2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷（含解析）卷

这是一份2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷（含解析）卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   下列方程中，是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D.    将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，   一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为(    )A.  B.  C.  D.    用配方法解方程时，配方所得的方程为(    )A.  B.  C.  D.    一元二次方程的实数根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断   已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为(    )A.  B.
C.  D.    方程的两个实数根的和与积分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，   若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D.    已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为(    )A.
B.
C.
D. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树棵，第三年共植树棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 已知抛物线经过点和点，且对称轴在轴的左侧，有下列结论：；；抛物线经过点；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）抛物线的顶点坐标为______．二次函数的最小值为______．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______ 写出一个即可如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间______
 设，是方程的两个实数根，则的值为______．如图，是由绕点逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点，并简要说明点的位置是如何找到的保留作图痕迹 ______．
   三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列关于的方程．
；
．本小题分
在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
请在图中画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出各顶点的坐标；
请在图中画出绕点顺时针旋转后的图形．
本小题分
已知关于的一元二次方程为常数．
若是该方程的一个实数根，求的值；
当时，求该方程的实数根；
若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．本小题分
已知二次函数的图象为抛物线．
写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
当时，求该二次函数的函数值的取值范围；
将抛物线先向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，所得抛物线为请直接写出抛物线的函数解析式．本小题分
为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙墙长和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙，请根据设计方案回答下列问题：
方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
 本小题分
在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接．

如图，当时，求的大小；
如图，当时，求的大小；
如图，求证：．本小题分
如图，已知抛物线过点，，其对称轴为．
求该抛物线的解析式；
若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．
当的面积为时，求点的坐标；
是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、该方程为一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含有未知数，为分式方程，故此选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，直接判断即可．
本题考查了一元二次方程．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：将一元二次方程化为一般形式为，
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
或，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：将原方程化成一般形式，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
将原方程转化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，
，，
，，
原方程可化为．
故选：．
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
 7.【答案】 【解析】解：方程整理得：
设，是一元二次方程的两根，
则，．
故选：．
利用根与系数的关系求解即可．
本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 8.【答案】 【解析】解：二次函数，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
点，，都在二次函数的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：、、，
，
故选：．
先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数的解析式是为常数，
该抛物线的对称轴是：，
又二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
关于的一元二次方程的两实数根分别是，．
故选：．
关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数为常数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
故选：．
第三年的植树量第一年的植树量年平均增长率，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：抛物线对称轴在轴左侧，且抛物线经过，，
抛物线开口向上，即，正确．
将代入得，
将代入得，
，正确．
抛物线对称轴在轴左侧，点，关于轴对称，
不在抛物线上，错误．
抛物线开口向上，，
抛物线与直线有两个不同交点，
有两个不相等的实数根，正确．
故选：．
由抛物线对称轴在轴左侧，且抛物线经过，可得抛物线开口向上，从而判断，分别将，代入解析式可得与的关系，从而判断，由抛物线的对称性可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 13.【答案】 【解析】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的性质是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：
，
当时，的最小值为，
故答案为：．
根据二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 15.【答案】答案不唯一 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
取，
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，在的范围内选一个即可．
本题考查了根的判别式，熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
且，
当时，取最大值，
故答案为：．
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
 17.【答案】 【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
；
故答案为：．
由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握根与系数的关系得到，．
 18.【答案】作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心 【解析】解：如图，作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．

故答案为：作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
作线段，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，，，
，
，
，． 【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 20.【答案】解：如图，即为所求，，，；
如图，即为所求．
 【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 21.【答案】解：将代入原方程得，
解得：，
的值为；
将代入原方程得，
，
解得：，，
当时，该方程的实数根为，；
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为． 【解析】将代入原方程可求出的值；
代入，利用因式分解法可求出方程的实数根；
根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：代入的值，求出的值；利用因式分解法，求出方程的解；牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
 22.【答案】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，；
当时，；
当时，该二次函数的函数值的取值范围是；
将抛物线先向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，所得抛物线为：，即可． 【解析】把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
根据二次函数的性质可得出答案；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 23.【答案】解：，
Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为，
设水池的长为，则水池的面积为，
，
解得，
，
，
即的长为、的长为；
设长为，则长度为，
总种植面积为，
，
当时，总种植面积有最大值为，
即应设计为总种植面积最大，此时最大面积为． 【解析】设水池的长为，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
设长为，则长度为，得出面积关于的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
 24.【答案】解：，
，
，
将绕点逆时针旋转得到，
；
解：，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
；
证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
又，，
≌，
，
，，，
，
． 【解析】由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可求解；
由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求；
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 25.【答案】解：抛物线过点，，且它的对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
，
故此抛物线的解析式为；
点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，

设直线与抛物线对称轴交于点，则，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图，当的值最大时，、、在同一条直线上，

是抛物线上的动点，
，
解得：，舍去，
． 【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
运用待定系数法求得直线的解析式为，当的值最大时，、、在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．