陕西省宝鸡市重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试 数学（理）试题

这是一份陕西省宝鸡市重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试 数学（理）试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分 总分：150分
一、选择题(每小题5分，共70分)
1.若直线l的方向向量为＝(1，0，2)，平面α的法向量为＝(－2，0，－4)，则( )
A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. l与α斜交
2.已知命题，；命题：若，则，
下列命题为假命题的是
A．B．C．D．
3.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A．B．C．D．
4.已知正方体，若，则正方体的棱长等于（ ）
A．B．C．D．
5.设，则双曲线离心率的取值范围为
A．，B．，C．D．
6.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))等于( )
A．－2 B．2 C．－2eq \r(3) D．2eq \r(3)
7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，
则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
8.已知点为椭圆的一个焦点，过点作圆的两条
切线，若这两条切线互相垂直，则
A．2 B． C． D．2eq \r(3)
9.下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>2020，则x>0”的逆命题
B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的否命题
C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”
D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
10.设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则上述命题中所有真命题的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D. 4
11.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
12.在中，“”是“为钝角三角形”的
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
13.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）
A．5B．6
C．D．
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B. C. D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
15.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为__________.
16.一个椭圆中心在原点，焦点，在轴上，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆方程为__________．
17.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是__________．
18.已知抛物线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为__________.
三、解答题(每小题12分，共60分)
19.已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；
命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．
A
B1
D
C
C1
A1
D1
B
E
M
F
20.如图，在长方体中，，为的中点， 为线段上一点，且满足，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
21.已知椭圆的离心率，且过点（0，）.
（1）求椭圆方程；
（2）已知F1、F2为椭圆的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，
求△ABF2面积的最大值．
22.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，
A
D
A1
B
C
B1
C1
D1
，，顶点在底面内的射影恰为点．
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角为，
求平面与平面所成角的余弦值．
23.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（1）若在线段上，是的中点，证明；
（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
高二理科数学答案
一、选择题(每小题5分，共70分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
15. 16. 17. eq \f(\r(6),2)a 18.
三、解答题(每小题12分，共60分)
19．解 (1)对任意x∈[0,1]，
不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，
则f(x)min≥m2－3m，……………………………2分
当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，……………………………3分
即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.
因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．……………………………5分
(2)当a＝1时，若q为真命题，
则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.
因此，当命题q为真时，m≤1. ……………………………7分
因为p且q为假命题，p或q为真命题，
所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤m≤2，,m>1，))得1当p假q真时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<1或m>2，,m≤1，))得m<1. ……………………………11分
A
B1
D
C
C1
A1
D1
B
E
M
F
x
y
z
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．……………………………12分
20. 解（1）证明：在长方体中，
建立如图所示空间直角坐标系，……………………………1分
由，为的中点，
为线段上一点，且满足，
得，0，，，0，，，，，，0，，，4，，
，，4，，，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，
得，……………………………4分
，且平面，……………………………5分
平面；……………………………6分
（2）解：由（1）知，，……………………………7分
又，……………………………8分
．……………………………10分
直线与直线所成角的余弦值．……………………………12分
21.解（1）由题意， ……………………………1分
由得 ……………………………2分
所以b=1 ……………………………3分
所以椭圆方程是x2＋eq \f(y2,2)＝1 ……………………………4分
（2）设直线AB方程为y＝kx＋1， ……………………………5分
代入椭圆方程2x2＋y2＝2，
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， ……………………………6分
则xA＋xB＝－eq \f(2k,k2＋2)，xA·xB＝－eq \f(1,k2＋2)， ……………………………7分
∴|xA－xB|＝. ……………………………8分
S△ABF2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|xA－xB|＝2eq \r(2)×eq \f(\r(k2＋1),k2＋2) ……………………………9分
＝2eq \r(2)×eq \f(1,\r(k2＋1)＋\f(1,\r(k2＋1)))
≤2eq \r(2)×eq \f(1,2)＝eq \r(2). ……………………………11分
当eq \r(k2＋1)＝eq \f(1,\r(k2＋1))，即k＝0时，
S△ABF2有最大面积为eq \r(2). ……………………………12分
22. A
D
A1
B
C
B1
C1
D1
y
x
z
解：（1）证明：如图，连接，则平面，
平面，，……………………………1分
在等腰梯形中，连接，过点作于点，
，，，
则，，，
，
因此满足，，……………………………3分
又，平面，，……………………………5分
平面．……………………………6分
（2）解：由（1）知，，两两垂直，
平面，，，
以为坐标原点，分别以，，，所在直线为
轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………7分
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，
设平面的法向量，，，
由，取，得，……………………………9分
又，0，为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
则．……………………………11分
平面与平面所成角的余弦值为．……………………………12分
23.解（1）由题设知.设，则，且
.……………………………2分
记过两点的直线为，则的方程为.
由于在线段上，故.……………………………3分
记的斜率为，的斜率为，则
.……………………………5分
所以.……………………………6分
（2）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.………………………8分
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.……………………………10分
当与轴垂直时，与重合．
所以所求轨迹方程为.……………………………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
选项
B
C
A
C
C
A
B
C
B
B
C
B
C
C