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2024年广东省深圳市福田区深大附中创新中学中考二模数学试题（学生版+教师版 ）
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这是一份2024年广东省深圳市福田区深大附中创新中学中考二模数学试题（学生版+教师版 ），文件包含2024年广东省深圳市福田区深大附中创新中学中考二模数学试题教师版docx、2024年广东省深圳市福田区深大附中创新中学中考二模数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
说明：1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分．
2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记．
3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分）
4．考试结束，请将答题卡上交．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. “生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将402000000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，平方差公式，完全平方公式和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A. 总体是中学生B. 样本容量是360
C. 估计该校约有90%的家长持反对态度D. 该校只有360个家长持反对态度
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和总体、样本、样本容量定义可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：由题意可得，
总体是某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故选项不符合题意；
样本容量是400，故选项错误；
估计该校约有的家长持反对态度，故选项符合题意；
该校抽取的样本中有360个家长持反对态度，并不是全校持反对家长态度的家长，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查用样本估计总体、总体、样本、样本容量，解题的关键是明确题意，理解总体、样本、样本容量．
5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
在选项中，只有0符合题意，
故选：A．
6. 已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
9. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A. 1B. 2C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E
∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．
10. 如图1，在中，．点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，当点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a，当点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
如图，当时，点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
如图，当时，点D在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
【详解】根据题意，列表如下.
由表，可知共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据多项式的结构特征，先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，综合应用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可，熟知反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如图是一种笔记本电脑支架，它有共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为，已知托架的长度为，M点是支点且，当支架调至A点时，，当支架调至E档时，托架绕着点O旋转到，此时，则支点到的距离为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，点到直线的距离．熟练掌握旋转的性质，勾股定理，点到直线的距离是解题的关键．
由题意知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，如图，过作于，则为点到的距离，设，则，由勾股定理得，，，即，求，进而可求．
【详解】解：∵有共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为，
∴，
由题意知，，
∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，，
如图，过作于，则为点到的距离，设，则，
由勾股定理得，，即，
，即，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案．
【详解】过点E作，交的延长线于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．先计算零次幂、乘、，再化简绝对值、开方，最后算加减．
【详解】解：原式
．
17. 先化简再求值： 其中 x 满足
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键．
首先应用平方差公式和完全平方公式进行因式分解化简，然后凑项即可解答．
【详解】解：原式
，
∵，
∴
∴原式．
18. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生有________名，并补全条形统计图；
（2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？
（3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）全校选择游泳的学生约有500人
（3）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）足球人数除以占比，求出总人数，进而求出乒乓球的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：（名）；
乒乓球的人数为：；
补全图形如图：
故答案为：40．
【小问2详解】
（人）；
答：全校选择游泳的学生约有500人．
【小问3详解】
画出树状图如图：
一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8个，
∴．
19. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：
（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）2880元
（2）按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解；
（2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，（元），
答：全部售完后获利2880元；
【小问2详解】
解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元．
由题意得：，
∵A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，
，
∴，
∵，，
∴y随x增大而减小，
当时，（元），
∴B种纪念币的数量为（枚），
答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
20. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点；
（2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点．
【小问1详解】
就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
【小问2详解】
如图所示，点E就是求作的点，
21. 综合与实践
【问题提出】
某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】
在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四：如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
【问题解决】
如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①所有队员都可以通过；②．
【解析】
【分析】本题考查二次函数解决实际问题．
（1）由题意可知，抛物线顶点为，经过，故设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入即可求得a的值，从而解答；
（2）①根据题意得到各位队员所在位置的横坐标，代入抛物线解析式中，求出对应点的纵坐标，该纵坐标与队员身高比较，即可判断长绳能否高过队员的头顶；
②把代入中，求得，即最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间最小距离为米，进而可得最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线顶点为，经过
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①队伍排列时，最高的队员在正中间其位置的横坐标为2，
其余同学按照从高到低的顺序在其两侧对称排列．
身高为1.68与1.73的队员所在位置的横坐标分别为1.5与2.5，
身高为1.60的队员所在位置的横坐标分别为1与3；
，
∴身高最高的队员可以通过．
由题意，把代入中，
得．
，
∴身高为1.68与1.73的队员可以通过．
由题意，把代入中，得．
，
∴身高为1.60的队员可以通过．
综上所述，所有队员都可以通过
②由题意，把代入中，
则．
解得（舍去）．
，
∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间最小距离为米，
最大距离为（米），
∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围：．
22. 【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是 ，的值是 ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．
【答案】（1），；（2）的值是定值，；（3），．
【解析】
【分析】（）连接，交于点，由，，得垂直平分，是等边三角形，故有，，然后证明即可求解；
（）连接交于点，交于点，证明四边形是菱形 ，得，，，再证即可；
（）连接交于点，交于点，与（）（）同理．
【详解】（），．
如图，连接，交于点，
∵，，
∴垂直平分，是等边三角形，
∴，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
则，
故答案为：，；
（）的值是定值， ，理由，
如图，连接交于点，交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形 ，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）正确， ，理由，
连接交于点，交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
由（）得，是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的的性质与判定，勾股定理和等面积法，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．小明
小王
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
品名
A
B
进价（元/枚）
45
60
售价（元/枚）
66
90
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高/m
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
说明：1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分．
2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记．
3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分）
4．考试结束，请将答题卡上交．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. “生活在这个世界上，我们必须全力以赴”这是2024年2月10日大年初一全国上映的电影《热辣滚烫》中的一句话，这部电影首日票房约402000000元，数字402000000用科学记数法可表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，将402000000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，平方差公式，完全平方公式和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A. 总体是中学生B. 样本容量是360
C. 估计该校约有90%的家长持反对态度D. 该校只有360个家长持反对态度
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和总体、样本、样本容量定义可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：由题意可得，
总体是某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故选项不符合题意；
样本容量是400，故选项错误；
估计该校约有的家长持反对态度，故选项符合题意；
该校抽取的样本中有360个家长持反对态度，并不是全校持反对家长态度的家长，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查用样本估计总体、总体、样本、样本容量，解题的关键是明确题意，理解总体、样本、样本容量．
5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
在选项中，只有0符合题意，
故选：A．
6. 已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行，内错角相等可得，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
7. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
9. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A. 1B. 2C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E
∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围．
10. 如图1，在中，．点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，当点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a，当点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
如图，当时，点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
如图，当时，点D在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个课程的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
【详解】根据题意，列表如下.
由表，可知共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据多项式的结构特征，先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，综合应用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可，熟知反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如图是一种笔记本电脑支架，它有共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为，已知托架的长度为，M点是支点且，当支架调至A点时，，当支架调至E档时，托架绕着点O旋转到，此时，则支点到的距离为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，点到直线的距离．熟练掌握旋转的性质，勾股定理，点到直线的距离是解题的关键．
由题意知，，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，，如图，过作于，则为点到的距离，设，则，由勾股定理得，，，即，求，进而可求．
【详解】解：∵有共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为，
∴，
由题意知，，
∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，，
如图，过作于，则为点到的距离，设，则，
由勾股定理得，，即，
，即，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案．
【详解】过点E作，交的延长线于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．先计算零次幂、乘、，再化简绝对值、开方，最后算加减．
【详解】解：原式
．
17. 先化简再求值： 其中 x 满足
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键．
首先应用平方差公式和完全平方公式进行因式分解化简，然后凑项即可解答．
【详解】解：原式
，
∵，
∴
∴原式．
18. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生有________名，并补全条形统计图；
（2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？
（3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）全校选择游泳的学生约有500人
（3）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）足球人数除以占比，求出总人数，进而求出乒乓球的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：（名）；
乒乓球的人数为：；
补全图形如图：
故答案为：40．
【小问2详解】
（人）；
答：全校选择游泳的学生约有500人．
【小问3详解】
画出树状图如图：
一共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为8个，
∴．
19. 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示：
（1）第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？
（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）2880元
（2）按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解；
（2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，（元），
答：全部售完后获利2880元；
【小问2详解】
解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元．
由题意得：，
∵A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，
，
∴，
∵，，
∴y随x增大而减小，
当时，（元），
∴B种纪念币的数量为（枚），
答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元．
20. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高，计算得__________．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点；
（2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点．
【小问1详解】
就是所求作的高，如图所示，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：
【小问2详解】
如图所示，点E就是求作的点，
21. 综合与实践
【问题提出】
某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】
在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；
步骤四：如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
【问题解决】
如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①所有队员都可以通过；②．
【解析】
【分析】本题考查二次函数解决实际问题．
（1）由题意可知，抛物线顶点为，经过，故设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入即可求得a的值，从而解答；
（2）①根据题意得到各位队员所在位置的横坐标，代入抛物线解析式中，求出对应点的纵坐标，该纵坐标与队员身高比较，即可判断长绳能否高过队员的头顶；
②把代入中，求得，即最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间最小距离为米，进而可得最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线顶点为，经过
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得．
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①队伍排列时，最高的队员在正中间其位置的横坐标为2，
其余同学按照从高到低的顺序在其两侧对称排列．
身高为1.68与1.73的队员所在位置的横坐标分别为1.5与2.5，
身高为1.60的队员所在位置的横坐标分别为1与3；
，
∴身高最高的队员可以通过．
由题意，把代入中，
得．
，
∴身高为1.68与1.73的队员可以通过．
由题意，把代入中，得．
，
∴身高为1.60的队员可以通过．
综上所述，所有队员都可以通过
②由题意，把代入中，
则．
解得（舍去）．
，
∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间最小距离为米，
最大距离为（米），
∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围：．
22. 【问题情境】
如图，在四边形中，，，，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转，且长度变为原来的倍，得到线段，作直线交直线于点．数学兴趣小组着手研究为何值时，的值是定值．
【探究实践】
老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现的取值与为定值的关系，再探究图中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．
经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．
（1）如图，小明发现：“当，时，点与点恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接，易证，得到与的数量关系是 ，的值是 ；
（2）如图，小华发现：“当，时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接，只要确定的长，就能求出的值，使得的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出的值及的定值．
【答案】（1），；（2）的值是定值，；（3），．
【解析】
【分析】（）连接，交于点，由，，得垂直平分，是等边三角形，故有，，然后证明即可求解；
（）连接交于点，交于点，证明四边形是菱形 ，得，，，再证即可；
（）连接交于点，交于点，与（）（）同理．
【详解】（），．
如图，连接，交于点，
∵，，
∴垂直平分，是等边三角形，
∴，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
则，
故答案为：，；
（）的值是定值， ，理由，
如图，连接交于点，交于点，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形 ，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）正确， ，理由，
连接交于点，交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
由（）得，是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的的性质与判定，勾股定理和等面积法，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．小明
小王
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
品名
A
B
进价（元/枚）
45
60
售价（元/枚）
66
90
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高/m
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
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