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广东省深圳市福田区深大附中福田创新学校2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷 (含答案)
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这是一份广东省深圳市福田区深大附中福田创新学校2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷 (含答案)，共18页。试卷主要包含了下列说法正确的是，如图，在□ABCD中，AE等内容，欢迎下载使用。
福田区深大附中福田创新学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，由5个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图面积相等
B．主视图和俯视图面积相等
C．俯视图和左视图面积相等
D．俯视图面积最大
2．方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
3．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
4．顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形
6．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
7．一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（ ）
A．7 B．11 C．15 D．19
8．如图，在□ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
9．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
10．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
下列结论：①CH＝BE；②S△GCE＝S△GDH；③当点E是CD的中点，5GF＝4GE；④当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝5S四边形DEGH．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．，则＝ ．
12．已知操场上的篮球架上的篮板长1.8米，高1.2米，当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它留在地面上的阴影部分面积为 ．
13．设m，n分别为一元二次方程x2+5x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+7m+2n＝ ．
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C′．设点A的横坐标是a，则点A对应的点A'的横坐标是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
17．（7分）为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）该地区共调查了 名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．
18．（7分）如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
20．（8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
22．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，由5个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图面积相等
B．主视图和俯视图面积相等
C．俯视图和左视图面积相等
D．俯视图面积最大
【解答】解：这个几何体的三视图如图所示：
因此，主视图和俯视图面积相等．
故选：B．
2．方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝1，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
故选：A．
3．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
【解答】解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.4，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
所以小英估计袋子中白球的个数约为30个，
故选：B．
4．顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【解答】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【解答】解：∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，
∴DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，
∵△ABC的面积为18，
∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，
∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．
故选：C．
7．一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（ ）
A．7 B．11 C．15 D．19
【解答】解：x2﹣17x+66＝0，
因式分解得：（x﹣11）（x﹣6）＝0，
解得：x＝11或6，
A．∵6+7＞11，符合三角形三边关系定理，
B．6+11＞11，符合三角形三边关系定理，
C．6+11＞15，符合三角形三边关系定理，
D．6+11＜19，不符合三角形三边关系定理，
故选：D．
8．如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝AD，
∴AE＝AD＝BC
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：D．
9．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【解答】解：设道路的宽x米，则
32x+20x＝100+x2．
故选：C．
10．选：C．
二．填空题
11．，则＝ 2 ．
【解答】解：∵，∴5a＝2（2a+b），
整理，得：a＝2b，∴＝2，故答案为：2．
12．已知操场上的篮球架上的篮板长1.8米，高1.2米，当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它留在地面上的阴影部分面积为 2.16m2 ．
【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
所以篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m，
由于太阳光与地面成45°角，则矩形的宽等于篮板宽，为1.2m，
所以篮板留在地面上的阴影部分面积＝1.8×1.2＝2.16（m2）．
故答案为2.16m2．
13．设m，n分别为一元二次方程x2+5x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+7m+2n＝ 2012 ．
【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+5x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m2+5m﹣2022＝0，m+n＝﹣5，∴m2+5m＝2022，
∴m2+7m+2n＝m2+5m+2（m+n）＝2022+2×（﹣5）＝2022﹣10＝2012．
故答案为：2012．
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C′．设点A的横坐标是a，则点A对应的点A'的横坐标是 ﹣3﹣2a ．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点A′作A′E⊥x轴于点E，
则AD∥A′E，
∴△ADC∽△A′EC，
∴＝＝，
由题意得，CD＝﹣1﹣a，
∴＝，
解得，CE＝﹣2﹣2a，
∴OE＝﹣2﹣2a﹣1＝﹣3﹣2a，
故答案为：﹣3﹣2a．
15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为 6+3 ．
【解答】解：延长DE，CB交于点M，过点F作FN⊥DE于点N，如图，
则∠FNE＝∠FND＝90°，
∵∠FDE＝45°，∴△FND为等腰直角三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠A＝∠ABC＝∠ABM＝90°，BC＝AD．
设NF＝x，则DN＝x，FE＝2x，
∴EN＝EF•cos30°＝x．
∴DE＝DN+NE＝（+1）x．
∵BE＝3，AB＝6，∴AE＝BE＝3．
在△AED和△BEM中，，
∴△AED≌△BEM（AAS）．
∴AD＝BM，ME＝DE＝（+1）x．
∴MN＝ME+EN＝（2+1）x．
∵∠M＝∠M，∠EBM＝∠FNM＝90°，
∴△MEB∽△MFN．∴．∴．
∴BM＝6+3．∴BC＝AD＝BM＝6+3．故答案为：6+3．
三．解答题
16．解下列方程
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2．
17．为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）该地区共调查了 200 名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．
【解答】解：（1）该地区调查的九年级学生数为：110÷55%＝200（名），
故答案为：200；
（2）B去向的学生有：200﹣110﹣16﹣4＝70（人），
C去向所占的百分比为：16÷200×100%＝8%，
补全的统计图如右图所示，
（3）由题意可得，
P（甲）＝＝，即选中甲同学的概率是．
18．如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
【解答】解：（1）如图，延长MA、NB，它们的交点为O点，再连接OC、OD，并延长交地面于P、Q点，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作；
（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB＝1.2m，EF＝1.2m，MN＝2m，
∵AB∥MN，
∴△OAB∽△OMN，
∴AB：MN＝OE：OF，即1.2：2＝（OF﹣1.2）：OF，解得OF＝3（m）．
答：路灯O与地面的距离为3m．
19．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，∴∠FDE＝∠COE，
∵点E是OD的中点，∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，，
∴△FED≌△CEO（ASA），∴DF＝OC，
∵OA＝OC，∴DF＝AO，
∵DF∥AC，∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，∴四边形AODF是菱形；
（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形，
∵AB＝CD＝2，∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四边形AODF是菱形，∴AF＝OD＝2，
∵E为OD中点，∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
20．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
22．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，，
∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连接EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，
∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝8﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，
∴，∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝8﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（8﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝4，
即DM的长是4．
福田区深大附中福田创新学校2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，由5个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图面积相等
B．主视图和俯视图面积相等
C．俯视图和左视图面积相等
D．俯视图面积最大
2．方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
3．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
4．顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形
6．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
7．一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（ ）
A．7 B．11 C．15 D．19
8．如图，在□ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
9．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
10．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．
下列结论：①CH＝BE；②S△GCE＝S△GDH；③当点E是CD的中点，5GF＝4GE；④当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝5S四边形DEGH．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．，则＝ ．
12．已知操场上的篮球架上的篮板长1.8米，高1.2米，当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它留在地面上的阴影部分面积为 ．
13．设m，n分别为一元二次方程x2+5x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+7m+2n＝ ．
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C′．设点A的横坐标是a，则点A对应的点A'的横坐标是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
17．（7分）为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）该地区共调查了 名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．
18．（7分）如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
20．（8分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
22．（9分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，由5个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图面积相等
B．主视图和俯视图面积相等
C．俯视图和左视图面积相等
D．俯视图面积最大
【解答】解：这个几何体的三视图如图所示：
因此，主视图和俯视图面积相等．
故选：B．
2．方程x2﹣2x﹣5＝1经配方后，可化为（ ）
A．（x﹣1）2＝7 B．（x+1）2＝7 C．（x﹣1）2＝4 D．（x+1）2＝4
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝1，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
故选：A．
3．一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．50 B．30 C．12 D．8
【解答】解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：＝0.4，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
所以小英估计袋子中白球的个数约为30个，
故选：B．
4．顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【解答】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【解答】解：∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，
∴DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，
∵△ABC的面积为18，
∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，
∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．
故选：C．
7．一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（ ）
A．7 B．11 C．15 D．19
【解答】解：x2﹣17x+66＝0，
因式分解得：（x﹣11）（x﹣6）＝0，
解得：x＝11或6，
A．∵6+7＞11，符合三角形三边关系定理，
B．6+11＞11，符合三角形三边关系定理，
C．6+11＞15，符合三角形三边关系定理，
D．6+11＜19，不符合三角形三边关系定理，
故选：D．
8．如图，在▱ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）
A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE：DE＝2：1，
∴AE＝AD，
∴AE＝AD＝BC
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，
∴△AFE∽△CFB，
∴＝，
∵AC＝12，
∴AF＝×12＝4.8．
故选：D．
9．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【解答】解：设道路的宽x米，则
32x+20x＝100+x2．
故选：C．
10．选：C．
二．填空题
11．，则＝ 2 ．
【解答】解：∵，∴5a＝2（2a+b），
整理，得：a＝2b，∴＝2，故答案为：2．
12．已知操场上的篮球架上的篮板长1.8米，高1.2米，当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它留在地面上的阴影部分面积为 2.16m2 ．
【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
所以篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m，
由于太阳光与地面成45°角，则矩形的宽等于篮板宽，为1.2m，
所以篮板留在地面上的阴影部分面积＝1.8×1.2＝2.16（m2）．
故答案为2.16m2．
13．设m，n分别为一元二次方程x2+5x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+7m+2n＝ 2012 ．
【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x2+5x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m2+5m﹣2022＝0，m+n＝﹣5，∴m2+5m＝2022，
∴m2+7m+2n＝m2+5m+2（m+n）＝2022+2×（﹣5）＝2022﹣10＝2012．
故答案为：2012．
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C′．设点A的横坐标是a，则点A对应的点A'的横坐标是 ﹣3﹣2a ．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点A′作A′E⊥x轴于点E，
则AD∥A′E，
∴△ADC∽△A′EC，
∴＝＝，
由题意得，CD＝﹣1﹣a，
∴＝，
解得，CE＝﹣2﹣2a，
∴OE＝﹣2﹣2a﹣1＝﹣3﹣2a，
故答案为：﹣3﹣2a．
15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为 6+3 ．
【解答】解：延长DE，CB交于点M，过点F作FN⊥DE于点N，如图，
则∠FNE＝∠FND＝90°，
∵∠FDE＝45°，∴△FND为等腰直角三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠A＝∠ABC＝∠ABM＝90°，BC＝AD．
设NF＝x，则DN＝x，FE＝2x，
∴EN＝EF•cos30°＝x．
∴DE＝DN+NE＝（+1）x．
∵BE＝3，AB＝6，∴AE＝BE＝3．
在△AED和△BEM中，，
∴△AED≌△BEM（AAS）．
∴AD＝BM，ME＝DE＝（+1）x．
∴MN＝ME+EN＝（2+1）x．
∵∠M＝∠M，∠EBM＝∠FNM＝90°，
∴△MEB∽△MFN．∴．∴．
∴BM＝6+3．∴BC＝AD＝BM＝6+3．故答案为：6+3．
三．解答题
16．解下列方程
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝，x2＝2．
17．为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）该地区共调查了 200 名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．
【解答】解：（1）该地区调查的九年级学生数为：110÷55%＝200（名），
故答案为：200；
（2）B去向的学生有：200﹣110﹣16﹣4＝70（人），
C去向所占的百分比为：16÷200×100%＝8%，
补全的统计图如右图所示，
（3）由题意可得，
P（甲）＝＝，即选中甲同学的概率是．
18．如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．
（1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；
（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．
【解答】解：（1）如图，延长MA、NB，它们的交点为O点，再连接OC、OD，并延长交地面于P、Q点，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作；
（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB＝1.2m，EF＝1.2m，MN＝2m，
∵AB∥MN，
∴△OAB∽△OMN，
∴AB：MN＝OE：OF，即1.2：2＝（OF﹣1.2）：OF，解得OF＝3（m）．
答：路灯O与地面的距离为3m．
19．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E是OD的中点，DF∥AC交CE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，∴∠FDE＝∠COE，
∵点E是OD的中点，∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，，
∴△FED≌△CEO（ASA），∴DF＝OC，
∵OA＝OC，∴DF＝AO，
∵DF∥AC，∴四边形AODF是平行四边形，
∵AO＝OD，∴四边形AODF是菱形；
（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形，
∵AB＝CD＝2，∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四边形AODF是菱形，∴AF＝OD＝2，
∵E为OD中点，∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
20．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2
（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，
CQ＝tcm，
过点P作PH⊥BC于点H，
则PH＝（10﹣2t）cm，
根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6，
解得：t1＝2，t2＝3．
答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．
（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）；
如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴＝，即＝，解得t＝（秒）．
综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．
22．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△EAN中，，
∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM．
在Rt△CMN中，MN＝＝＝10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；故答案为：12；
（2）EF2＝BE2+DF2，
理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连接EH，
∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，
∴∠HAE＝45°＝∠EAF，
又∵AH＝AF，AE＝AE，
∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，
∵∠ADN+∠AND＝90°，
∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，
∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；
（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝2，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
设DM＝x，则MQ＝8﹣x，
∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，
∴，∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝8﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（8﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝4，
即DM的长是4．
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