陕西省宝鸡市重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试 数学（文）试题

2020-2021学年度第一学期高二年级期中考试

数学（文） 试卷

时间：120分钟   满分：150分  

一．单择题（共14小题每题5分共70分）

1.下列有关命题的说法正确的是（     ）

A．命题“若，则”的否命题：“若，则” 

B．“”是“”的必要不充分条件 

C．命题“使得”的否定是：“，均有” 

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

2．“”是“方程为椭圆”的（      ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.关于的不等式（）的解集为，

且，则（      ）

A．        B．      C．         D．

4.抛物线的焦点坐标为（     ）

A．    B．      C.   D．

5.设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程＋＝1所表示的曲线为(　 　)

A． 焦点在x轴上的椭圆      B． 焦点在y轴上的椭圆

C． 焦点在x轴上的双曲线    D． 焦点在y轴上的双曲线

6.在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100等于 (　  　)．

A．-1     B．0    C．1   D．2

7.设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( 　　)

A.(0,1]∪[9,+∞)       B.(0,]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)       D.(0,]∪[4,+∞)

8.不等式组所表示的平面区域的面积等于（    ）

A            

9.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为  (     )

A．    B．   C．   D．

10.设双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　 　)

A. B.5 C. D.

11如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于 （   ） 

A．         B． 

C．         D．

12.如图,南北方向的公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A北偏东60°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是(　 　)

A.(2+)a万元     B.(2+1)a万元

C.5a万元     D.6a万元

13.斜率为2的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是（     ）.

A.      B.      C.     D.

14.已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1、F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)

A． 锐角三角形       B． 直角三角形

C． 钝角三角形       D． 随m、n变化而变化

二．填空题（共4小题每题5分共20分把答案填在答题纸相应的横线上）

15. 对于R，不等式，实数的取值范围     .

16. 在等差数列中，，则该数列的前13项和等于      .

17．过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则_____.

18. 已知两点，给出下列曲线方程

①           ②          

③         ④ 

在曲线上存在点满足的所有曲线方程是        。（写出所以正确的编号）

三．解答题：（本大题共5小题，共60分）解答应写出必要的文字说明．重要的演算步骤，只写最后答案的不给分。

19.（本小题满分12分）已知抛物线y2=2x.

(1) 点A的坐标为     ，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的

距离   ;

(2)在抛物线上求一点P,使P到直线              的距离最短，并求出距离最小值。

20.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.

(1)求的值；

(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.

21.（本小题满分12分）正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

22.（本小题满分12分）

在直角坐标系中，点P到两点,的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A,B两点.

（1）写出C的方程； （2）若⊥,求的值.

23.（本小题满分12分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆G与A,B两点.

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为的函数，并求出的最大值.

2020-2021学年度第一学期高二年级期中考试

数学（文） 答案

时间：120分钟   满分：150分  

一．单择题（共14小题每题5分共70分）

三．填空题（共4小题每题5分共20分把答案填在答题纸相应的横线上）

15.   2             16.  26             17.  2             18.     ②③④  

四．解答题：（本大题共5小题，共60分）解答应写出必要的文字说明．重要的演算步骤，只写最后答案的不给分。

19. （本小题满分12分）

20. （本小题满分12分）

(1)由正弦定理，则＝，

所以＝，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.因此＝2.

(2)由＝2，得c＝2a.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝2.

因为cos B＝，且0<B<π，所以sin B＝，

因此S＝acsin B＝×1×2×＝

21. （本小题满分12分）

解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.

由于{an}是正项数列，所以an＝2n.

(2)由an＝2n，bn＝，得bn＝＝.

Tn＝＝＝.

22. （本小题满分12分）

 （1）设，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以,为焦点，长半轴为2的椭圆.其短半轴，故曲线C的方程为.

（2）设，,由，即，由韦达定理知，，.

若⊥,即，而，

所以，即，

解得.

23. （本小题满分12分）

解析（1）由已知得，所以，所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为.

（2）由题意知，点在圆上或圆外，≥1，当时，切线的方程为＝1，点A,B的坐标分别为，此时，当时，同理可得.

当＞1，设，，切线的方程为，由得，由韦达定理得

，，又由与圆相切，得，即，

可得＝＝＝.

上式对也成立，所以＝，.

因为＝＝≤2，当且仅当时，＝2.

所以的最大值为2.