2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷（含解析）卷

2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    用配方法解方程时，配方所得的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    一元二次方程的实数根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

6.    已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    方程的两个实数根的和与积分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.    若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树棵，第三年共植树棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知抛物线经过点和点，且对称轴在轴的左侧，有下列结论：；；抛物线经过点；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 抛物线的顶点坐标为______．
14. 二次函数的最小值为______．
15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______ 写出一个即可
16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______
     
17. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
18. 如图，是由绕点逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点，并简要说明点的位置是如何找到的保留作图痕迹 ______．

三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列关于的方程．
    ；
    ．
20. 本小题分
    在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
    请在图中画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出各顶点的坐标；
    请在图中画出绕点顺时针旋转后的图形．

21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程为常数．
    若是该方程的一个实数根，求的值；
    当时，求该方程的实数根；
    若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
22. 本小题分
    已知二次函数的图象为抛物线．
    写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
    当时，求该二次函数的函数值的取值范围；
    将抛物线先向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，所得抛物线为请直接写出抛物线的函数解析式．
23. 本小题分
    为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙墙长和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙，请根据设计方案回答下列问题：
    方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
    方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
     
24. 本小题分
    在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接．
    
    如图，当时，求的大小；
    如图，当时，求的大小；
    如图，求证：．
25. 本小题分
    如图，已知抛物线过点，，其对称轴为．
    求该抛物线的解析式；
    若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．
    当的面积为时，求点的坐标；
    是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，为分式方程，故此选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
本题考查了一元二次方程．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：将一元二次方程化为一般形式为，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
或，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将原方程化成一般形式，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
将原方程转化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，
，，
，，
原方程可化为．
故选：．
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程整理得：
设，是一元二次方程的两根，
则，．
故选：．
利用根与系数的关系求解即可．
本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
点，，都在二次函数的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：、、，
，
故选：．
先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的解析式是为常数，
该抛物线的对称轴是：，
又二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
关于的一元二次方程的两实数根分别是，．
故选：．
关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数为常数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
第三年的植树量第一年的植树量年平均增长率，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线对称轴在轴左侧，且抛物线经过，，
抛物线开口向上，即，正确．
将代入得，
将代入得，
，正确．
抛物线对称轴在轴左侧，点，关于轴对称，
不在抛物线上，错误．
抛物线开口向上，，
抛物线与直线有两个不同交点，
有两个不相等的实数根，正确．
故选：．
由抛物线对称轴在轴左侧，且抛物线经过，可得抛物线开口向上，从而判断，分别将，代入解析式可得与的关系，从而判断，由抛物线的对称性可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的性质是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
当时，的最小值为，
故答案为：．
根据二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
取，
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，在的范围内选一个即可．
本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
且，
当时，取最大值，
故答案为：．
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
 

17.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
；
故答案为：．
由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握根与系数的关系得到，．
 

18.【答案】作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心 

【解析】解：如图，作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．

故答案为：作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

20.【答案】解：如图，即为所求，，，；
如图，即为所求．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：将代入原方程得，
解得：，
的值为；
将代入原方程得，
，
解得：，，
当时，该方程的实数根为，；
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为． 

【解析】将代入原方程可求出的值；
代入，利用因式分解法可求出方程的实数根；
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：代入的值，求出的值；利用因式分解法，求出方程的解；牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
 

22.【答案】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，；
当时，；
当时，该二次函数的函数值的取值范围是；
将抛物线先向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，所得抛物线为：，即可． 

【解析】把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
根据二次函数的性质可得出答案；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为，
设水池的长为，则水池的面积为，
，
解得，
，
，
即的长为、的长为；
设长为，则长度为，
总种植面积为，
，
当时，总种植面积有最大值为，
即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． 

【解析】设水池的长为，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
设长为，则长度为，得出面积关于的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
将绕点逆时针旋转得到，
；
解：，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
；
证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
又，，
≌，
，
，，，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可求解；
由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求；
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，且它的对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
，
故此抛物线的解析式为；
点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，

设直线与抛物线对称轴交于点，则，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图，当的值最大时，、、在同一条直线上，

是抛物线上的动点，
，
解得：，舍去，
． 

【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，、、在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．