广东省深圳市福田区耀华实验学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区耀华实验学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，定义运算，解下列方程，＝0等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0B．x﹣y＝0C． D．x2﹣1＝0 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角D．四边相等
3．用配方法解方程 x2﹣4x+2＝0 时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣2 4．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若 AC＝14，则 OB 的长为（ ）
A．7B．6C．5D．2
如图，延长正方形 ABCD 的一边 BC 至 E，使 CE＝AC，连接 AE 交 CD 于 F，则∠AFC 的度数是
（ ）
A．112.5°B．120°C．122.5°D．135°
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形 ABCD．测得 A，B 的距离为 6，A，
C 的距离为 4，则 B，D 的距离是（ ）
A．4 B．8C．8 D．4
若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有一个根为 0，则 m 的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
如图，在长为 32 米，宽为 20 米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为 100 平方米，设小路的宽为 x 米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程 2☆x＝0 的根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根
如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E 是边 AB 上一点，且∠DCE
＝45°，则 DE 的长度是（ ）
A．3.2B．3.4C．3.6D．4
二．填空题（每题 3 分，共 15 分）
将一元二次方程 x（x﹣2）＝5 化为一般形式是 ．
已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是 ．
如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E 是 BC 的中点，连接 OE．若 OE＝1，则 AB
＝ ．
如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，以 O 为顶点的正方形 OEGF 的两边 OE，OF 分别交正方形的边 AB，BC 于点 M，N．记△AOM 的面积为 S1，△CON 的面积为 S2，若正方形的边长
AB＝10，S1＝16，则 S2 的大小为 ．
在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，∠CAE＝15°， 连接 OE，①△DOC 是等边三角形；②△BOE 是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．则 结 论 中 正 确 的 有 ．
三．解答题（共 55 分）
16．（6 分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
17．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
试证：无论 m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
设 x1，x2 为方程的两个实数根，且 ，求 m 的值．
18．（8 分）超市销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销量，增加盈利，
该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．
若降价 6 元，则平均每天销售数量为 件；
为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为 1200 元，每件商品应降价多少元？
19．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为点 E，延长 BC 到点 F，使 CF＝BE，连接 DF．
求证：四边形 AEFD 是矩形；
若 AB＝13，AC＝10，求 AE 的长．
20．（8 分）在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以
1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点
P、Q 分别从点 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动．设运动时间为 t 秒．
填空：BQ＝ ，PB＝ （用含 t 的代数式表示）；
是否存在 t 的值，使得△PBQ 的面积等于 4cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
21．（9 分）王老师提出问题：求代数式 x2+4x+5 的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0 时，（x+2）2+1 的值最小，最小值是 1．
∴x2+4x+5 的最小值是 1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
直接写出（x﹣1）2+3 的最小值为 ．
求代数式 x2+10x+32 的最小值．
你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
22．（10 分）问题背景：如图，在正方形 ABCD 中，边长为 4．点 M，N 是边 AB，BC 上两点，且 BM
＝CN＝1，连接 CM，DN，CM 与 DN 相交于点 O．
探索发现：探索线段 DN 与 CM 的关系，并说明理由；
探索发现：若点 E，F 分别是 DN 与 CM 的中点，计算 EF 的长；
拓展提高：延长 CM 至 P，连接 BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段 PM 的长．