2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共33页。试卷主要包含了下列计算中，结果正确的是，小华将一副三角板等内容，欢迎下载使用。

1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105B．3.51×106C．3.51×107D．0.351×107
4．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．（﹣pq）3＝p3q3B．x•x3+x2•x2＝x8
C．＝±5D．（a2）3＝a6
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米D．1.50米，1.60米
6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：2a2+8ab+8b2＝ ．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
14．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
19．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
20．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
21．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
22．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
参考答案
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．
解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105B．3.51×106C．3.51×107D．0.351×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：3510000＝3.51×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．（﹣pq）3＝p3q3B．x•x3+x2•x2＝x8
C．＝±5D．（a2）3＝a6
【分析】本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．
解：A：（﹣pq）3＝（﹣p）3q3＝﹣p3q3，故选项A错误，
B：x•x3+x2•x2＝x4+x4＝2x4，故选项B错误，
C：＝5，故选项C错误，
D：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：D．
【点评】本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．解题的关键是理解算术平方根的意义，幂的乘方的运算．
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米D．1.50米，1.60米
【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
解：由表可知1.65m出现次数最多，有5次，所以众数为1.65m，
这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65m，所以中位数为1.65m，
故选：A．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≥1，
将不等式①②的解集在同一条数轴上表示如图所示：
∴该不等式组的解集为：x≥1，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7．小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【分析】设AB与DF交于点O，根据平行线的性质可得∠AOF＝∠F＝45°，则∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝75°．
解：设AB与DF交于点O，
由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°，
∵AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，
由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，
由第二次折叠知，CD＝DE＝，
∴AB＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
【分析】①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出，即PM+PN的最小值；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF＝DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD＝，
∴，
即PM+PN的最小值为，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADE，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴，
即DE2＝GE•AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE•AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又，
∴，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：2a2+8ab+8b2＝ 2（a+2b）2 ．
【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：2a2+8ab+8b2
＝2（a2+4ab+4b2）
＝2（a+2b）2．
故答案为：2（a+2b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是 x＜2 ．
【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
解：∵二次根式有意义，
∴2﹣x＞0，解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
13．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 26 寸．
【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．
解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AE＝AB＝×10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．
14．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 4 ．
【分析】设A1C交AB于D，由A1B1∥AC，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，可得CD＝AD，而∠ACB＝90°，即可得BD＝CD＝AD，故S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，因S△ABE＝3S△ACE，即有＝，＝，设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，求出BE＝＝4x，BC＝＝2x，证明△BCE∽△ABC，即可得＝，从而AB＝4．
解：设A1C交AB于D，如图：
∵A1B1∥AC，
∴∠A1＝∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1＝∠BAC，
∴∠A1CA＝∠BAC，
∴CD＝AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD，
∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，
∵S△ABE＝3S△ACE，
∴S△BDE＝S△ADE＝S△ACE，
∴＝，
∴＝，
设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD，
∴BE＝＝4x，
∴BC＝＝2x，
∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，
∴△BCE∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝8，
∴＝，
∴AB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查旋转的性质，涉及相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理．
三．解答题（共55分）
16．计算：．
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
17．先化简，再求值：，其中．
【分析】计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
解：原式＝
＝
＝
＝﹣x2﹣x，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了化简求值，掌握约分是解题关键．
18．某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【分析】（1）①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；
（3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，
故答案为：120°；
（2）3600×＝720（名），
答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）利用“每袋利润×日销量＝总利润”列出函数解析式，进而求出二次函数最值即可．
解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；
（2）依题意，设利润为w元，
得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，
配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
20．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若，BP＝4，求CD的长．
【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，
∴＝，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，
∴CD的长为．
【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
21．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得，将 n＝1.2 代入n＝得：b＝6；
探究2：由，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，即可得0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得＝，即可解得答案．
解：探究1：
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
设 ，将其中一点（9，0.8）代入得：，
解得：k＝7.2，
∴，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 n＝1.2 代入n＝得：b＝6；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm；
探究2：
∵，
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得＝，
由探究1知b1＝6，
∴＝，
解得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
22．过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
【分析】（1）利用正方形性质和旋转变换证明△ADP≌△ABQ（SAS），即可证得结论；
（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，先证明△ADP≌△ABQ（SAS），可得BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，再证明：△APQ是等边三角形，△APH是等腰直角三角形，△BPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠BRP＝90°时，②当∠PBR＝90°时，③当∠BPR＝90°时，分别求出AP的长．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠DAP+∠BAM＝90°，
∵∠PAQ＝90°，
∴∠BAQ+∠BAM＝90°，
∴∠DAP＝∠BAQ，
∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，
∴AP＝AQ，
∴△ADP≌△ABQ（SAS），
∴BQ＝DP．
（2）解：如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
由旋转得：AP＝AQ，
∵∠DAB＝α＝60°，
即∠DAB＝∠PAQ＝60°，
∴△ADP≌△ABQ（SAS），
∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，
∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∵PQ⊥BQ，
∴∠BQP＝90°，
∴∠AQB＝∠AQP+∠BQP＝60°+90°＝150°，
∴∠APD＝∠AQB＝150°，
∴∠DPM＝180°﹣∠APD＝180°﹣150°＝30°，
∵∠MAD＝15°，
∴∠ADP＝∠DPM﹣∠MAD＝30°﹣15°＝15°，
∴∠ADP＝∠MAD，
∴AP＝DP，
∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，
∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，
∴∠PAH＝∠PAQ﹣∠BAQ＝60°﹣15°＝45°，
∵PH⊥AB，
∴∠AHP＝∠BHP＝90°，
∴△APH是等腰直角三角形，
∴AH＝PH＝AP，
∵BQ＝PQ，∠PQB＝90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠PBQ＝45°，
∴∠PBH＝∠PBQ﹣∠ABQ＝45°﹣15°＝30°，
∴BH＝＝＝AP，
∴AB＝AH+BH＝AP+AP＝AP，
∵AB＝+，
∴AP＝+，
∴AP＝2；
（3）解：①当∠BRP＝90°时，如图3，连接DP，PQ，过点B作BE⊥AQ于点E，
设AM交CD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAM+∠DAP＝90°，∠ADC＝90°，
∵∠BAM+∠BAR＝90°，
∴∠DAP＝∠BAR，
∵AD＝6，AB＝8，
∴＝＝，
∵AR＝AP，
∴＝，
∴＝，
∴△ADP∽△ABR，
∴＝＝＝，即BR＝DP，
∵AM平分∠DAC，FD⊥AD，FG⊥AC，
∴FD＝FG，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∴tan∠ACD＝＝＝，
∵＝tan∠ACD＝，
∴＝，
∵DF+CF＝CD＝8，
∴DF＝3，CF＝5，
在Rt△ADF中，AF＝＝＝3，
∵∠DAP＝∠BAR，∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△ADF∽△AEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AE＝，BE＝，
∵∠BRP＝90°，
∴∠ARP+∠BRE＝90°，
∵∠ARP+∠APR＝90°，
∴∠BRE＝∠APR，
∴tan∠BRE＝tan∠APR，
∴＝＝，
∴ER＝BE＝×＝，
∵AR+ER＝AE，
∴AP+＝，
∴AP＝；
②当∠PBR＝90°时，如图4，过点P作PG⊥AD于点G，PH⊥AB于点H，
则sin∠DAF＝＝＝，cs∠DAF＝＝＝，
∴PG＝AP，AG＝AP，
∵∠GAH＝∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形，
∴AH＝PG＝AP，PH＝AG＝AP，
∴BH＝AB﹣AH＝8﹣AP，
∴BP2＝PH2+BH2＝（AP）2+（8﹣AP）2＝AP2﹣AP+64，
在Rt△DPG中，DP2＝DG2+PG2＝（6﹣AP）2+（AP）2＝AP2﹣AP+36，
∵BR＝DP，
∴BR2＝DP2＝AP2﹣AP+64，
在Rt△APR中，PR2＝AP2+AR2＝AP2+（AP）2＝AP2，
在Rt△PBR中，PR2＝BP2+BR2，
∴AP2＝AP2﹣AP+64+AP2﹣AP+64，
解得：AP＝；
③当∠BPR＝90°时，
由②知：BR2＝AP2﹣AP+64，PR2＝AP2，BP2＝AP2﹣AP+64，
∵PR2+BP2＝BR2，
∴AP2+AP2﹣AP+64＝AP2﹣AP+64，
解得：AP＝0或AP＝﹣，均不符合题意；
综上所述，AP的长为或．
【点评】本题考查了正方形和菱形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用前面所学的知识解答后面的题目，运用分类讨论思想和数形结合思想，具有很强的综合性，是中考常考题型．
成绩/米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
2
3
5
4
1
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
x/元
15
20
25
30
y/袋
25
20
15
10
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）．
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
成绩/米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
2
3
5
4
1
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
x/元
15
20
25
30
y/袋
25
20
15
10
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n＝（0.5≤θ≤10）．
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长．