2020-2021学年陕西省泾阳县某校高三（上）期中考试数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省泾阳县某校高三（上）期中考试数学（文）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z=m2−2m+im∈R为纯虚数，则m=( )
A.0B.2C.0或2D.4

2. 函数y=lg(2−x)+x的定义域为( )
A.(0, 2)B.[0, 2)C.[0, 2]D.[0,+∞)

3. 已知向量a→是单位向量，向量a→，b→的夹角为60∘，且a→⋅b→=1，则|b→|=( )
A.2B.12C.233D.3

4. 曲线y=x2+lnx在x=1处的切线方程是（ ）
A.3x+y+2=0B.3x+y−2=0C.3x−y+2=0D.3x−y−2=0

5. 函数f(x)=5x2ex+e−x的图像大致为( )
A.B.
C.D.

6. 已知函数y=sinωx+π6图像的一条对称轴方程为x=π3，则实数ω的取值不可能为( )
A.1B.4C.7D.8

7. 已知a=lg32，b=34−0.1， c=5−3，则a，b，c的大小关系是( )
A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

8. 若函数f(x)=2x+a2x−2a的零点在区间(0, 1)上，则a的取值范围是( )
A.(−∞, 12)B.(−∞, 1)C.(12, +∞)D.(1, +∞)

9. 函数f(x)=lg3(x2−2x−3)的单调增区间为( )
A.(−∞,−1)B.(1,+∞)C.(−∞,1)D.(3,+∞)

10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acsC=b，则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形

11. 若函数y=lnx−ax有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,1eB.1e,1C.0,1eD.0,1

12. 已知函数fx的定义域为R，且f2=1，对任意x∈R，fx+xf′x<0，则不等式x+1fx+1>2的解集是( )
A.−∞,1B.−∞,2C.1,+∞D.2,+∞
二、填空题

已知函数fx=2sin2ωx+φω>0的最小正周期为π，且对x∈R，fx≤fπ3恒成立，若fx1⋅fx2=−4，则|x1+x2|的最小值是________.
三、解答题

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csAccsB+bcsC=a.
(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为3，b+c=5，求a．

已知a>0，函数fx=ax2−2ax+1+b在区间2,3上的最小值为1，最大值为4.
(1)求a，b的值；

(2)若y=fx−mx在区间−1,2上是单调函数，求实数m的取值范围．

设a为实数，函数fx=2x3−15x2+36x+a.
(1)求fx的极值；

(2)若函数y=fx的图像与x轴仅有一个交点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=asin2x+2cs2x，且f(x)的图像过点(−π6, 0)．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；

(2)若函数f(x)在区间[−π12, m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．

因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前nn∈N*年的材料费、维修费、人工工资等共为52n2+5n万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为fn万元．
(1)写出fn关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)使用新设备若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合算？并说明理由．

已知函数fx=ex+sinx+ax，a∈R.
(1)当a=−2时，求证：fx在−∞,0上单调递减；

(2)若对∀x≥0，都有fx≥1成立，求a的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省泾阳县某校高三（上）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
【解析】

【解答】
解：z=m2−2m+i(m∈R)为纯虚数，
则有m2−2m=0，
则m(m−2)=0，
∴m=0或2，
m=0时，z=i，
m=2时，z=i，
符合要求，
∴m=0或2，
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：由题意可得x≥0，2−x>0，
解得0≤x<2，
所以函数y的定义域为[0, 2)．
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
利用向量的数量积运算得解.
【解答】
解：由题设得a→=1，
得a→⋅b→=a→b→cs60∘=1×b→×12=1，
解得:b→=2.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
暂无
【解答】
解：令f(x)=y=x2+lnx，则f′(x)=2x+1x，
所以f′(1)=3.
又f(1)=1，
所以f(x)在点1,1处的切线方程为y−1=3x−1，
化简整理得3x−y−2=0．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可．
【解答】
解：因为f(−x)=5(−x)2e−x+ex=5x2ex+e−x=f(x)，
所以函数为偶函数，排除B，D；
又当x趋向正无穷时，指数函数增长速度大于幂函数，故知函数值趋向于0，排除C.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
根据正弦函数性质列方程，解得ω，即可判断选择．
【解答】
解：由题意可知π3ω+π6=π2+kπk∈Z，
解得ω=1+3kk∈Z.
因为1=1+3×0，4=1+3×1，7=1+3×2，
8=1+3×73．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性直接求解．
【解答】
解：∵ 0=lg31b=34−0.1>340=1，
c=5−3<0，
∴b>a>c.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
根据函数零点定理可得f(0)⋅f(1)＝(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得即可．
【解答】
解：函数f(x)=2x+a2x−2a的零点在区间(0, 1)上，
∴ f(0)⋅f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，
即(2a−1)(a2−2a+2)>0，
∵ a2−2a+2=(a−1)2+1>0，
∴ 2a−1>0，
解得a>12.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=lg3(x2−2x−3)的单调递增区间
【解答】
解：函数y=lg3(x2−2x−3)的定义域为(−∞, −1)∪(3, +∞),
令t=x2−2x−3，则y=lg3t.
∵ y=lg3t为增函数，
t=x2−2x−3在(−∞, −1)上为减函数，在(3, +∞)上为增函数，
∴ 函数y=lg3(x2−2x−3)的单调增区间为(3, +∞).
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
【解析】
利用正弦定理可得2sinAcsB=sinC，利用sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，即可求得sin(A−B)=0，从而可得答案．
【解答】
解：在△ABC中，∵ 2acsC=b，
∴ 由正弦定理得：2sinAcsC=sinB，
又sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcsC+csAsinC，
∴ sinAcsC−csAsinC=0，
即sin(A−C)=0，
∴ A=C．
∴ △ABC一定是等腰三角形．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
函数y=lnx−ax有两个零点等价于方程lnx−ax=0有两个根，等价于y=a与y=lnxxx>0图象有两个交点，通过导数分析y=lnxxx>0的单调性，根据图象即可求出求出a的范围．
【解答】
解：∵ 函数y=lnx−ax有两个零点，
∴ 方程lnx−ax=0有两个根，
∴ x>0，分离参数得a=lnxx，
∴ y=a与y=lnxxx>0图象有两个交点，
令gx=lnxxx>0，
则g′x=1−lnxx2，
令g′x=0，解得x=e.
当00，gx在0,e单调递增；
当x>e时，g′x<0，gx在e,+∞单调递减，且gx>0，
∴ gx在x=e处取得极大值及最大值ge=1e.
可以画出函数gx的大致图象如下：
观察图象可以得出0故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
设gx=xfx，由已知可判断出gx在R上单调递减，结合单调性即可求解．
【解答】
解：设gx=xfx，
则g2=2f(2) =2，
∵ 任意x∈R，fx+xf′x<0，
∴ g′x=fx+xf′x<0恒成立，
即gx在R上单调递减，
由x+1fx+1>2可得g(x+1)>g(2)，
∴ x+1<2，
∴ x<1.
故选A．
二、填空题
【答案】
π6
【考点】
正弦函数的定义域和值域
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
【解析】
首先利用函数的周期求出函数关系式中的ω=1，进一步利用恒成立问题求出函数的关系式，最后求出结果．
【解答】
解：函数fx=2sin2ωx+φω>0的最小正周期为π，
所以2π2ω=π，
解得ω=1.
对x∈R，fx≤fπ3恒成立，
所以当x=π3时，fπ3=2sin2π3+φ=2，
解得φ=2kπ−π6k∈Z，
当k=0时，fx=2sin2x−π6，
若f(x1)f(x2)=−4，
所以x1=−π6，x2=π3时，|x1+x2|的取得最小值为π6.
故答案为：π6.
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知及正弦定理得：2csAsinCcsB+sinBcsC=sinA，
∴ 2csAsinB+C=sinA，即2csAsinA=sinA，
∵ A∈0,π，∴ sinA≠0，
∴ csA=12，
∴ A=π3．
(2)∵ S△ABC=12bcsinA=3，A=π3，
∴ bc=4，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−3bc=13，
∴ a=13．
【考点】
正弦定理
诱导公式
余弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)由已知及正弦定理得：2csAsinCcsB+sinBcsC=sinA，
∴ 2csAsinB+C=sinA，即2csAsinA=sinA，
∵ A∈0,π，∴ sinA≠0，
∴ csA=12，
∴ A=π3．
(2)∵ S△ABC=12bcsinA=3，A=π3，
∴ bc=4，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−3bc=13，
∴ a=13．
【答案】
解：(1)由题意知fx的图像开口向上，对称轴为x=1，
∴ fx在区间2,3上单调递增，
∴ 最小值为f2=b+1=1，最大值为f3=3a+b+1=4，
解得a=1，b=0．
(2)由(1)可知，y=fx−mx=x2−m+2x+1，
对称轴为x=m+22，
∵函数y=fx−mx在区间−1,2上是单调函数，
∴ m+22≥2或m+22≤−1，
解得m≥2或m≤−4，
故m的取值范围为−∞,−4∪2,+∞ ．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意知fx的图像开口向上，对称轴为x=1，
∴ fx在区间2,3上单调递增，
∴ 最小值为f2=b+1=1，最大值为f3=3a+b+1=4，
解得a=1，b=0．
(2)由(1)可知，y=fx−mx=x2−m+2x+1，
对称轴为x=m+22，
∵函数y=fx−mx在区间−1,2上是单调函数，
∴ m+22≥2或m+22≤−1，
解得m≥2或m≤−4，
故m的取值范围为−∞,−4∪2,+∞ ．
【答案】
解：(1)f′x=6x2−30x+36=6x−2x−3，
令f′x=0，得x1=2，x2=3，
当x变化时f′x，fx的变化情况如下表：
∴ fx的极大值是f2=28+a，极小值是f3=27+a .
(2)结合(1)中fx的单调性，
当x→−∞时fx→−∞；当x→+∞时fx→+∞，
y=fx的图像与x轴仅有一个交点，则有f2=28+a<0或f3=27+a>0，
解得a<−28或a>−27 .
∴ a的取值范围是−∞,−28∪−27,+∞．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=6x2−30x+36=6x−2x−3，
令f′x=0，得x1=2，x2=3，
当x变化时f′x，fx的变化情况如下表：
∴ fx的极大值是f2=28+a，极小值是f3=27+a .
(2)结合(1)中fx的单调性，
当x→−∞时fx→−∞；当x→+∞时fx→+∞，
y=fx的图像与x轴仅有一个交点，则有f2=28+a<0或f3=27+a>0，
解得a<−28或a>−27 .
∴ a的取值范围是−∞,−28∪−27,+∞．
【答案】
解：(1)由题意，f(−π6)=asin(−π3)+2cs2(−π6)
=−32a+2×34=0，
解得a=3，
∴ f(x)=3sin2x+2cs2x=3sin2x+cs2x+1
=2sin(2x+π6)+1，
∴ f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由x∈[−π12, m]，得2x+π6∈[0, 2m+π6]，
∵ 函数f(x)在区间[−π12, m]上的最大值为3，
∴ sin(2x+π6)在区间[−π12, m]上的最大值为1，
则2m+π6≥π2，即m≥π6，
∴ 实数m的取值范围是[π6, +∞)．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
【解析】
(Ⅰ)由f(−π6)＝0列式求得a值，代入函数解析式，再由辅助角公式化积，则函数的解析式及最小正周期可求；
(Ⅱ)由x的范围求得2x+π6的范围，再由函数f(x)在区间[−π12, m]上的最大值为3，可得2m+π6≥π2，求解不等式可得实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)由题意，f(−π6)=asin(−π3)+2cs2(−π6)
=−32a+2×34=0，
解得a=3，
∴ f(x)=3sin2x+2cs2x=3sin2x+cs2x+1
=2sin(2x+π6)+1，
∴ f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由x∈[−π12, m]，得2x+π6∈[0, 2m+π6]，
∵ 函数f(x)在区间[−π12, m]上的最大值为3，
∴ sin(2x+π6)在区间[−π12, m]上的最大值为1，
则2m+π6≥π2，即m≥π6，
∴ 实数m的取值范围是[π6, +∞)．
【答案】
解：(1)由题意得fn=55n−90−52n2+5n=−52n2+50n−90 ，
由fn>0，得−52n2+50n−90>0，
即n2−20n+36<0，解得2由于n∈N*，故该设备从第3年开始盈利．
(2)方案一：总盈利额fn=−52n−102+160，
当n=10时，fnmax=160.
故方案一总利润为160+10=170；
方案二：年平均利润为fnn=50−52n+36n≤50−52×236=20，
当且仅当n=6时等号成立，
故方案二总利润6×20+50=170，此时n=6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于方案一需要10年，而方案二只需要6年，故选择方案二更合算．
【考点】
函数模型的选择与应用
一元二次不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)由题意得fn=55n−90−52n2+5n=−52n2+50n−90 ，
由fn>0，得−52n2+50n−90>0，
即n2−20n+36<0，解得2由于n∈N*，故该设备从第3年开始盈利．
(2)方案一：总盈利额fn=−52n−102+160，
当n=10时，fnmax=160.
故方案一总利润为160+10=170；
方案二：年平均利润为fnn=50−52n+36n≤50−52×236=20，
当且仅当n=6时等号成立，
故方案二总利润6×20+50=170，此时n=6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于方案一需要10年，而方案二只需要6年，故选择方案二更合算．
【答案】
(1)证明：当a=−2时， fx=ex+sinx−2x，
∴ f′x=ex+csx−2.
∵ x<0，
∴ ex<1，csx≤1，
∴ f′x=ex+csx−2<0，
∴ fx在−∞,0上单调递减.
(2)解：当x=0时，fx=1≥1，对于∀a∈R成立；
f′(x)=ex+csx+a，
当x>0时，设gx=ex+csx+a，
则g′x=ex−sinx.
∵ ex>1，sinx≤1，
∴ g′x=ex−sinx>1−1=0，gx在0,+∞上单调递增.
又∵ g0=2+a，
∴ gx>2+a，
∴ f′x>2+a.
①当a≥−2时， f′x>0，
∴ fx在0,+∞上单调递增.
∵ f0=1，
∴ fx>1恒成立.
②当a<−2时， f′0=2+a<0.
∵ f′x在(0,+∞)上单调递增，
又当x=ln2−a时，
f′x=−a+2+cs(ln(2−a))+a=2+cs(ln(2−a))>0，
∴ 存在x0∈0,+∞，对于x∈0,x0， f′x<0恒成立，
∴ fx在0,x0上单调递减，
∴ 当x∈0,x0时，fx综上，a的取值范围是[−2,+∞).
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
(Ⅰ)将a=−2代入，对函数求导，求解导函数在−∞,0上小于0即可.
(Ⅱ)分x=0和x>0进行讨论，x>0时，求出函数单调性和最值，进而进行求解.
【解答】
(1)证明：当a=−2时， fx=ex+sinx−2x，
∴ f′x=ex+csx−2.
∵ x<0，
∴ ex<1，csx≤1，
∴ f′x=ex+csx−2<0，
∴ fx在−∞,0上单调递减.
(2)解：当x=0时，fx=1≥1，对于∀a∈R成立；
f′(x)=ex+csx+a，
当x>0时，设gx=ex+csx+a，
则g′x=ex−sinx.
∵ ex>1，sinx≤1，
∴ g′x=ex−sinx>1−1=0，gx在0,+∞上单调递增.
又∵ g0=2+a，
∴ gx>2+a，
∴ f′x>2+a.
①当a≥−2时， f′x>0，
∴ fx在0,+∞上单调递增.
∵ f0=1，
∴ fx>1恒成立.
②当a<−2时， f′0=2+a<0.
∵ f′x在(0,+∞)上单调递增，
又当x=ln2−a时，
f′x=−a+2+cs(ln(2−a))+a=2+cs(ln(2−a))>0，
∴ 存在x0∈0,+∞，对于x∈0,x0， f′x<0恒成立，
∴ fx在0,x0上单调递减，
∴ 当x∈0,x0时，fx综上，a的取值范围是[−2,+∞).x
−∞,2
2
2,3
3
3,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
−∞,2
2
2,3
3
3,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
↗
极大值
↘
极小值
↗