月份的口罩产量是36万个，三月份的口罩产量是49万个，若设该厂一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．36（1+x）2＝49 B．36（1﹣x）2＝49
C．36（1+x2）＝49 D．36（1﹣x2）＝49
【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是36万个，则二月份的口罩产量是36（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是49万个，列出方程即可．
【解答】解：由题意得，36（1+x）2＝49．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键．
5．（3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数
（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频
率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是（　　）（结果精确到0.1）
A．0.902 B．0.90 C．0.89 D．0.9
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故选：D．
【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
6．（3分）已知p＞3，点（p﹣3，y1），（p，y2），（p+2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由于抛物线开口向上，对称轴为y轴，而p+2＞p＞p﹣3＞0，则可根据二次函数的性质进行比较．
【解答】解：∵函数y＝x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∵p＞3，
∴p+2＞p＞p﹣3＞0，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
8．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，AO＝2BO，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2
【分析】作BC⊥x轴，AD⊥x轴于点C，D可得△BOC∽△OAD，根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：作BC⊥x轴，AD⊥x轴于点C，D，

∵∠BOC+∠OBC＝∠BOC+∠AOD，
∴∠OBC＝∠AOD，
∴△BOC∽△OAD，
∵AO＝2BO，
∴＝4，
∴＝4，
解得|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与图形的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的性质．
二．填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）当x＝1时，二次根式的值是 　3　．
【分析】把x＝1代入原式化简即可．
【解答】解：当x＝1时，原式＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．
10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是　m≥﹣1　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故答案为m≥﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝0.8，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 　1.6　．

【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得BD＝1.6，
故答案为：1.6．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
12．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】利用三角形相似的性质和根据三角形同底不同高的性质，求出面积之比，再进行计算即可求出其面积的值．
【解答】解：如下图，
△AOB∽△DOC，AB＝2，CD＝4，
∴S△AOB：S△DOC＝AB2：CD2＝1：4，
设S△AOB＝x，则S△DOC＝4x，
∵△CDB与△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
令S△OBD＝a，则有，
S△ABD＝S△AOB+S△OBD＝x+a，
S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a，
∵S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
∴（4x+a）：（x+a）＝2：1，解得a＝2x，
∴S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a＝4x+2x＝6x，
∵S△CDB＝CD•BD＝×4×4＝8，
∴6x＝8，解得x＝，
∵S△DOC＝4x，
∴S△DOC＝4x＝4×＝，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形面积的计算，充分利用三角形的相似和同底三角形的性质求得三角形面积之间的关系是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
13．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，CD＝10，sinC＝，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值 　2　．

【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，DP最小，根据解直角三角形的性质求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，

则当点P与点E重合时，DP最小，
在Rt△CDE中，sinC＝＝，CD＝10，
∴DE＝4，
∵M为AD中点，N是AP中点，
∴MN是△ADP的中位线，
∴MN＝DP，
∴线段MN的最小值为×4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查解直角三角形的性质、垂线段最短，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（2，2）、（2，6）、（6，6），若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 　≤a≤　．

【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（2，2）、（6，2）、（6，6）．
∴D（2，6），
当抛物线经过点D（2，6）时，则a＝，
当抛物线经过B（6，2）时，a＝，
观察图象可知a≤，
故答案为：≤a≤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共78分）
15．（6分）计算题：6tan30°+（π+1）0﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，再计算得出答案．
【解答】解：原式＝6×+1﹣2
＝2+1﹣2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
16．（6分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘．
（1）转动甲转盘，指针指向的数字大于2的概率是 　　．
（2）同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能结果，找出两个转盘指针指向的数字均为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）转动甲转盘，指针指向的数字大于2的概率是；
故答案为：；

（2）画树状图：

共有12种等可能结果，其中两个转盘指针指向的数字均为偶数的结果数为2，
所以两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
17．（6分）如图，在一块长14m，宽6m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是65m2，则道路的宽应设计为多少m？

【分析】设道路的宽应设计为xm，则栽种花草部分可合成长为（14﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，根据栽种花草的面积是65m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽应设计为xm，则栽种花草部分可合成长为（14﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，
依题意得：（14﹣x）（6﹣x）＝65，
整理得：x2﹣20x+19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽应设计为1m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（7分）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．

【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB，从而可得∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB，进而可得△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF，然后利用全等三角形的性质可得DE＝BE＝BF＝DF，即可解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB，AC平分∠DAB，CA平分∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB，∠DCA＝∠ACB＝∠DCB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB，
∵AE＝CF，
∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF（SAS），
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　直角三角形　．
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等．
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为3：5．

【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出结论．
（2）取格点D，使BD＝AC，AB＝CD即可．
（3）过点A作AE⊥BC于点E，可得∠AEB＝∠BAC＝90°，进而可得△ABE∽△CBA．
（4）取格点M，在BC上取格点Q，连接MQ，交AB于点P，可得△APM∽△BPQ，则，可得，即△PBQ∽△ABC，且相似比为3：5．
【解答】解：（1）∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
（2）如图①，点D即为所求（答案不唯一）．
（3）如图②，点E即为所求．
（4）如图③，点P，Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20．（7分）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进155m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.6m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）

【分析】延长CD，交AB于点F，设DF＝xm，则CF＝（x+155）m，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝xm，在Rt△ACF中，tan22°＝≈0.40，求出x的值，再根据AB＝AF+BF可得答案．
【解答】解：延长CD，交AB于点F，

由题意得，CD＝MN＝155m，DF＝BN，∠AFD＝90°，CM＝DN＝BF＝1.6m，
设DF＝xm，
则CF＝（x+155）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝xm，
在Rt△ACF中，tan22°＝≈0.40，
解得x≈103.3，
经检验，x≈103.3是原方程的解且符合题意，
∴AB＝AF+BF＝103.3+1.6＝104.9（m）．
∴“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为104.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21．（8分）某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式．
（2）商店想在销售成本不超过2500元的情况下，使销售利润达到3600元，销售单价应定为多少？

【分析】（1）观察图形，根据函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设销售单价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合销售成本不超过2500元，即可得出销售单价应定为60元/千克．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，160），（120，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240．
（2）设销售单价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，
依题意得：（x﹣30）（﹣2x+240）＝3600，
整理得：x2﹣150x+5400＝0，
解得：x1＝60，x2＝90．
当x＝60时，30x＝30×60＝1800＜2500，符合题意；
当x＝90时，30x＝30×90＝2700＞2500，不符合题意，舍去．
答：销售单价应定为60元/千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（9分）[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）[结论应用]如图2，直角三角形ABC纸片中，ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE　3　．
（3）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，G是CE的中点，CD＝AE．若AB＝10，DG＝2，则cos∠BCE＝　　．

【分析】（1）如图1中，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
（2）如图2中，设CE交AB于点O．证明∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，求出CO，证明CO＝OE，可得结论；
（3）连接DE，证明DE＝AE＝CD＝5，利用等腰三角形的三线合一的性质证明DG⊥CG，利用勾股定理求出CG，可得结论．
【解答】（1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，
则CD＝CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CD＝AB；

（2）解：如图2中，设CE交AB于点O．

∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴CO＝CB•cos30°＝，
∵DA＝DE，DA＝DC，
∴DC＝DE，
∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝，
∴CE＝3．
故答案为：3；

（3）解：如图3中，连接DE．

∵∠ADB＝90°，AE＝EB，
∴DE＝AE＝EB，
∵AE＝CD，
∴DE＝DC，
∵EG＝CG，
∴DG⊥EC，
∵AB＝10，
∴DE＝AE＝EB＝CD＝5，
∴cos∠ECB＝＝，
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+n（n为常数）与x轴交点的坐标是（﹣1，0）．点A、点B均在这个抛物线上，点A的横坐标为﹣2a，点B的横坐标为4﹣2a，将A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出当x≥3时，函数值y的取值范围．
（3）当A、B两点纵坐标相等时，求线段AB中点的坐标．
（4）抛物线y＝﹣x2+n（n为常数）与y轴交于点D，以点D为中心作矩形MNPQ，矩形的边平行于坐标轴，点M坐标为（a，0），当图象G在矩形MNPQ内部y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当x≥3时，y≤﹣8；
（3）分别求出A、B点的坐标，由题意可得﹣4a2+1＝﹣4a2+16a﹣15，求出a的值即可；
（4）由题意可得A、B两点在y轴左侧时，图象G在矩形MNPQ内部y随x的增大而增大，再求a的范围即可．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0）代入y＝﹣x2+n，
∴﹣1+n＝0，
解得n＝1，
∴y＝﹣x2+1；
（2）当x＝3时，y＝﹣8，
∴当x≥3时，y≤﹣8；
（3）当x＝﹣2a时，y＝﹣4a2+1，
∴A（﹣2a，﹣4a2+1），
当x＝4﹣2a时，y＝﹣（4﹣2a）2+1＝﹣4a2+16a﹣15，
∴B（4﹣2a，﹣4a2+16a﹣15），
∵A、B两点纵坐标相等，
∴﹣4a2+1＝﹣4a2+16a﹣15，
解得a＝1，
∴A（﹣2，﹣3），B（2，﹣3），
∴AB的中点坐标为（0，﹣3）；
（4）令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∵D是矩形MNPQ的中心，
∴A、B两点在y轴左侧时，图象G在矩形MNPQ内部y随x的增大而增大，
∴﹣2a≤0，4﹣2a≤0，
解得a≥2，
∴当a≥2时，图象G在矩形MNPQ内部y随x的增大而增大．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，动点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿CB向终点B运动（点P不与点B、C重合），以CP为边在BC上方作等腰Rt△CPN，使∠CPN＝90°，CP＝NP，以CP，CN为邻边作平行四边形CPMN，点P的运动时间为t秒．
（1）NP的长为 　t　，点M到BC的距离为 　t　．（用含t的代数式表示）
（2）当点M在边AB上时，求CN的长．
（3）当点M在△ABC一边垂直平分线上时，求t的值．
（4）作点B关于直线PM的对称点B'，点Q为AC的中点，连结B'Q，当B'Q与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．

【分析】（1）如图1中，过点M作MD⊥BC于D．证明四边形PDMN是矩形，即可解决问题．
（2）由△BMD∽△BCA，推出＝＝，可得BD＝2t，根据BC＝CP+PD+BD＝10，构建方程求解即可．
（3）分三种情形：点M值AC的垂直平分线上，点M在BC的垂直平分线上，点M在AB的垂直平分线上，分别求解即可；
（4）分两种情形：如图4﹣1中，当B′Q⊥CB时，P，Q，B′共线．如图4﹣2中，当QB′⊥AB时，点B′在CA的延长线上．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点M作MD⊥BC于D．

∵△CPN为等腰直角三角形，
∴NP＝CP＝t，∠NPD＝90°，
∵MD⊥BC，
∴∠MDP＝90°，
由旋转可知，∠PNM＝90°，
∴四边形PDMN为矩形，
∴MD＝NP＝t．
故答案为：t，t．

（2）如图2中，

由旋转可知，△NMP为等腰直角三角形，
∴NP＝NM，
由（1）可知，四边形PDMN为矩形，
∴四边形PDMN为正方形，
∴MD＝MN＝CP＝PD＝t，
∵∠MDB＝∠A＝90°，∠B＝∠B，
∴△BMD∽△BCA，
∴＝＝，
∴BD＝2t，
∵∠A＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴BC＝10，
∴CP+PD+BD＝10，
∴t+t+2t＝10，
∴t＝；

（3）如图3﹣1中，设AC的垂直平分线交AC于点J，交BC于点K，连接CM，当点M在AC的垂直平分线上时．

∵JK∥AB，AJ＝JC，
∴CK＝KB，∠JKC＝∠B，
∴JK＝AB＝2，
∴tan∠JKC＝tanB＝，
∵DM＝DP＝CP＝t，
∴DK＝DC＝2t，
在Rt△CMJ中则有（2t）2＝（）2+（2﹣2t）2，
∴t＝．

如图3﹣2中，当点M在BC的垂直平分线上时，2t＝5，t＝．

如图3﹣3中，当点M在AB的垂直平分线EF上时，

∵DM＝t，则DF＝t，
∴t＝2t﹣5，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或；

（4）如图4﹣1中，当B′Q⊥CB时，P，Q，B′共线．

∵QP⊥CB，CQ＝，tan∠QCP＝＝2，
∴PC＝1，PQ＝2，
∴t＝1．
如图4﹣2中，当QB′⊥AB时，点B′在CA的延长线上．

∵tan∠PCB′＝＝2，
∴10﹣t＝2t，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为1或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会有分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．