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2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选:
1. 已知地球上海洋面积约为361 000 000km2，361 000 000这个数用科学记数法可表示为( )
A. 3.61×106 B. 3.61×107 C. 3.61×108 D. 3.61×109
2. 图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形没有能围成正方体的位置是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. 计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
4. 若实数a＜0，则下列中是必然的是（ ）
A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0
5. 有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直是（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
6. 下列计算错误的是（ ）
A. 6a+2a=8a B. a﹣（a﹣3）=3 C. a2÷a2=0 D. a﹣1•a2=a
7. 下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是函数的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8. 如图，直线，如图放置，若，则的度数为
A. B. C. D.
9. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
A. 2， B. 2 ，π C. ， D. 2，
11. 某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“初三的体育达标率．”甲、乙、丙三个同学中，说确的是( )
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙和丙
12. 已知二次函数图象没有第三象限，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D.
二、填 空 题:
13. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为______．
14. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为___________．
15. 已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1正比例函数，则m＝_____．
16. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
17. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．
18. 如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时，________．
三、解 答 题:
19. 解方程：
20. 一列火车匀速行驶一条长300m隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车的长度．
21. 甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家的产品的使用寿命进行了跟踪，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂生产的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由．
22. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
23. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
24. 已知：如图，P是平行四边形ABCD外一点，对角线AC，BD相交于O，且∠APC=∠BPD=90°，求证：四边形ABCD是矩形．
25. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
26. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+cA、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选:
1. 已知地球上海洋面积约为361 000 000km2，361 000 000这个数用科学记数法可表示为( )
A. 3.61×106 B. 3.61×107 C. 3.61×108 D. 3.61×109
【正确答案】C
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
解答：解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．
故选C．
2. 图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形没有能围成正方体的位置是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【正确答案】A
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以没有能围成正方体，
故选：A．
本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都没有是正方体的表面展开图．
3. 计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
【正确答案】B
【详解】解：原式==2．故选B．
点睛：本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握值的化简．
4. 若实数a＜0，则下列中是必然的是（ ）
A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0
【正确答案】D
【分析】首先由没有等式的性质确定3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；当a＜﹣3时，a+3＜0，当a＝﹣3时，a+3＝0，当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；然后根据随机定义求解即可求得答案．
【详解】∵a＜0，
∴3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；
当a＜﹣3时，a+3＜0，
当a＝﹣3时，a+3＝0，
当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；
故A属于没有可能，B属于没有可能，C属于随机，D属于必然．
故选D．
此题考查了随机的定义．注意理解随机的定义是解此题的关键．
5 有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直的是（ ）
A ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；
②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；
④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．
故选D.
6. 下列计算错误的是（ ）
A. 6a+2a=8a B. a﹣（a﹣3）=3 C. a2÷a2=0 D. a﹣1•a2=a
【正确答案】C
【详解】试题解析：A.正确．
B. 正确．
C. 故错误．
D. 正确．
故选C.
点睛：同底数幂相乘，底数没有变，指数相加．
7. 下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是函数的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】因为函数的一般形式为(其中k,b是常数且k≠0),所以(1)(2)(4)是函数,故选B.
点睛:本题考查函数的概念,解决本题的关键是熟练掌握函数的概念.
8. 如图，直线，如图放置，若，则的度数为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由三角形外角性质求出度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到的度数，根据与的度数求出的度数即可．
【详解】如图：
为三角形的外角，
，
，
，
，，
．
故选A．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】第1个行标是轴对称图形，
第2个行标没有是轴对称图形，
第3个行标是轴对称图形，
第4个行标是轴对称图形，
所以共3个轴对称图形，
故选：C．
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
A. 2， B. 2 ，π C. ， D. 2，
【正确答案】D
【详解】试题分析：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，，
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．
11. 某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“初三的体育达标率．”甲、乙、丙三个同学中，说确的是( )
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙和丙
【正确答案】B
【详解】试题分析：由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%=264人；
七年级的达标率为；
初三的达标率为；
八年级的达标率为．
则初三的达标率．则乙、丙的说法是正确的，
故选B．
考点：1．扇形统计图；2．条形统计图．
12. 已知二次函数的图象没有第三象限，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D.
【正确答案】A
【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解．
【详解】解：∵二次函数的图象没有第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意，
∴，
解得：，
当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，
∴，
解得：，
当x=0时，，
解得：b＞1或b＜-1，
对称轴，
解得：b＞2，
∴b无解，
综上，，
故选A.
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
二、填 空 题:
13. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为______．
【正确答案】y=
【详解】试题解析：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：
即
故答案为
点睛：由菱形的两条对角线长分别为和，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
14. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为___________．
【正确答案】19．
【详解】试题分析：∵四边形1、2、3都是正方形，∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，∴∠AEB=∠CBD．在△ABE和△CDB中，∵∠EAB=∠BCD，∠AEB=∠CBD，BE=DB，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE=BC，AB=CD．∵正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，∴，，∴．在Rt△ABE中，由勾股定理，得：=19，正方形③为19．故答案为19．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．
15. 已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【正确答案】-1
【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
【详解】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为﹣1．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0．
16. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【正确答案】D
【分析】将n代入方程,提公因式化简即可.
【详解】解：∵是关于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即m+n=-2,
故选D.
本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.
17. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．
【正确答案】14．
【详解】试题解析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18. 如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时，________．
【正确答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．
故答案为3．
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解 答 题:
19. 解方程：
【正确答案】x=-1.5
【分析】根据解一元方程的步骤解方程即可．
【详解】解：去分母，得
去括号得：4x−2=2x+1−6，
移项合并得：2x=−3，
解得：x=−1.5.
本题考查解一元方程，解一元方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为１.
20. 一列火车匀速行驶一条长300m隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车的长度．
【正确答案】300m
【详解】试题分析：设这列火车的长度是x米，根据火车行驶的速度没有变由行程问题的数量关系路程÷时间=速度建立方程求出其解是关键．
试题解析：设这列火车的长度是x米，
由题意，得，
解得：x=300．
答：火车长300米．
21. 甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家的产品的使用寿命进行了跟踪，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂生产的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由．
【正确答案】（1）见解析（2）选乙厂的产品
【详解】试题分析：（1）平均数就是把这组数据加的和除以这组数据的总数，再利用方差公式求出即可；
（2）由（1）的结果容易回答，甲厂、乙厂分别利用了平均数、方差进行广告推销，顾客在选购产品时，一般平均数相同，根据方差的大小进行选择．
试题解析：
（1）x甲=×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲=×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙=×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙=×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
22. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【正确答案】（1）15cm；（2）点E到AB的距离为58.2cm
【详解】分析：（1）根据勾股定理求出AD的长；
（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．
详解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AD=（cm）．
（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）．
过点E作EH⊥AB于H，
在Rt△AEH中，sin∠EAH=，
∴EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．
答：点E到AB的距离为58.2 cm．
点睛：本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【正确答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【详解】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
24. 已知：如图，P是平行四边形ABCD外一点，对角线AC，BD相交于O，且∠APC=∠BPD=90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【正确答案】见解析
【分析】连接PO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△APC中PO=AC，在Rt△PBD中，PO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．
【详解】证明：连接PO，如图，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△PBD中，∵O为BD中点，∴PO=BD，
在Rt△APC中，∵O为AC中点，∴PO=AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解决本题的另一个关键点．
25. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
26. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+cA、B两点，A、B两点坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【分析】(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；
(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；
(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边没有同进行分类讨论：
①当OC与CD是对应边时，有比例式，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边没有同，点P所在位置没有同，就得到了符合条件的4个P点坐标.
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+cA（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图），
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）
∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴，即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即,
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴，即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.函数与二次函数综合题.
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
3. 随着购物的兴起，截止到 年 月盐城市物流产业增加值达到 亿元，若把数 亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
4. 香蕉的单价为元/千克，苹果的单价为元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）元
A. B. C. D.
5. 2012﹣2013A整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是
A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中
B. 科比罚球投篮2次，没有一定全部命中
C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D. 科比罚球投篮1次，没有命中可能性较小
6. 设方程 两实根分别为 、，且 ，则 、 满足（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. _______．
8. 计算 _______．
9. 若－2xym 和xny3是同类项，则 m＋n 的值是_____．
10. 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
11. 分式方程的解为x=____．
12. 化简的结果是_____．
13. 已知反比例函数的图象点 和 ，则 的值是_______．
14. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
15. 如图，在 中，．如果将该三角形绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 恰好落在边 的中点处．那么旋转的角度等于________．
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
16. 计算：
17. 甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌没有同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人游戏所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
18. 如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
19. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
20. 九（1）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点 处测得一棵大树顶点 的仰角为 ，树高 ．今年他们仍在原点 处测得树顶点 的仰角为 ，问这棵树在这一年里生长了多少米?（结果保留两位小数，参考数据：，，，）
21. 某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)该公司员工月收入的中位数是____元，众数是____元．
(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
22. 由若干个边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积（S）与各边上格点的个数和（x）的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．答：S=_________．
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
8
…
（2）请再画出三个边数分别为3、4、5的格点多边形，使这些多边形内部都是有且只有2个格点．可得此类多边形的面积（S）与它各边上格点的个数和（x）之间的关系式是：S=________．
23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
24. 如图， 是 内一点， 与 相交于 、 两点，且与 、 分别相切于点 、，．连接 、．
（1）求证：．
（2）已知 ，．求四边形 是矩形时 的半径．
25. 为民中学租用两辆速度相同的小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（没有包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略没有计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明的可行性．
26. 已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．
（1）求点E的坐标（用t表示）；
（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．
（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
2. x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据二次根式的被开方数是非负数得
x﹣3≥0，
解得，x≥3．
观察选项，只有D符合题意．
故选D．
考点：二次根式有意义的条件．
3. 随着购物的兴起，截止到 年 月盐城市物流产业增加值达到 亿元，若把数 亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】17.6亿= .
故选B.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
4. 香蕉的单价为元/千克，苹果的单价为元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）元
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【详解】根据题意得：买2千克苹果和3千克香蕉共需（3a+2b）元，
故选：B．
本题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
5. 2012﹣2013A整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是
A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中
B. 科比罚球投篮2次，没有一定全部命中
C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D. 科比罚球投篮1次，没有命中的可能性较小
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据概率的意义，概率是反映发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也没有一定发生．因此．
A、科比罚球投篮2次，没有一定全部命中，故本选项正确；
B、科比罚球投篮2次，没有一定全部命中，正确，故本选项错误；
C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，
∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；
D、科比罚球投篮1次，没有命中的可能性较小，正确，故本选项错误．
故选A．
6. 设方程 的两实根分别为 、，且 ，则 、 满足（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵1和2是方程(x-1)(x-2)=0的两根，是方程(x-1)(x-2)=30的两根，
∴由下图可得：
故选D.
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. _______．
【正确答案】
【详解】.
故答案为.
8. 计算 _______．
【正确答案】
【详解】原式=.
故答案.
9. 若－2xym 和xny3是同类项，则 m＋n 的值是_____．
【正确答案】4
【详解】∵ 和 是同类项，
∴m=3，n=1，
∴m+n=3+1=4.
故答案为4.
10. 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【正确答案】＞
【分析】先分别求出各自的平均数，再根据方差公式求出方差，即可作出比较．
【详解】甲的平均数
则
乙的平均数
则
所以
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的求法，即可完成．
11. 分式方程的解为x=____．
【正确答案】1
【详解】试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是x+1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元方程，检验即可求解：
方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1时，x+1≠0，∴x=1是原方程的解．
12. 化简的结果是_____．
【正确答案】
【详解】原式=.
故答案为.
13. 已知反比例函数的图象点 和 ，则 的值是_______．
【正确答案】-6
【详解】∵反比例函数的图象过点（3，2）和点（t，1），
∴t×(-1)=3×2，即t=-6.
故答案为-6.
点睛：若两个点A（a，b）和点B（m，n）都在同一反比例函数的图象上，则.
14. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
【正确答案】8
【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可．
【详解】解：由题意得，解得．
故8．
此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点．
15. 如图，在 中，．如果将该三角形绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 恰好落在边 的中点处．那么旋转的角度等于________．
【正确答案】60°
【详解】∵△ABC中，∠BAC=90°，点B1是BC的中点，
∴AB1=BB1，
∵由旋转的性质可知：AB=AB1，
∴AB1=AB=BB1，
∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1=60°，即旋转的角度等于60°.
故60°.
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
16. 计算：
【正确答案】-3
【详解】试题分析：
负整数指数幂和零指数幂的意义及有理数的加减法法则计算即可.
试题解析：
原式=.
点睛：（1）零指数幂的意义是：；（2）当为正整数时，.
17. 甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌没有同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
【正确答案】(1) 共有9种等可能的结果；(2) .
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
18. 如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
【正确答案】见解析
【分析】全等三角形的判定和性质．求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
【详解】证明：∵∠DCA=∠ECB
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE
∴∠DCE=∠ACB．
∵在△DCE和△ACB中
DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB（SAS）
∴DE=AB．
19. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴．
解得
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
20. 九（1）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点 处测得一棵大树顶点 的仰角为 ，树高 ．今年他们仍在原点 处测得树顶点 的仰角为 ，问这棵树在这一年里生长了多少米?（结果保留两位小数，参考数据：，，，）
【正确答案】这棵树在这一年里生长了 ．
【详解】试题分析：
由题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4m，∠CAB=30°，由此即可求得AB的长，然后在△ABD中，由AB的长即∠DAB=37°即可求得BD的长，由BD-BC即可求得这一年里小树生长的高度.
试题解析：
由题意可知△ABC中，∠ABC=90°，BC=4m，∠CAB=30°，
∴AB=，
∵在△ABD中，∠ABD=90°，∠DAB=37°，
∴BD=AB·tan37°（米）.
答：这棵树这一年生长了1.19米.
21. 某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)该公司员工月收入的中位数是____元，众数是____元．
(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
【正确答案】(1)3400；3000；(2)用中位数或众数来描述更为恰当．理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现至多的为众数；
（2）根据表格信息，中位数、平均数、众数说明即可.
试题解析：（1）3400，3000.
（2）本题答案没有，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以地反映这组数据的集中趋势.
考点：1、中位数，2、众数
22. 由若干个边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积（S）与各边上格点的个数和（x）的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．答：S=_________．
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
8
…
（2）请再画出三个边数分别为3、4、5的格点多边形，使这些多边形内部都是有且只有2个格点．可得此类多边形的面积（S）与它各边上格点的个数和（x）之间的关系式是：S=________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知：S=；
（2）按题意画出图形，分析图形各个图形的面积和它们边上格点的个数间的关系即可.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可知：S=；
（2）如下图所示：图中的三个图形是按题意所画的图形，
由图可知：
图1中三角形的面积为3，边上的格点有4个；
图2中四边形的面积为3.5，边上的格点有5个；
图3中五边形的面积为4，边上的格点有6个；
由此可得：内部有且只有2个格点的多边形的面积S与边上的格点个数x之间的关系是.
23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
【正确答案】（1）水面宽为 米；（2）这艘船能从这座拱桥下通过．
【详解】试题分析：
（1）建立如下图所示的平面直角坐标系，由题意设抛物线型拱桥的解析式为：y=ax2，由题意可知此抛物线过点（3，-3），由此即可求出抛物线的解析式，把y=-2代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽；
（2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当x=2时对应的y的值，比较此时y的值的值和1.5的大小即可得出结论.
试题解析：
（1） 如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 轴，建立平面直角坐标系，由题意可知抛物线过点 ，
设抛物线的函数表达式为：．
把 代入 ，可求 ，
则抛物线对应的函数表达式为 ．
当水面上涨 米后，水面所在的位置为直线 ，
令 得，则，解得：，，
∴此时水面宽为为： （米）；
（2）由题意 ：当船在桥拱的正航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米，在中，令 得，，
∵船上货物点距拱顶为： （米）且 ，
∴这艘船能从这座拱桥下通过．
24. 如图， 是 内一点， 与 相交于 、 两点，且与 、 分别相切于点 、，．连接 、．
（1）求证：．
（2）已知 ，．求四边形 是矩形时 的半径．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：
（1）由AB、AC和⊙O相切于点D、E可得AD=AE，由此可得∠ADE=∠AED，DE∥BC，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC了；
（2）如下图，连接AO交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OD、OE和DG，设⊙O的半径为r，由已知条件易证BN=3，∠A=90°，从而可得AN=4，在证△ADO∽△A，由此可得，即从而可得AD=，则BD=，再证△BDG∽△BNA可得，即，由此即可解得.
试题解析：
（1）∵ 与 、 分别相切于点 、，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴ ．
∴ ；
（2） 如图，连接 ，交 于点 ，延长 交 于点 ，连接OD、 、，设 的半径为 ，
∵ 四边形 是矩形，
∴∠DEG=90°，
∴ 是 的直径．
∵ ，AN平分∠BAC，
∴∠A=90°，
∴在Rt△ABN中可得：AN=4，
∵AB和⊙O相切于点D，
∴∠ADO=∠GDB=90°=∠A，
∵∠DAO=∠NAB，
∴△ADO∽△A，
∴，即，
∴AD=，
∵∠GDB=∠A=90°，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BNA，
∴，即，解得：
∴四边形 是矩形时 的半径为 ．
25. 为民中学租用两辆速度相同小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（没有包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略没有计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明的可行性．
【正确答案】（1）没有能在限定时间内到达考场；（2）1：这7个人能在截止进考场的时刻前赶到，2：他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
【详解】试题分析：
（1）由题意可得，另一辆车送完4人再回到出故障的地方接人到考场共需时间为：16.5÷55×3=0.9（小时）=54（分钟），由于现在距离开考只有50分钟了，由此可知，没有能在限定的时间赶到考场；
（2）有两种可能的：①先送4人到考场，另外3人步行前往考场，汽车将4人送到考场后再返回接步行的3人到考场，已知条件求出这一所需时间与50比较即可判断该种是否可行；
②7人同时从故障处出发，其中3人步行，另外4人乘车到距离出发点x千米的A处，然后这4人步行到考场，汽车返回接后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场，已知条件求出所需与50分钟比较即可判断该是否可行.
试题解析：
（1）（小时）（分钟），，
没有能在限定时间内到达考场．
（2）1：
从故障处出发，先将4人用车送到考场 ，其他人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到
与另外3人的相遇处再载他们到考场．
设从故障处出发到将4人用车送到考场后再返回与其余3人相遇时所需时间为t小时．
，解得小时．
汽车由相遇点再去考场所需时间是小时．
∴用这一送人到考场共需分钟，少于50分钟．
∴这7个人能在截止进考场的时刻前赶到．
2：从故障处7人同时出发，3人步行，另将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场．
汽车从故障处到处需，由处步行前往考场需，
设从故障处出发到汽车返回与其余3人相遇时所需时间为（h），
则有，解得，
∴相遇点与考场的距离为．
他们同时到达，则有，解得．
代入上式，可得他们从故障处赶到考场所需时间为小时，约为43.7（分钟）．
．
他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
26. 已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．
（1）求点E的坐标（用t表示）；
（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．
（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：当t＝，t＝，t＝2+时，使得△QOE与△PMF相似．
【详解】试题分析：
（1）连接PM、PN，由已知条件易证△PMF≌△PNE，由此可得NE=MF=t，则可得OE=t-1，点E在y轴的负半轴即可得到点E的坐标了；
（2）在Rt△PFM中，易得PF=，OE=即可得到方程，解此方程即可求得对应的t的值；
（3）由F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称可得F′(1－t，0)，点Q是线段MF′的中点可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2时，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值；在当t＞2时，分△OEQ ∽△MPF和△OEQ ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值.
试题解析：
（1）如下图，连结PM，PN．
∵以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，
∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，
∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，
∴∠NPE=∠MPF，
又∵PM=PN，
∴△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF=t，
∴OE=t-1，
∴E（0，1－t）；
（2）在直角△PMF中，，
由PF=2OE得，
解得或．
（3）存在，理由如下；
∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，
∴F′(1－t，0)，
∵点Q是MF′的中点，
∴Q(1－t，0)，
①当1＜t＜2时，如图，有OQ＝1－t，
由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．
当△OEQ∽△MPF时，
∴ ，
∴ ，
解得，t＝或t＝ (舍去)；
当△OEQ∽△MFP时，，
∴ ，解得，t＝或t＝ (舍去)；
②当t＞2时，如图，有OQ＝t－1，
由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，
当△OEQ ∽△MPF，，
∴ ，无解；
当△OEQ ∽△MFP时，；
∴ ，
解得或（舍去）．
综上所述，当t＝，t＝，时，使得△QOE与△PMF相似．
点睛：在解本题第3小题时，需注意：（1）要分（此时点Q点O的右侧）和（此时点Q在点O的左侧）两种情况分析讨论；（2）在上述两种情况中，又要分点Q对应点F和点Q对应点F两种情况分析讨论；即本体存在4种情况，解题时，没有要忽略了其中任何一种情况.
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选:
1. 已知地球上海洋面积约为361 000 000km2，361 000 000这个数用科学记数法可表示为( )
A. 3.61×106 B. 3.61×107 C. 3.61×108 D. 3.61×109
2. 图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形没有能围成正方体的位置是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3. 计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
4. 若实数a＜0，则下列中是必然的是（ ）
A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0
5. 有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直是（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
6. 下列计算错误的是（ ）
A. 6a+2a=8a B. a﹣（a﹣3）=3 C. a2÷a2=0 D. a﹣1•a2=a
7. 下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是函数的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8. 如图，直线，如图放置，若，则的度数为
A. B. C. D.
9. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
A. 2， B. 2 ，π C. ， D. 2，
11. 某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“初三的体育达标率．”甲、乙、丙三个同学中，说确的是( )
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙和丙
12. 已知二次函数图象没有第三象限，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D.
二、填 空 题:
13. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为______．
14. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为___________．
15. 已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1正比例函数，则m＝_____．
16. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
17. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．
18. 如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时，________．
三、解 答 题:
19. 解方程：
20. 一列火车匀速行驶一条长300m隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车的长度．
21. 甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家的产品的使用寿命进行了跟踪，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂生产的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由．
22. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
23. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
24. 已知：如图，P是平行四边形ABCD外一点，对角线AC，BD相交于O，且∠APC=∠BPD=90°，求证：四边形ABCD是矩形．
25. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
26. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+cA、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（A卷）
一、选一选:
1. 已知地球上海洋面积约为361 000 000km2，361 000 000这个数用科学记数法可表示为( )
A. 3.61×106 B. 3.61×107 C. 3.61×108 D. 3.61×109
【正确答案】C
【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
解答：解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．
故选C．
2. 图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形没有能围成正方体的位置是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【正确答案】A
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以没有能围成正方体，
故选：A．
本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都没有是正方体的表面展开图．
3. 计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
【正确答案】B
【详解】解：原式==2．故选B．
点睛：本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握值的化简．
4. 若实数a＜0，则下列中是必然的是（ ）
A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0
【正确答案】D
【分析】首先由没有等式的性质确定3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；当a＜﹣3时，a+3＜0，当a＝﹣3时，a+3＝0，当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；然后根据随机定义求解即可求得答案．
【详解】∵a＜0，
∴3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；
当a＜﹣3时，a+3＜0，
当a＝﹣3时，a+3＝0，
当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；
故A属于没有可能，B属于没有可能，C属于随机，D属于必然．
故选D．
此题考查了随机的定义．注意理解随机的定义是解此题的关键．
5 有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直的是（ ）
A ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】试题解析：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；
②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；
④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．
故选D.
6. 下列计算错误的是（ ）
A. 6a+2a=8a B. a﹣（a﹣3）=3 C. a2÷a2=0 D. a﹣1•a2=a
【正确答案】C
【详解】试题解析：A.正确．
B. 正确．
C. 故错误．
D. 正确．
故选C.
点睛：同底数幂相乘，底数没有变，指数相加．
7. 下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是函数的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】因为函数的一般形式为(其中k,b是常数且k≠0),所以(1)(2)(4)是函数,故选B.
点睛:本题考查函数的概念,解决本题的关键是熟练掌握函数的概念.
8. 如图，直线，如图放置，若，则的度数为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由三角形外角性质求出度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到的度数，根据与的度数求出的度数即可．
【详解】如图：
为三角形的外角，
，
，
，
，，
．
故选A．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9. 以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】第1个行标是轴对称图形，
第2个行标没有是轴对称图形，
第3个行标是轴对称图形，
第4个行标是轴对称图形，
所以共3个轴对称图形，
故选：C．
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
A. 2， B. 2 ，π C. ， D. 2，
【正确答案】D
【详解】试题分析：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，，
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．
11. 某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“初三的体育达标率．”甲、乙、丙三个同学中，说确的是( )
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙和丙
【正确答案】B
【详解】试题分析：由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%=264人；
七年级的达标率为；
初三的达标率为；
八年级的达标率为．
则初三的达标率．则乙、丙的说法是正确的，
故选B．
考点：1．扇形统计图；2．条形统计图．
12. 已知二次函数的图象没有第三象限，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D.
【正确答案】A
【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解．
【详解】解：∵二次函数的图象没有第三象限，
∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意，
∴，
解得：，
当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，
∴，
解得：，
当x=0时，，
解得：b＞1或b＜-1，
对称轴，
解得：b＞2，
∴b无解，
综上，，
故选A.
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
二、填 空 题:
13. 已知菱形的面积是5，它的两条对角线的长分别为x、y（x＞0，y＞0），则y与x的函数表达式为______．
【正确答案】y=
【详解】试题解析：∵菱形的两条对角线长分别为x和y，
∴它的面积为：
即
故答案为
点睛：由菱形的两条对角线长分别为和，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
14. 已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为___________．
【正确答案】19．
【详解】试题分析：∵四边形1、2、3都是正方形，∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，∴∠AEB=∠CBD．在△ABE和△CDB中，∵∠EAB=∠BCD，∠AEB=∠CBD，BE=DB，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE=BC，AB=CD．∵正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，∴，，∴．在Rt△ABE中，由勾股定理，得：=19，正方形③为19．故答案为19．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．
15. 已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【正确答案】-1
【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
【详解】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为﹣1．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0．
16. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【正确答案】D
【分析】将n代入方程,提公因式化简即可.
【详解】解：∵是关于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即m+n=-2,
故选D.
本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.
17. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为_______．
【正确答案】14．
【详解】试题解析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
18. 如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时，________．
【正确答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．
故答案为3．
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解 答 题:
19. 解方程：
【正确答案】x=-1.5
【分析】根据解一元方程的步骤解方程即可．
【详解】解：去分母，得
去括号得：4x−2=2x+1−6，
移项合并得：2x=−3，
解得：x=−1.5.
本题考查解一元方程，解一元方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为１.
20. 一列火车匀速行驶一条长300m隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s.求这列火车的长度．
【正确答案】300m
【详解】试题分析：设这列火车的长度是x米，根据火车行驶的速度没有变由行程问题的数量关系路程÷时间=速度建立方程求出其解是关键．
试题解析：设这列火车的长度是x米，
由题意，得，
解得：x=300．
答：火车长300米．
21. 甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家的产品的使用寿命进行了跟踪，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂生产的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由．
【正确答案】（1）见解析（2）选乙厂的产品
【详解】试题分析：（1）平均数就是把这组数据加的和除以这组数据的总数，再利用方差公式求出即可；
（2）由（1）的结果容易回答，甲厂、乙厂分别利用了平均数、方差进行广告推销，顾客在选购产品时，一般平均数相同，根据方差的大小进行选择．
试题解析：
（1）x甲=×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲=×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙=×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙=×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
22. “4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【正确答案】（1）15cm；（2）点E到AB的距离为58.2cm
【详解】分析：（1）根据勾股定理求出AD的长；
（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．
详解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AD=（cm）．
（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）．
过点E作EH⊥AB于H，
在Rt△AEH中，sin∠EAH=，
∴EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．
答：点E到AB的距离为58.2 cm．
点睛：本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
23. 我市某蔬菜生产在气温较低时，用装有恒温系统大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
【正确答案】（1）10小时
（2）k=216
（3）13.5℃
【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.
（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.
（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.
【详解】（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.
（2）∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，∴解得：k=216
（3）由（2），
当x=16时，，
∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.
本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.
24. 已知：如图，P是平行四边形ABCD外一点，对角线AC，BD相交于O，且∠APC=∠BPD=90°，求证：四边形ABCD是矩形．
【正确答案】见解析
【分析】连接PO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△APC中PO=AC，在Rt△PBD中，PO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．
【详解】证明：连接PO，如图，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△PBD中，∵O为BD中点，∴PO=BD，
在Rt△APC中，∵O为AC中点，∴PO=AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解决本题的另一个关键点．
25. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【正确答案】解：（1）如图①，连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l．
∵AD⊥l，∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA．
∴∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．
∴∠BAF=90°－∠B．
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°．
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°．∴∠B=180°－108°=72°．
∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°．
【详解】试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°．
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．
26. 如图所示，抛物线y＝x2+bx+cA、B两点，A、B两点坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【正确答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【分析】(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；
(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；
(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边没有同进行分类讨论：
①当OC与CD是对应边时，有比例式，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利用比例式求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边没有同，点P所在位置没有同，就得到了符合条件的4个P点坐标.
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+cA（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图），
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）
∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴，即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即,
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴，即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则，即，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.函数与二次函数综合题.
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
3. 随着购物的兴起，截止到 年 月盐城市物流产业增加值达到 亿元，若把数 亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
4. 香蕉的单价为元/千克，苹果的单价为元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）元
A. B. C. D.
5. 2012﹣2013A整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是
A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中
B. 科比罚球投篮2次，没有一定全部命中
C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D. 科比罚球投篮1次，没有命中可能性较小
6. 设方程 两实根分别为 、，且 ，则 、 满足（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. _______．
8. 计算 _______．
9. 若－2xym 和xny3是同类项，则 m＋n 的值是_____．
10. 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
11. 分式方程的解为x=____．
12. 化简的结果是_____．
13. 已知反比例函数的图象点 和 ，则 的值是_______．
14. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
15. 如图，在 中，．如果将该三角形绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 恰好落在边 的中点处．那么旋转的角度等于________．
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
16. 计算：
17. 甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌没有同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人游戏所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
18. 如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
19. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
20. 九（1）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点 处测得一棵大树顶点 的仰角为 ，树高 ．今年他们仍在原点 处测得树顶点 的仰角为 ，问这棵树在这一年里生长了多少米?（结果保留两位小数，参考数据：，，，）
21. 某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)该公司员工月收入的中位数是____元，众数是____元．
(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
22. 由若干个边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积（S）与各边上格点的个数和（x）的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．答：S=_________．
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
8
…
（2）请再画出三个边数分别为3、4、5的格点多边形，使这些多边形内部都是有且只有2个格点．可得此类多边形的面积（S）与它各边上格点的个数和（x）之间的关系式是：S=________．
23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
24. 如图， 是 内一点， 与 相交于 、 两点，且与 、 分别相切于点 、，．连接 、．
（1）求证：．
（2）已知 ，．求四边形 是矩形时 的半径．
25. 为民中学租用两辆速度相同的小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（没有包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略没有计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明的可行性．
26. 已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．
（1）求点E的坐标（用t表示）；
（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．
（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升模拟试卷
（B卷）
一、选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
2. x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据二次根式的被开方数是非负数得
x﹣3≥0，
解得，x≥3．
观察选项，只有D符合题意．
故选D．
考点：二次根式有意义的条件．
3. 随着购物的兴起，截止到 年 月盐城市物流产业增加值达到 亿元，若把数 亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】17.6亿= .
故选B.
点睛：在把一个值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
4. 香蕉的单价为元/千克，苹果的单价为元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）元
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【详解】根据题意得：买2千克苹果和3千克香蕉共需（3a+2b）元，
故选：B．
本题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
5. 2012﹣2013A整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是
A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中
B. 科比罚球投篮2次，没有一定全部命中
C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大
D. 科比罚球投篮1次，没有命中的可能性较小
【正确答案】A
【详解】试题分析：根据概率的意义，概率是反映发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也没有一定发生．因此．
A、科比罚球投篮2次，没有一定全部命中，故本选项正确；
B、科比罚球投篮2次，没有一定全部命中，正确，故本选项错误；
C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，
∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；
D、科比罚球投篮1次，没有命中的可能性较小，正确，故本选项错误．
故选A．
6. 设方程 的两实根分别为 、，且 ，则 、 满足（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵1和2是方程(x-1)(x-2)=0的两根，是方程(x-1)(x-2)=30的两根，
∴由下图可得：
故选D.
二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. _______．
【正确答案】
【详解】.
故答案为.
8. 计算 _______．
【正确答案】
【详解】原式=.
故答案.
9. 若－2xym 和xny3是同类项，则 m＋n 的值是_____．
【正确答案】4
【详解】∵ 和 是同类项，
∴m=3，n=1，
∴m+n=3+1=4.
故答案为4.
10. 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【正确答案】＞
【分析】先分别求出各自的平均数，再根据方差公式求出方差，即可作出比较．
【详解】甲的平均数
则
乙的平均数
则
所以
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握方差的求法，即可完成．
11. 分式方程的解为x=____．
【正确答案】1
【详解】试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是x+1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元方程，检验即可求解：
方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1时，x+1≠0，∴x=1是原方程的解．
12. 化简的结果是_____．
【正确答案】
【详解】原式=.
故答案为.
13. 已知反比例函数的图象点 和 ，则 的值是_______．
【正确答案】-6
【详解】∵反比例函数的图象过点（3，2）和点（t，1），
∴t×(-1)=3×2，即t=-6.
故答案为-6.
点睛：若两个点A（a，b）和点B（m，n）都在同一反比例函数的图象上，则.
14. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
【正确答案】8
【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可．
【详解】解：由题意得，解得．
故8．
此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点．
15. 如图，在 中，．如果将该三角形绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，点 恰好落在边 的中点处．那么旋转的角度等于________．
【正确答案】60°
【详解】∵△ABC中，∠BAC=90°，点B1是BC的中点，
∴AB1=BB1，
∵由旋转的性质可知：AB=AB1，
∴AB1=AB=BB1，
∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1=60°，即旋转的角度等于60°.
故60°.
三、解 答 题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
16. 计算：
【正确答案】-3
【详解】试题分析：
负整数指数幂和零指数幂的意义及有理数的加减法法则计算即可.
试题解析：
原式=.
点睛：（1）零指数幂的意义是：；（2）当为正整数时，.
17. 甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌没有同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
【正确答案】(1) 共有9种等可能的结果；(2) .
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
18. 如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
【正确答案】见解析
【分析】全等三角形的判定和性质．求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案．
【详解】证明：∵∠DCA=∠ECB
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE
∴∠DCE=∠ACB．
∵在△DCE和△ACB中
DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB（SAS）
∴DE=AB．
19. 已知关于x的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
【正确答案】（1），；（2）证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；
（2）要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可．
【详解】（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，
∴．
解得
∴a的值为，该方程的另一根为．
（2）∵，
∴没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
20. 九（1）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点 处测得一棵大树顶点 的仰角为 ，树高 ．今年他们仍在原点 处测得树顶点 的仰角为 ，问这棵树在这一年里生长了多少米?（结果保留两位小数，参考数据：，，，）
【正确答案】这棵树在这一年里生长了 ．
【详解】试题分析：
由题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，BC=4m，∠CAB=30°，由此即可求得AB的长，然后在△ABD中，由AB的长即∠DAB=37°即可求得BD的长，由BD-BC即可求得这一年里小树生长的高度.
试题解析：
由题意可知△ABC中，∠ABC=90°，BC=4m，∠CAB=30°，
∴AB=，
∵在△ABD中，∠ABD=90°，∠DAB=37°，
∴BD=AB·tan37°（米）.
答：这棵树这一年生长了1.19米.
21. 某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．
月收入/元
45000
18000
10000
5500
4800
3400
3000
2200
人数
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)该公司员工月收入的中位数是____元，众数是____元．
(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
【正确答案】(1)3400；3000；(2)用中位数或众数来描述更为恰当．理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现至多的为众数；
（2）根据表格信息，中位数、平均数、众数说明即可.
试题解析：（1）3400，3000.
（2）本题答案没有，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以地反映这组数据的集中趋势.
考点：1、中位数，2、众数
22. 由若干个边长为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积（S）与各边上格点的个数和（x）的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．答：S=_________．
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
8
…
（2）请再画出三个边数分别为3、4、5的格点多边形，使这些多边形内部都是有且只有2个格点．可得此类多边形的面积（S）与它各边上格点的个数和（x）之间的关系式是：S=________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知：S=；
（2）按题意画出图形，分析图形各个图形的面积和它们边上格点的个数间的关系即可.
试题解析：
（1）观察、分析表格中的数据可知：S=；
（2）如下图所示：图中的三个图形是按题意所画的图形，
由图可知：
图1中三角形的面积为3，边上的格点有4个；
图2中四边形的面积为3.5，边上的格点有5个；
图3中五边形的面积为4，边上的格点有6个；
由此可得：内部有且只有2个格点的多边形的面积S与边上的格点个数x之间的关系是.
23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
【正确答案】（1）水面宽为 米；（2）这艘船能从这座拱桥下通过．
【详解】试题分析：
（1）建立如下图所示的平面直角坐标系，由题意设抛物线型拱桥的解析式为：y=ax2，由题意可知此抛物线过点（3，-3），由此即可求出抛物线的解析式，把y=-2代入所得解析式，解此对应的x的值，即可求得此时水面的宽；
（2）由题意在（1）中所得的解析式中，求出当x=2时对应的y的值，比较此时y的值的值和1.5的大小即可得出结论.
试题解析：
（1） 如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 轴，建立平面直角坐标系，由题意可知抛物线过点 ，
设抛物线的函数表达式为：．
把 代入 ，可求 ，
则抛物线对应的函数表达式为 ．
当水面上涨 米后，水面所在的位置为直线 ，
令 得，则，解得：，，
∴此时水面宽为为： （米）；
（2）由题意 ：当船在桥拱的正航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米，在中，令 得，，
∵船上货物点距拱顶为： （米）且 ，
∴这艘船能从这座拱桥下通过．
24. 如图， 是 内一点， 与 相交于 、 两点，且与 、 分别相切于点 、，．连接 、．
（1）求证：．
（2）已知 ，．求四边形 是矩形时 的半径．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：
（1）由AB、AC和⊙O相切于点D、E可得AD=AE，由此可得∠ADE=∠AED，DE∥BC，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC了；
（2）如下图，连接AO交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OD、OE和DG，设⊙O的半径为r，由已知条件易证BN=3，∠A=90°，从而可得AN=4，在证△ADO∽△A，由此可得，即从而可得AD=，则BD=，再证△BDG∽△BNA可得，即，由此即可解得.
试题解析：
（1）∵ 与 、 分别相切于点 、，
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴ ．
∴ ；
（2） 如图，连接 ，交 于点 ，延长 交 于点 ，连接OD、 、，设 的半径为 ，
∵ 四边形 是矩形，
∴∠DEG=90°，
∴ 是 的直径．
∵ ，AN平分∠BAC，
∴∠A=90°，
∴在Rt△ABN中可得：AN=4，
∵AB和⊙O相切于点D，
∴∠ADO=∠GDB=90°=∠A，
∵∠DAO=∠NAB，
∴△ADO∽△A，
∴，即，
∴AD=，
∵∠GDB=∠A=90°，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BNA，
∴，即，解得：
∴四边形 是矩形时 的半径为 ．
25. 为民中学租用两辆速度相同小汽车送1名带队老师和6名学生到城区中学参加数学竞赛，每辆限坐4人（没有包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场16.5 km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有50分钟，这时可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是55 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略没有计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请设计一种你认为较优的运送，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明的可行性．
【正确答案】（1）没有能在限定时间内到达考场；（2）1：这7个人能在截止进考场的时刻前赶到，2：他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
【详解】试题分析：
（1）由题意可得，另一辆车送完4人再回到出故障的地方接人到考场共需时间为：16.5÷55×3=0.9（小时）=54（分钟），由于现在距离开考只有50分钟了，由此可知，没有能在限定的时间赶到考场；
（2）有两种可能的：①先送4人到考场，另外3人步行前往考场，汽车将4人送到考场后再返回接步行的3人到考场，已知条件求出这一所需时间与50比较即可判断该种是否可行；
②7人同时从故障处出发，其中3人步行，另外4人乘车到距离出发点x千米的A处，然后这4人步行到考场，汽车返回接后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场，已知条件求出所需与50分钟比较即可判断该是否可行.
试题解析：
（1）（小时）（分钟），，
没有能在限定时间内到达考场．
（2）1：
从故障处出发，先将4人用车送到考场 ，其他人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到
与另外3人的相遇处再载他们到考场．
设从故障处出发到将4人用车送到考场后再返回与其余3人相遇时所需时间为t小时．
，解得小时．
汽车由相遇点再去考场所需时间是小时．
∴用这一送人到考场共需分钟，少于50分钟．
∴这7个人能在截止进考场的时刻前赶到．
2：从故障处7人同时出发，3人步行，另将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的3人，使他们跟前面4人同时到达考场．
汽车从故障处到处需，由处步行前往考场需，
设从故障处出发到汽车返回与其余3人相遇时所需时间为（h），
则有，解得，
∴相遇点与考场的距离为．
他们同时到达，则有，解得．
代入上式，可得他们从故障处赶到考场所需时间为小时，约为43.7（分钟）．
．
他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
26. 已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．
（1）求点E的坐标（用t表示）；
（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．
（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：当t＝，t＝，t＝2+时，使得△QOE与△PMF相似．
【详解】试题分析：
（1）连接PM、PN，由已知条件易证△PMF≌△PNE，由此可得NE=MF=t，则可得OE=t-1，点E在y轴的负半轴即可得到点E的坐标了；
（2）在Rt△PFM中，易得PF=，OE=即可得到方程，解此方程即可求得对应的t的值；
（3）由F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称可得F′(1－t，0)，点Q是线段MF′的中点可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2时，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值；在当t＞2时，分△OEQ ∽△MPF和△OEQ ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值.
试题解析：
（1）如下图，连结PM，PN．
∵以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，
∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，
∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，
∴∠NPE=∠MPF，
又∵PM=PN，
∴△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF=t，
∴OE=t-1，
∴E（0，1－t）；
（2）在直角△PMF中，，
由PF=2OE得，
解得或．
（3）存在，理由如下；
∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，
∴F′(1－t，0)，
∵点Q是MF′的中点，
∴Q(1－t，0)，
①当1＜t＜2时，如图，有OQ＝1－t，
由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．
当△OEQ∽△MPF时，
∴ ，
∴ ，
解得，t＝或t＝ (舍去)；
当△OEQ∽△MFP时，，
∴ ，解得，t＝或t＝ (舍去)；
②当t＞2时，如图，有OQ＝t－1，
由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，
当△OEQ ∽△MPF，，
∴ ，无解；
当△OEQ ∽△MFP时，；
∴ ，
解得或（舍去）．
综上所述，当t＝，t＝，时，使得△QOE与△PMF相似．
点睛：在解本题第3小题时，需注意：（1）要分（此时点Q点O的右侧）和（此时点Q在点O的左侧）两种情况分析讨论；（2）在上述两种情况中，又要分点Q对应点F和点Q对应点F两种情况分析讨论；即本体存在4种情况，解题时，没有要忽略了其中任何一种情况.
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