广东省深圳市福田区耀华实验学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区耀华实验学校2023-2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共16页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，定义运算等内容，欢迎下载使用。

福田区耀华实验学校2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．x2﹣1＝0
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．2
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（　　）

A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为6，A，C的距离为4，则B，D的距离是（　　）

A．4 B．8 C．8 D．4
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
8．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4

二．填空题（每题3分，共15分）
11．将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为一般形式是 　 　．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　．
13．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E是BC的中点，连接OE．若OE＝1，则AB＝　 　．

14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为 　 　．

15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．则结论中正确的有 　 　．

三．解答题（共55分）
16．（6分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．



17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值．




18．（8分）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为 　 　件；
（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？





19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．





20．（8分）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

21．（9分）王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为 　 　．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．



22．（10分）问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．
（1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．


耀华实验学校10月月考参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．x2﹣1＝0
【解答】解：A．方程x﹣1＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x﹣y＝0是二元一次方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣＝0不是整式方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
【解答】解：方程x2﹣4x+2＝0，
变形得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
故选：A．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AC＝14，则OB的长为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．2
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC,
∵AC＝14,
∴OB＝7,
故选：A．
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（　　）

A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
【解答】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°；
故选：A．
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD．测得A，B的距离为6，A，C的距离为4，则B，D的距离是（　　）

A．4 B．8 C．8 D．4
【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC＝4＝2，BO＝DO，AC⊥BD，
∵AB＝6，
∴BO＝，
∴BD＝8，
故选：C．

7．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为0，
∴m＝0，
故选：C．
8．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【解答】解：设道路的宽x米，
则32x+20x＝100+x2．
32x+20x﹣x2＝100．
故选：B．
9．定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【解答】解：根据题意得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）

A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，

∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为一般形式是 　x2﹣2x﹣5＝0　．
【解答】解：x（x﹣2）＝5，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x﹣5＝0，
故答案为：x2﹣2x﹣5＝0．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是 　m≥﹣3且m≠1　．
【解答】解：∵方程（（m﹣1）x2+4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，则m≠1，
∵该方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＝4m+12≥0，
解得m≥﹣3，
综上：m的取值范围是m≥﹣3且m≠1．
故答案为：m≥﹣3且m≠1．
13．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E是BC的中点，连接OE．若OE＝1，则AB＝　2　．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵E是CD的中点，OE＝1，
∴BC＝2OE＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为 　9　．

【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠COF，
在△OBM与△OCN中，，
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴，
∴S2＝25﹣16＝9，
故答案为：9．
15．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．则结论中正确的有 　①②④　．

【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣3，x2＝1．
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4），
x（x﹣4）﹣3（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
x1＝4，x2＝3．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且，求m的值．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）．
Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16．
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0，
∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2为方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1•x2＝﹣2（m+3），
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16，
∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，
∴m2+2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝1．
18．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为 　32　件；
（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？
【解答】解：（1）由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为20+6×2＝32件，
故答案为：32
（2）设每件商品应降价x元，
由题意得，（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得x＝10或x＝20，
∵要尽快减少库存，
∴x＝20，
∴每件商品应降价20元．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四边形ABCD＝BC⋅AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四边形ABCD＝AC•BD＝BC•AE，
∴，
∴．
20．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　2tcm　，PB＝　＝（5﹣t）cm　（用含t的代数式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2tcm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1．
21．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为 　3　．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+3≥3．
当（x﹣1）2＝0时，（x﹣1）2+3的值最小，最小值是3，
故答案为：3；
（2）x2+10x+32＝x2+10x+25﹣25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）
＝﹣（x2﹣6x）+5
＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）+5
＝﹣（x﹣3）2+3+5
＝﹣（x﹣3）2+8，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+8≤8，
∴当（x﹣3）2＝0时，﹣x2+2x+5有最大值，最大值是8．
22．问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．

（1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
【解答】解：（1）CM＝DN，且DN⊥CM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
∴线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM；
（2）连接CE并延长交AD于G，连接GM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝90°，BC∥AD，∴∠ENC＝∠EDG，
∵NE＝DE，∠NEC＝∠DEG，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，GD＝CN＝1，
又∵MF＝CF，∴，
∵正方形的边长为4，BM＝DG＝1，∴AM＝AG＝3，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2，
∴32+32＝GM2，
∴，∴；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，

∵CM2＝BC2+BM2，
∴，
∵，∴，
∴，∴∠BPC＝45°，
∴，
∴，
∴．