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2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一卷二）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 一元二次方程x2+3x﹣10=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
2. 如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
4. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7）
5. 如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2 B. ﹣2＜x＜4 C. x＞0 D. x＞4
6. 若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
7. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
8. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题
11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________．
12. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
14. 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
16. 如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
三、解 答 题
17. （1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
18. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点．
（1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
19. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE长．
20. 如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
22. 初三数学兴趣小组市场，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
（1）请用含x式子表示：①该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润，利润是多少？
23. 如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
24. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
25. （1）发现
如图，点为线段外一动点，且，.
填空：当点位于____________时，线段的长取得值，且值为_________.（用含，的式子表示）
（2）应用
点为线段外一动点，且，.如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，.
①找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的值及此时点的坐标.
26. 如图，抛物线A（），B（），C（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方抛物线上有一点D，使得△DCA的面积，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 一元二次方程x2+3x﹣10=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
【正确答案】D
【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，可知x1+x2=-=-3.
故选D.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是利用一元二次方程根与系数的关系式x1+x2=-，x1·x2=代入求解即可，比较简单，是中考常考题.
2. 如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2
【正确答案】C
【分析】由2为方程x2-3x+c=0的一个根，将x=2代入方程得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【详解】∵2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，
∴将x=2代入方程得：22﹣3×2+c=0，
解得：c=2．
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故选A.
4. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7）
【正确答案】B
【详解】试题分析：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换
5. 如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2 B. ﹣2＜x＜4 C. x＞0 D. x＞4
【正确答案】B
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
6. 若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
【正确答案】D
【详解】根据二次函数的解析式可知a=-1＜0，开口向下，对称轴为x=-=-2，可由函数的图像与性质，可知y3＜y1＜y2.
故选D.
点睛：此题主要考查了二次函数的系数与图像的关系，关键是判断出函数的对称轴和开口方向，有函数的对称性判断即可.
7. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
【正确答案】A
【详解】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
8. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值．
【详解】解：，，
，
将绕点顺时针旋转角至△，
，，
，
，
，
故选：．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．
【详解】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，
∴BF=．
故选B．
本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3c，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）没有正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）没有正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题
11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________．
【正确答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为（﹣2，﹣1）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标．
12. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
【正确答案】50°
【详解】由平行线的性质可求得∠C/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC/，然后依据三角形的性质可知∠AC/C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC/的度数，从而得到∠BAB/的度数.
解：∵CC/∥AB，
∴∠C/CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC/,
∴∠ACC/=∠AC/C=65°.
∴∠CAC/=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB/=50°.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
【正确答案】4
【详解】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.
解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，
所以，，，所以，＝1，
又，所以，4．
“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.
14. 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
【正确答案】y＝－x2－2x＋3
【详解】∵二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，
∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将x=1，y=0代入得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3．
故答案是：y=-x2-2x+3．
15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
【正确答案】8
【详解】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=8．
考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.
16. 如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】当x=1时，y=x2=，则P1（1，），所以S1=×1×=；
当x=2时，y=x2=2，则P2（2，2），所以S2=×1×（2-）= ；
当x=3时，y=x2=，则P3（3，），所以S3=×1×（-2）=，
同样方法可得S4=，
所以Sn=．
故答案是：，．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形面积公式．
三、解 答 题
17. （1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
【正确答案】（1）x1=﹣2，x2=6；
（2）y=（x﹣4）2﹣3．
【详解】试题分析：（1）根据因式分解法直接化为ab=0的形式解方程即可；
（2）根据配方法，化为顶点式y=a（x-h）2形式即可.
试题解析：（1）x2﹣4x﹣12=0
（x+2）（x-6）=0
x+2=0或x-6=0
x1=﹣2，x2=6
（2）y=x2﹣4x+5
y=（x2﹣8x+16-16）+5=（x-4）2-3.
18. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点．
（1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
【正确答案】（1）如图所示见解析，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标为（2，4）；（2）如图所示见解析
【详解】试题分析：（1）直接利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形；
（2）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形.
试题解析：（1）△A1B1C1如图所示，其中A1坐标为（0，1）
（2）符合条件的三角形有两个，如图所示.
19. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
【正确答案】解：（1）90°；（2）2
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，依据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BCD=45°．
由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．
∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．
（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴AC=．
∵CD=3AD，
∴AD=，DC=3．
由旋转的性质可知：AD=EC=．
∴DE=．
本题考查旋转的性质．
20. 如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）6．
【详解】试题分析：（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD平行四边形，∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
22. 初三数学兴趣小组市场，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
（1）请用含x的式子表示：①该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润，利润是多少？
【正确答案】（1）；；（2）售价为130元时，当月的利润，利润是9800元．
【详解】试题分析：（1）根据利润=售价-进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出利润．
试题解析：
（1）①该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴W=﹣2x+400；
（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润，利润是9800元.
23. 如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）4
【详解】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF．∴∠FDC=∠EBC．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC．∴∠FDC=∠EBE．
又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC．
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF．∴BD=BF，
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG．
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF．
∵BD=BF，∴DF=2DG．
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴． ∴BG×EG=DG×DG=4．∴DG=2
∴BE=DF=2DG=4．
（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可．
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG长，即可求出答案
24. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
25. （1）发现
如图，点为线段外一动点，且，.
填空：当点位于____________时，线段的长取得值，且值为_________.（用含，的式子表示）
（2）应用
点为线段外一动点，且，.如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，.
①找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的值及此时点的坐标.
【正确答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的值是4;（3）AM的值是3+2，点P的坐标为（2-，）
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的值=线段CD的值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得值，即可得到值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得值，且值为BC+AB=a+b，
故答案为CB的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的值=线段CD的值，
由（1）知，当线段CD的长取得值时，点D在CB的延长线上，
∴值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的值=线段BN长的值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得值，
值=AB+AN，
∵AN=AP=2，
∴值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-，
∴P（2-，）．
考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26. 如图，抛物线A（），B（），C（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）点D的坐标为（-1，-1）．
（3）点H存在．点H坐标为．
【详解】试题分析：（1）由待定系数法即可得；
由题意可求得直线AC的解析式为．如图，
设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．过D作y轴的平行线交AC于E．则E点的坐标为．从而可得，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，则可得
，由-2＜t＜0可知当t=-1时，△DAC面积，此时点D的坐标为（-1，-1）．
点H存在．
由（1）知，点M的坐标为
如图，假设存在点H，满足
作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N． 可得，从而有，从而得点K的坐标为（），得直线MK的解析式为，解方程组 ，得，．将代入中，解得，由于直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．从而知 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．
试题解析：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为．
将A（-2，0），B（-，0）代入，得，解得：
∴此抛物线的解析式为；
（2）由题意可求得直线AC的解析式为．如图，
设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．
过D作y轴的平行线交AC于E．∴E点的坐标为．
∴，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
∴
∵-2＜t＜0
∴当t=-1时，△DAC面积，此时点D的坐标为（-1，-1）．
（3）点H存在．
由（1）知，点M的坐标为
如图，假设存在点H，满足
作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N．
∵,，∴，
∵，∴，∴，∴
∴，∴，∴点K的坐标为（），所以直线MK的解析式为，∴ ，把①代入②，化简，得：，＞0．
∴，．将代入中，解得
∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．
考点：二次函数综合题.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3
3. 半径等于16圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. 16 B. 12 C. D. 8
4. 一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，朝上的面数字小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有三点，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y2），则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y2＜y3 D. y1、y2、y3大小没有确定
6. 如图中∠BOD的度数是（ ）
A. 150° B. 125° C. 110° D. 55°
7. 如图，将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则点A走过的路径长（ ）
A. B. C. 6π D. 2π
8. 二次函数y=x2-8x+1的最小值是（ ）
A. 4 B. -15 C. -4 D. 15
9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（ )
A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1
10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列结论：；；；点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填 空 题（每小题3分，共27分）
11. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
12. 方程（x-5)2=0的根是_____．
13. 已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）点（﹣2，4），则8a+2c﹣1=_____．
14. 已知直角三角形两直角边长为3和4，现以一条直角边为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积为_____．
15. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．
16. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
17. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
18. 底面周长为10πcm，高为5的圆锥的侧面张开图的圆心角度数_____．
19. 如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2016A2017＝_____．
三、解 答 题（共63分）
20. 先化简，再求值： ，其中x是值是方程x2﹣x﹣6=0的根．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中线段OA扫过图形面积．
22. 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
23. 如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
24. 某商城以16元/件进价购进一批衬衫，如果以20元/件的价格，每月可售出200件，而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件，现在商场经理希望月利润为1350元，若经理希望用于购进这种衬衫的资金没有多于1500元，问这种衬衫该如何定价？此时应进货多少？
25. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点.
（1）求证：，；
（2）连接，若，求长.
26. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴相交于点C，顶点D（1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若（1）中的抛物线只进行上下平移或者左右平移，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出平移后的抛物线的关系式．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，没有是对称图形，故B错误；
C、既轴对称图形，也是对称图形，故C正确；
D、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故D错误；
故选：C.
本题考查了轴对称图形和对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.
2. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3
【正确答案】D
【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后
所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故选D．
本题考查二次函数图象的平移，利用数形思想解题是关键．
3. 半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. 16 B. 12 C. D. 8
【正确答案】A
【详解】如图，OA=16，则OC=8，
根据勾股定理可得，弦的一半AC=，
∴弦AB=16，
故选A．
本题综合考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，熟练应用定理是解题的关键．
4. 一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，朝上的面数字小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】直接得出朝上的面数字小于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，向上一面的数字有6种可能，其中小于4的有数字1、2、3共3种可能，
∴朝上的面数字小于4的概率为：，
故选C．
本题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
5. 函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有三点，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y2），则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y2＜y3 D. y1、y2、y3大小没有确定
【正确答案】A
【详解】∵y=﹣2x2﹣8x+m=2（x+2）2﹣8+m，
∴对称轴x=﹣2，开口向上，∴离对称轴越近的点对应的函数值越小，
在图象上的三点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），
|3+2|＞|﹣4+2|＞|﹣3+2|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2，
故选A．
6. 如图中∠BOD的度数是（ ）
A. 150° B. 125° C. 110° D. 55°
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图，连接OC．
∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C．
【考点】圆周角定理．
7. 如图，将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则点A走过的路径长（ ）
A. B. C. 6π D. 2π
【正确答案】D
【详解】∵将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，AC=6，
∴点A走过的路径为以AC长为半径，圆心角为60°的弧长，
即，
故选D．
8. 二次函数y=x2-8x+1的最小值是（ ）
A. 4 B. -15 C. -4 D. 15
【正确答案】B
【详解】解：y=x2-8x+1=(x-4)2-15，
则二次函数y=x2-8x+1的最小值是-15，
故选：B．
9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（ )
A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1
【正确答案】C
【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，
∴≥0且m-1≠0，
即1-4×(m-1)×(-1)≥0且m≠1，
解得：m≥且m≠1，
故选：C．
10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列结论：；；；点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，即2a﹣b=0，结论②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴当x=1与x=﹣3的值相等，即当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0，结论③正确；
④∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，x1＜x2＜﹣1，
∴y1＜y2，结论④错误；
⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b=2a＜0，c＞0，
∴abc＞0，结论⑤正确，
故选B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（每小题3分，共27分）
11. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
【正确答案】x≤1
【详解】试题解析：二次函数的对称轴为：
随增大而增大时，的取值范围是
故答案为
12. 方程（x-5)2=0的根是_____．
【正确答案】x1=x2=5## x1=5，x2=5
【详解】解：(x-5)2=0，
∴x-5=0，
∴x1=x2=5，
故x1=x2=5或x1=5，x2=5．
13. 已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）点（﹣2，4），则8a+2c﹣1=_____．
【正确答案】﹣5．
【详解】把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴8a+2c=﹣4，
∴8a+2c﹣1=﹣5，
故答案为﹣5．
14. 已知直角三角形两直角边长为3和4，现以一条直角边为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积为_____．
【正确答案】15π或20π．
【详解】当以长度为3的直角边旋转一周时，
它的侧面积为：，
当以长度为4的直角边旋转一周时，
它的侧面积为： ，
故答案为15π或20π．
15. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．
【正确答案】8
【详解】解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，
但当第三边为5时，2+3=5，没有满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3=8．
故答案为8
16. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
【正确答案】80°
【详解】试题分析：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
17. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
【正确答案】
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的有：24，42，
∴其中能被3整除的两位数的概率是.
18. 底面周长为10πcm，高为5的圆锥的侧面张开图的圆心角度数_____．
【正确答案】180°．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π，解得r=5，
所以圆锥的母线长==10，
设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得=10π，
解得n=180，
所以它的侧面展开图的圆心角的度数为180°，
故答案为180°．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
19. 如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2016A2017＝_____．
【正确答案】2×31008
【详解】∵四边形ABCB₁是正方形，
∴AB=AB₁,AB∥CB₁，
∴AB∥A₁C，
∴∠CA₁A=30°，
∴A₁B₁=,AA₁=2，
∴A₁B₂=A₁B₂=，
∴A₁A₂=2，
同理：A₂A₃=2()²，
=2() ³，
…
∴
∴
故答案为
点睛: 本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键．
三、解 答 题（共63分）
20. 先化简，再求值： ，其中x是值是方程x2﹣x﹣6=0的根．
【正确答案】原式.
【详解】试题分析：按运算顺序从左至右分别进行分式的乘法运算、括号内通分进行分式的加法运算，然后再进行减法运算，解方程，选取使式子有意义的x的值代入进行计算即可.
试题解析：原式=，
∵x2﹣x﹣6=0，
∴（x﹣3）（x+2）=0，
解得，x=3或x=﹣2，
当x=3时，原分式无意义，
∴当x=﹣2时，原式=．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积．
【正确答案】（1）（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数即可点A1，B1，C1的坐标，根据坐标描出这三个点，再顺次连接即可；
（2）连接AO，以AO为起始边，O为顶点，逆时针旋转90°，在终边上截取A2O=AO，A2即为A的旋转对应点；同理可得B2，C2，再顺次连接A2，B2，C2即可；
（3）（2）中线段 O A 扫过的图形面积即为扇形AOA2的面积，所以由题易得半径r=5，圆心角为旋转角90°，利用扇形面积公式即可计算出结果.
【详解】（1）由题意画图如下，图中△A1B1C1为所求三角形；
（2）由题意画图如下，图中△A2B2C2为所求三角形；
（3）如上图，线段OA扫过图形是扇形AOA2，
∵OA=，∠A2OA=90°，
∴S扇形A2OA=.
即线段OA旋转过程中扫过的面积为.
22. 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
【正确答案】（1），D（﹣1，4）； (2) △BCD为直角三角形，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得解析式后，通过配方成顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，在Rt△BOC中，由勾股定理可得BC2 =18，在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD2 =2，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2 =20，从而得BC2+CD2=BD2，由勾股定理的逆定理即可得△BCD为直角三角形．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3，
即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3，
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点D坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC2=OB2+OC2=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=DF2+CF2=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD为直角三角形．
23. 如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
【正确答案】(1)详见解析；（2）
【详解】证明：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB
∵AB=BC
∴D是的AB中点．
又O为CB的中点，
∴OD∥AC
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BGC＝90°
在Rt△ACD中，DC===8
∵AB·CD=2S△ABC= AC·BG
∴BG===
∵BG⊥AC，EF⊥AC
∴BG∥EF
∴∠E＝∠CBG
∴cos∠E= cos∠CBG=．
24. 某商城以16元/件的进价购进一批衬衫，如果以20元/件的价格，每月可售出200件，而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件，现在商场经理希望月利润为1350元，若经理希望用于购进这种衬衫的资金没有多于1500元，问这种衬衫该如何定价？此时应进货多少？
【正确答案】该种衬衫定价31元，此时进货90件
【详解】试题分析：设该种衬衫上涨x元，根据利润=量×（定价-进价），列出方程，解得每件衬衫应该上涨多少元钱，然后根据进货资金，确定定价即可．
试题解析：设该种衬衫每件上涨x元，由题意得
（20+x﹣16）（200﹣10x）=1350，
解得：x1=5，x2=11，
当x=5时，购进这种衬衫的资金为16×（200﹣10x）=2400元＞1500元，没有合题意舍去，
当x=11时，购进这种衬衫的资金为16×（200﹣10x）=1440元＜1500元，符合题意，
则20+x=31，200﹣10x=90，
答：该种衬衫定价31元，此时进货90件．
25. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点.
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）EF=4．
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
详解】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵AC=8，
∴DE=DF=4，
由勾股定理得，EF= =4 ．
26. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴相交于点C，顶点D（1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若（1）中的抛物线只进行上下平移或者左右平移，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出平移后的抛物线的关系式．
【正确答案】（1）y= （x﹣1）2﹣ （2）15 （3）y=（x+3）2﹣
【详解】试题分析：（1）由已知设二次函数为y=a（x﹣1）2﹣，把点A（-2，0）代入即可得；
（2）先分别求得B、C的坐标，然后根据S四边形ACDB=S△AOC+S△DOC+S△ODB进行求解即可；
（3）当抛物线与坐标轴仅有两个交点，即图象顶点在x轴上或原点时即符合要求，根据此写出平移变换即可.
试题解析：（1）设二次函数为y=a（x﹣1）2﹣，
将点A（﹣2，0）代入上式得，
0=a（﹣2﹣1）2﹣，
解得：a=，
故y=（x﹣1）2﹣；
（2）令y=0，得0=（x﹣1）2﹣，
解得：x1=﹣2，x2=4，
则B（4，0），
令x=0，得y=﹣4，故C（0，﹣4），
S四边形ACDB=S△AOC+S△DOC+S△ODB=×2×4+×4×1+×4×=15，
故四边形ACDB的面积为15；
（3）当抛物线与坐标轴仅有两个交点，即图象顶点在x轴上或原点时即符合要求，
①当抛物线顶点在x轴上时，将抛物线y=（x﹣1）2﹣向上平移个单位，y=（x﹣1）2；
②当抛物线原点时，将抛物线y=（x﹣1）2﹣向上平移4个单位，y=（x﹣1）2﹣，或将抛物线y=（x﹣1）2﹣向右平移2个单位，y=（x﹣3）2﹣；或将抛物线y=（x﹣1）2﹣向左平移4个单位y=（x+3）2﹣（写出一种情况即可）．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法，割补法求面积，抛物线的平移变换等，理解题意并能灵活应用所学知识进行解题是关键.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 一元二次方程x2+3x﹣10=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
2. 如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
4. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7）
5. 如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2 B. ﹣2＜x＜4 C. x＞0 D. x＞4
6. 若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
7. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
8. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题
11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________．
12. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
14. 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
16. 如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
三、解 答 题
17. （1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
18. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点．
（1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
19. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE长．
20. 如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
22. 初三数学兴趣小组市场，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
（1）请用含x式子表示：①该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润，利润是多少？
23. 如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
24. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
25. （1）发现
如图，点为线段外一动点，且，.
填空：当点位于____________时，线段的长取得值，且值为_________.（用含，的式子表示）
（2）应用
点为线段外一动点，且，.如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，.
①找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的值及此时点的坐标.
26. 如图，抛物线A（），B（），C（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方抛物线上有一点D，使得△DCA的面积，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 一元二次方程x2+3x﹣10=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
【正确答案】D
【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，可知x1+x2=-=-3.
故选D.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是利用一元二次方程根与系数的关系式x1+x2=-，x1·x2=代入求解即可，比较简单，是中考常考题.
2. 如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2
【正确答案】C
【分析】由2为方程x2-3x+c=0的一个根，将x=2代入方程得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【详解】∵2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，
∴将x=2代入方程得：22﹣3×2+c=0，
解得：c=2．
3. 二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】试解：
二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴没有交点.
故选A.
4. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7）
【正确答案】B
【详解】试题分析：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换
5. 如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2 B. ﹣2＜x＜4 C. x＞0 D. x＞4
【正确答案】B
【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
6. 若A（﹣3.5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
【正确答案】D
【详解】根据二次函数的解析式可知a=-1＜0，开口向下，对称轴为x=-=-2，可由函数的图像与性质，可知y3＜y1＜y2.
故选D.
点睛：此题主要考查了二次函数的系数与图像的关系，关键是判断出函数的对称轴和开口方向，有函数的对称性判断即可.
7. 某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A. 6 s B. 4 s C. 3 s D. 2 s
【正确答案】A
【详解】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，
把h=0代入h=30t−5t2得：5t2−30t=0，
解得：t1=0(舍去),t2=6.
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.
故选A.
8. 如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值．
【详解】解：，，
，
将绕点顺时针旋转角至△，
，，
，
，
，
故选：．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，先求出AE，再求出BF即可．
【详解】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF，
∴BF=．
故选B．
本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3c，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）没有正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）没有正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题
11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________．
【正确答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为（﹣2，﹣1）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标．
12. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
【正确答案】50°
【详解】由平行线的性质可求得∠C/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC/，然后依据三角形的性质可知∠AC/C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC/的度数，从而得到∠BAB/的度数.
解：∵CC/∥AB，
∴∠C/CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC/,
∴∠ACC/=∠AC/C=65°.
∴∠CAC/=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB/=50°.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
【正确答案】4
【详解】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.
解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，
所以，，，所以，＝1，
又，所以，4．
“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.
14. 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为____________．
【正确答案】y＝－x2－2x＋3
【详解】∵二次函数图象过点（-3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，
∴顶点横坐标为-1，即顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将x=1，y=0代入得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3．
故答案是：y=-x2-2x+3．
15. 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．
【正确答案】8
【详解】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x，则DH=AD﹣AH=8﹣x，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x，EH=DH=8﹣x，∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C△AEH=12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴．
∴C△EBF==C△HAE=8．
考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.
16. 如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】当x=1时，y=x2=，则P1（1，），所以S1=×1×=；
当x=2时，y=x2=2，则P2（2，2），所以S2=×1×（2-）= ；
当x=3时，y=x2=，则P3（3，），所以S3=×1×（-2）=，
同样方法可得S4=，
所以Sn=．
故答案是：，．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形面积公式．
三、解 答 题
17. （1）解方程：x2﹣4x﹣12=0
（2）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+5化为顶点式．
【正确答案】（1）x1=﹣2，x2=6；
（2）y=（x﹣4）2﹣3．
【详解】试题分析：（1）根据因式分解法直接化为ab=0的形式解方程即可；
（2）根据配方法，化为顶点式y=a（x-h）2形式即可.
试题解析：（1）x2﹣4x﹣12=0
（x+2）（x-6）=0
x+2=0或x-6=0
x1=﹣2，x2=6
（2）y=x2﹣4x+5
y=（x2﹣8x+16-16）+5=（x-4）2-3.
18. 如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系中的三点．
（1）把△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1，画出旋转后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）以原点O为位似，将△ABC缩小为原来的一半，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
【正确答案】（1）如图所示见解析，△A1B1C1即为所求，点A的对应点A1的坐标为（2，4）；（2）如图所示见解析
【详解】试题分析：（1）直接利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形；
（2）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形.
试题解析：（1）△A1B1C1如图所示，其中A1坐标为（0，1）
（2）符合条件的三角形有两个，如图所示.
19. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
【正确答案】解：（1）90°；（2）2
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，依据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BCD=45°．
由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．
∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．
（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴AC=．
∵CD=3AD，
∴AD=，DC=3．
由旋转的性质可知：AD=EC=．
∴DE=．
本题考查旋转的性质．
20. 如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF ．
（2）若，BE=4，求EC的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）6．
【详解】试题分析：（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD平行四边形，∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【正确答案】（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
22. 初三数学兴趣小组市场，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为元．
（1）请用含x的式子表示：①该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润，利润是多少？
【正确答案】（1）；；（2）售价为130元时，当月的利润，利润是9800元．
【详解】试题分析：（1）根据利润=售价-进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出利润．
试题解析：
（1）①该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，
由题意得，，
解得，，
∴W=﹣2x+400；
（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润，利润是9800元.
23. 如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）4
【详解】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF．∴∠FDC=∠EBC．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC．∴∠FDC=∠EBE．
又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC．
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF．∴BD=BF，
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG．
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF．
∵BD=BF，∴DF=2DG．
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴． ∴BG×EG=DG×DG=4．∴DG=2
∴BE=DF=2DG=4．
（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可．
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG长，即可求出答案
24. 已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）证明：
∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
25. （1）发现
如图，点为线段外一动点，且，.
填空：当点位于____________时，线段的长取得值，且值为_________.（用含，的式子表示）
（2）应用
点为线段外一动点，且，.如图所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，.
①找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的值及此时点的坐标.
【正确答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的值是4;（3）AM的值是3+2，点P的坐标为（2-，）
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的值=线段CD的值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得值，即可得到值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得值，且值为BC+AB=a+b，
故答案为CB的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
②∵线段BE长的值=线段CD的值，
由（1）知，当线段CD的长取得值时，点D在CB的延长线上，
∴值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴线段AM长的值=线段BN长的值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得值，
值=AB+AN，
∵AN=AP=2，
∴值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-，
∴P（2-，）．
考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26. 如图，抛物线A（），B（），C（）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积，求点D的坐标；
（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）点D的坐标为（-1，-1）．
（3）点H存在．点H坐标为．
【详解】试题分析：（1）由待定系数法即可得；
由题意可求得直线AC的解析式为．如图，
设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．过D作y轴的平行线交AC于E．则E点的坐标为．从而可得，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，则可得
，由-2＜t＜0可知当t=-1时，△DAC面积，此时点D的坐标为（-1，-1）．
点H存在．
由（1）知，点M的坐标为
如图，假设存在点H，满足
作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N． 可得，从而有，从而得点K的坐标为（），得直线MK的解析式为，解方程组 ，得，．将代入中，解得，由于直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．从而知 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．
试题解析：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为．
将A（-2，0），B（-，0）代入，得，解得：
∴此抛物线的解析式为；
（2）由题意可求得直线AC的解析式为．如图，
设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为．
过D作y轴的平行线交AC于E．∴E点的坐标为．
∴，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
∴
∵-2＜t＜0
∴当t=-1时，△DAC面积，此时点D的坐标为（-1，-1）．
（3）点H存在．
由（1）知，点M的坐标为
如图，假设存在点H，满足
作直线MH交轴于点K（，0），作MN⊥轴于点N．
∵,，∴，
∵，∴，∴，∴
∴，∴，∴点K的坐标为（），所以直线MK的解析式为，∴ ，把①代入②，化简，得：，＞0．
∴，．将代入中，解得
∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．
考点：二次函数综合题.
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3
3. 半径等于16圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. 16 B. 12 C. D. 8
4. 一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，朝上的面数字小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有三点，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y2），则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y2＜y3 D. y1、y2、y3大小没有确定
6. 如图中∠BOD的度数是（ ）
A. 150° B. 125° C. 110° D. 55°
7. 如图，将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则点A走过的路径长（ ）
A. B. C. 6π D. 2π
8. 二次函数y=x2-8x+1的最小值是（ ）
A. 4 B. -15 C. -4 D. 15
9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（ )
A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1
10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列结论：；；；点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填 空 题（每小题3分，共27分）
11. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
12. 方程（x-5)2=0的根是_____．
13. 已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）点（﹣2，4），则8a+2c﹣1=_____．
14. 已知直角三角形两直角边长为3和4，现以一条直角边为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积为_____．
15. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．
16. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
17. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
18. 底面周长为10πcm，高为5的圆锥的侧面张开图的圆心角度数_____．
19. 如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2016A2017＝_____．
三、解 答 题（共63分）
20. 先化简，再求值： ，其中x是值是方程x2﹣x﹣6=0的根．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中线段OA扫过图形面积．
22. 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
23. 如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
24. 某商城以16元/件进价购进一批衬衫，如果以20元/件的价格，每月可售出200件，而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件，现在商场经理希望月利润为1350元，若经理希望用于购进这种衬衫的资金没有多于1500元，问这种衬衫该如何定价？此时应进货多少？
25. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点.
（1）求证：，；
（2）连接，若，求长.
26. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴相交于点C，顶点D（1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若（1）中的抛物线只进行上下平移或者左右平移，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出平移后的抛物线的关系式．
2022-2023学年天津市红桥区九年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，没有是对称图形，故B错误；
C、既轴对称图形，也是对称图形，故C正确；
D、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故D错误；
故选：C.
本题考查了轴对称图形和对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.
2. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3
【正确答案】D
【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后
所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故选D．
本题考查二次函数图象的平移，利用数形思想解题是关键．
3. 半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A. 16 B. 12 C. D. 8
【正确答案】A
【详解】如图，OA=16，则OC=8，
根据勾股定理可得，弦的一半AC=，
∴弦AB=16，
故选A．
本题综合考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，熟练应用定理是解题的关键．
4. 一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，朝上的面数字小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】直接得出朝上的面数字小于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷，向上一面的数字有6种可能，其中小于4的有数字1、2、3共3种可能，
∴朝上的面数字小于4的概率为：，
故选C．
本题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
5. 函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有三点，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y2），则y1、y2、y3的大小关系（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y2＜y3 D. y1、y2、y3大小没有确定
【正确答案】A
【详解】∵y=﹣2x2﹣8x+m=2（x+2）2﹣8+m，
∴对称轴x=﹣2，开口向上，∴离对称轴越近的点对应的函数值越小，
在图象上的三点A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3），
|3+2|＞|﹣4+2|＞|﹣3+2|，
则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2，
故选A．
6. 如图中∠BOD的度数是（ ）
A. 150° B. 125° C. 110° D. 55°
【正确答案】C
【详解】试题分析：如图，连接OC．
∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C．
【考点】圆周角定理．
7. 如图，将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则点A走过的路径长（ ）
A. B. C. 6π D. 2π
【正确答案】D
【详解】∵将△ABC绕点C旋转60°，得到△A′B′C，AC=6，
∴点A走过的路径为以AC长为半径，圆心角为60°的弧长，
即，
故选D．
8. 二次函数y=x2-8x+1的最小值是（ ）
A. 4 B. -15 C. -4 D. 15
【正确答案】B
【详解】解：y=x2-8x+1=(x-4)2-15，
则二次函数y=x2-8x+1的最小值是-15，
故选：B．
9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（ )
A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1
【正确答案】C
【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，
∴≥0且m-1≠0，
即1-4×(m-1)×(-1)≥0且m≠1，
解得：m≥且m≠1，
故选：C．
10. 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则下列结论：；；；点、在抛物线上，若，则，其中正确结论的个数是
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】B
【详解】①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a，即2a﹣b=0，结论②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴当x=1与x=﹣3的值相等，即当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0，结论③正确；
④∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，x1＜x2＜﹣1，
∴y1＜y2，结论④错误；
⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b=2a＜0，c＞0，
∴abc＞0，结论⑤正确，
故选B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（每小题3分，共27分）
11. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是____.
【正确答案】x≤1
【详解】试题解析：二次函数的对称轴为：
随增大而增大时，的取值范围是
故答案为
12. 方程（x-5)2=0的根是_____．
【正确答案】x1=x2=5## x1=5，x2=5
【详解】解：(x-5)2=0，
∴x-5=0，
∴x1=x2=5，
故x1=x2=5或x1=5，x2=5．
13. 已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）点（﹣2，4），则8a+2c﹣1=_____．
【正确答案】﹣5．
【详解】把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴8a+2c=﹣4，
∴8a+2c﹣1=﹣5，
故答案为﹣5．
14. 已知直角三角形两直角边长为3和4，现以一条直角边为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积为_____．
【正确答案】15π或20π．
【详解】当以长度为3的直角边旋转一周时，
它的侧面积为：，
当以长度为4的直角边旋转一周时，
它的侧面积为： ，
故答案为15π或20π．
15. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．
【正确答案】8
【详解】解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，
但当第三边为5时，2+3=5，没有满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，
∴△ABC的周长为2+3+3=8．
故答案为8
16. 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
【正确答案】80°
【详解】试题分析：∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
17. 从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个没有同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
【正确答案】
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的有：24，42，
∴其中能被3整除的两位数的概率是.
18. 底面周长为10πcm，高为5的圆锥的侧面张开图的圆心角度数_____．
【正确答案】180°．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=10π，解得r=5，
所以圆锥的母线长==10，
设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得=10π，
解得n=180，
所以它的侧面展开图的圆心角的度数为180°，
故答案为180°．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
19. 如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2016A2017＝_____．
【正确答案】2×31008
【详解】∵四边形ABCB₁是正方形，
∴AB=AB₁,AB∥CB₁，
∴AB∥A₁C，
∴∠CA₁A=30°，
∴A₁B₁=,AA₁=2，
∴A₁B₂=A₁B₂=，
∴A₁A₂=2，
同理：A₂A₃=2()²，
=2() ³，
…
∴
∴
故答案为
点睛: 本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键．
三、解 答 题（共63分）
20. 先化简，再求值： ，其中x是值是方程x2﹣x﹣6=0的根．
【正确答案】原式.
【详解】试题分析：按运算顺序从左至右分别进行分式的乘法运算、括号内通分进行分式的加法运算，然后再进行减法运算，解方程，选取使式子有意义的x的值代入进行计算即可.
试题解析：原式=，
∵x2﹣x﹣6=0，
∴（x﹣3）（x+2）=0，
解得，x=3或x=﹣2，
当x=3时，原分式无意义，
∴当x=﹣2时，原式=．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积．
【正确答案】（1）（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数即可点A1，B1，C1的坐标，根据坐标描出这三个点，再顺次连接即可；
（2）连接AO，以AO为起始边，O为顶点，逆时针旋转90°，在终边上截取A2O=AO，A2即为A的旋转对应点；同理可得B2，C2，再顺次连接A2，B2，C2即可；
（3）（2）中线段 O A 扫过的图形面积即为扇形AOA2的面积，所以由题易得半径r=5，圆心角为旋转角90°，利用扇形面积公式即可计算出结果.
【详解】（1）由题意画图如下，图中△A1B1C1为所求三角形；
（2）由题意画图如下，图中△A2B2C2为所求三角形；
（3）如上图，线段OA扫过图形是扇形AOA2，
∵OA=，∠A2OA=90°，
∴S扇形A2OA=.
即线段OA旋转过程中扫过的面积为.
22. 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
【正确答案】（1），D（﹣1，4）； (2) △BCD为直角三角形，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得解析式后，通过配方成顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，在Rt△BOC中，由勾股定理可得BC2 =18，在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD2 =2，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2 =20，从而得BC2+CD2=BD2，由勾股定理的逆定理即可得△BCD为直角三角形．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3，
即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3，
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点D坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC2=OB2+OC2=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=DF2+CF2=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD为直角三角形．
23. 如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
【正确答案】(1)详见解析；（2）
【详解】证明：连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB
∵AB=BC
∴D是的AB中点．
又O为CB的中点，
∴OD∥AC
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BGC＝90°
在Rt△ACD中，DC===8
∵AB·CD=2S△ABC= AC·BG
∴BG===
∵BG⊥AC，EF⊥AC
∴BG∥EF
∴∠E＝∠CBG
∴cos∠E= cos∠CBG=．
24. 某商城以16元/件的进价购进一批衬衫，如果以20元/件的价格，每月可售出200件，而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件，现在商场经理希望月利润为1350元，若经理希望用于购进这种衬衫的资金没有多于1500元，问这种衬衫该如何定价？此时应进货多少？
【正确答案】该种衬衫定价31元，此时进货90件
【详解】试题分析：设该种衬衫上涨x元，根据利润=量×（定价-进价），列出方程，解得每件衬衫应该上涨多少元钱，然后根据进货资金，确定定价即可．
试题解析：设该种衬衫每件上涨x元，由题意得
（20+x﹣16）（200﹣10x）=1350，
解得：x1=5，x2=11，
当x=5时，购进这种衬衫的资金为16×（200﹣10x）=2400元＞1500元，没有合题意舍去，
当x=11时，购进这种衬衫的资金为16×（200﹣10x）=1440元＜1500元，符合题意，
则20+x=31，200﹣10x=90，
答：该种衬衫定价31元，此时进货90件．
25. 如图，在中，于，，，，分别是，的中点.
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）EF=4．
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
详解】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵AC=8，
∴DE=DF=4，
由勾股定理得，EF= =4 ．
26. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴相交于点C，顶点D（1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若（1）中的抛物线只进行上下平移或者左右平移，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出平移后的抛物线的关系式．
【正确答案】（1）y= （x﹣1）2﹣ （2）15 （3）y=（x+3）2﹣
【详解】试题分析：（1）由已知设二次函数为y=a（x﹣1）2﹣，把点A（-2，0）代入即可得；
（2）先分别求得B、C的坐标，然后根据S四边形ACDB=S△AOC+S△DOC+S△ODB进行求解即可；
（3）当抛物线与坐标轴仅有两个交点，即图象顶点在x轴上或原点时即符合要求，根据此写出平移变换即可.
试题解析：（1）设二次函数为y=a（x﹣1）2﹣，
将点A（﹣2，0）代入上式得，
0=a（﹣2﹣1）2﹣，
解得：a=，
故y=（x﹣1）2﹣；
（2）令y=0，得0=（x﹣1）2﹣，
解得：x1=﹣2，x2=4，
则B（4，0），
令x=0，得y=﹣4，故C（0，﹣4），
S四边形ACDB=S△AOC+S△DOC+S△ODB=×2×4+×4×1+×4×=15，
故四边形ACDB的面积为15；
（3）当抛物线与坐标轴仅有两个交点，即图象顶点在x轴上或原点时即符合要求，
①当抛物线顶点在x轴上时，将抛物线y=（x﹣1）2﹣向上平移个单位，y=（x﹣1）2；
②当抛物线原点时，将抛物线y=（x﹣1）2﹣向上平移4个单位，y=（x﹣1）2﹣，或将抛物线y=（x﹣1）2﹣向右平移2个单位，y=（x﹣3）2﹣；或将抛物线y=（x﹣1）2﹣向左平移4个单位y=（x+3）2﹣（写出一种情况即可）．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法，割补法求面积，抛物线的平移变换等，理解题意并能灵活应用所学知识进行解题是关键.
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