2022-2023学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知中最长的弦长，则的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若是关于的方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是的直径，点在上，点，是的三等分点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若二次函数的图象经过点，则下列各点中一定在该图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是(    )
    

A.
B.
C.
D.

8. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请个队参赛，可列出的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，均在格点两条网格线的交点叫格点上，以点为原点建立平面直角坐标系，则过，，三点的圆的圆心坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 二次函数为常数，的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：
    ；
    ；
    ；
    ；
    为任意实数．
    其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 点关于原点对称的点的坐标是______．
14. 将方程化为的形式，则的值为______．
15. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式______．
16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
17. 如图所示，，，是半径为的上的三个点，若四边形为平行四边形，则四边形的面积等于______．

18. 如图，在中，，，，，为的中点，为边上一动点，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程．
    ；
    ．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若此方程的两个实数根，，满足，求的值．
21. 本小题分
    二次函数为常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：

该二次函数解析式为______，______，______；
请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
根据图象直接写出下列问题：
当______时，有最______值填“大”或“小”是______．
若该二次函数图象上有两点和满足，则______从符号，，，，中选择一个填空
当时，的取值范围是______．
当时，则的取值范围是______．

22. 本小题分
    如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，．
    求证：；
    如图，过点作的垂线与交于点，作直径交于点若为中点，的半径为，求弦的长．
     
23. 本小题分
    如图，学校要在教学楼后面的空地上用米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙外墙足够长，其余三边用竹篱笆围成．其中即长不小于宽，设矩形的宽的长为米，矩形面积为平方米．
    若矩形的面积平方米，求宽的长；
    求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    矩形地块的宽为多少时，矩形面积最大，并求出最大面积．

24. 本小题分
    将矩形纸片放在平面直角坐标系中，点，点，点现绕点顺时针旋转矩形纸片，得到新的矩形，其中，，的对应点分别为，，当直线与直线有交点时，设交点为．
    
    在旋转过程中，判断线段和的数量关系，并以图为例说明理由；
    在旋转过程中，当点落在线段上时如图，直接写出点的坐标______；
    在旋转过程中，若线段恰好过线段中点时如图，求线段的长；
    在旋转过程中，当线段与线段的交点恰好是线段中点时如图，请直接写出点和点的坐标．
25. 本小题分
    如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．
    求二次函数与一次函数的解析式．
    点是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动点不与、重合，过点作轴，交直线于点请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标；
    抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：中最长的弦为，即直径为，
的半径为．
故选：．
最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
，
，
故选：．
把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程，得到关于的一元一次方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：点、是的三等分点，
即，
，
．
故选：．
先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为轴，
抛物线经过，
抛物线经过，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线对称轴为轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得，
，，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．
根据圆周角定理得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：根据圆周角定理得：，
又，
，即，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的表达式是：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但队之间只有场比赛，
所以可列方程为：．
故选：．
关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意队之间的比赛只有场，最后的总场数应除以．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，和关于直线对称，
因为，故，
故选：．
根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断；根据二次函数的性质即可判断．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：

在的垂直平分线上找到一点，
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故选：．
连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．
此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的负半轴，
，，，
，故错误；
由图象可知，时，，
，故错误；
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
，即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，即，故正确．
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
为任意实数，故正确．
故选：．
抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；
根据时，，即可判断．
根据对称轴，即可判断．
根据抛物线与轴有两个交点，可知，即可判断．
根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大值，由此即可判断．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可得出结论．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
，，
．
故答案为：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
该抛武线的解析式为，
又二次函数的图象开口向上，
，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据顶点坐标知其解析式满足，由开口向上知，据此写出一个即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
 

16.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
即的取值范围为：且．
故答案为：且．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，垂足为，

四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
四边形的面积，
故答案为：．
连接，过点作，垂足为，利用平行四边形的性质可得，从而可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用平行四边形的面积公式，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

根据题意，点在以点为圆心，为半径的圆上，
当时，最短，此时，
当且仅当、、共线时取等号
的最小值为．
故答案为：．
由题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，可得的最小值，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
对于任意实数，均有，
，
该方程总有两个实数根；
解：的两个实数根，，
，
，
，
解得：．
故的值是． 

【解析】通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得，，再利用，得到，然后解方程，从而得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】        大         

【解析】解：把点，，代入得，
解得，
该二次函数解析式为，
把代入得，，
把代入得，，
故答案为：，，；
描点、连线画出函数图象如图：

观察函数的图象，
当时，有最大值是；
若该二次函数图象上有两点和满足，则；
当时，的取值范围是．
当时，则的取值范围是．
故答案为：，大，；；；．
利用待定系数法即可求解函数的解析式，进而利用解析式即可求得、的值；
利用五点画出函数的图象即可；
根据图象即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图所示：
为的中点，
，
，
，
，
，
；
解：为中点，
，
由得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；
由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：米，
米，
，
整理，得，
解得：，，
由题意可知，
，
．
答：矩形的宽为米；
依题意，有，
又，且．
．
；
，
，
当时，有最大值，其最大值为．
答：当宽为米时，矩形面积最大，最大面积为平方米． 

【解析】根据矩形面积公式“面积长宽”列出方程求解便可；
设矩形的宽为米，则长为米，根据矩形面积公式“面积长宽”列出函数的关系式；
根据函数解析式和二次函数的性质求最值．
本题考查的是二次函数的应用，关键是根据矩形面积公式求出二次函数的解析式．
 

24.【答案】 

【解析】解：结论：，理由：
如图，连接，

在矩形中，点，点；
，，
矩形 是由矩形纸片旋转得到的，
，，且 ．
在和中，
，
≌，
；

如图，过点作轴于点，

在中，，，
，
的坐标为 ，
故答案为：；

为线段中点，
．

在中，，．
，
连接，由知：≌，
．
，
．
．
，
；

设，则，
恰好是线段中点，则，
由知，
即，解得，
则，
点的坐标点为 ，点的坐标为 ．
证明≌，即可求解；
在中，，，即可求解；
证明，则，进而求解；
证明，即，解得，即可求解．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角函数等知识，有一定的综合性，难度适中．
 

25.【答案】解：令，则，
，
二次函数的对称轴为直线，
，
将代入，
，
解得，
二次函数的解析式为，
，，
将，代入，
，
解得，
一次函数的解析式为；
设 ，，则，
点从点沿抛物线向点运动且点不与、重合，
，
，
当时，线段有最大值，最大值为 ，此时点的坐标为 ；
存在点，使，理由如下：
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
解得或，
或． 

【解析】分别求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设 ，，则，可得，当时，线段有最大值，最大值为 此时点的坐标为 ；
过点作轴交于点，设，则，则，求出的值即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．