江苏省南京市鼓楼实验中学2022—2023学年上学期第一次月考九年级数学卷(含答案)

这是一份江苏省南京市鼓楼实验中学2022—2023学年上学期第一次月考九年级数学卷(含答案)，共16页。


注意事项：
（满分：120 分考试时间：120 分钟）
考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试号是否与本人相符，再将自己的姓名、 考试号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效，非选择题部分如果写错答案，需要修改，请用黑色水笔杠去写错部分，在题目空余位置重新作答，不可以使用修正液、修正带、透明胶带、橡皮等修改错误。
作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．纸．相．应．位．置．上）
下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+x=2yB．x2＝1C．ax2+bx+c＝0D．x2+x+1
用配方法解方程 x2－4x－4＝0 时，配方所得的方程为（ ）
A．(x＋2)2＝0B．(x－2)2＝0C．(x＋2)2＝8D．(x－2)2＝8
已知⊙O 的直径为 10 cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 10 cm，直线 l 与圆 O 的位置关系为 （ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
已知 x1、x2 是一元二次方程 x2－ax－3＝0 的两个根，下列结论正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1＋x2＞0C．x1·x2＞0D．x1＜0，x2＜0
BC
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，BC＝3．将⌒ 沿着 BC 折叠后恰好经过点 O，则 AB 的长为（ ）
A．2 2B．2 3C．4D．5
D
E
O
C F
AB
（第 5 题）（第 6 题）
如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD，CB 是⊙O 的切线，D，B 为切点，OC 交⊙O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 F，连接 AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E 为△CDB 的内心；③FC＝FE. 其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．纸． 相．应．位．置．上）
方程 x2＝x 的解是 ▲．
若关于 x 的一元二次方程（k－1）x2＋2x－1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是 ▲．
若一元二次方程 x2＋mx－3＝0（m 为常数）的一个根是 x＝1，则另一个根是 ▲．
如图，点 O 是△ABC 的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D、E,点 M、N 分别是 OD、OE 的中点，连接 MN．若 MN＝1，则 BC＝ ▲．
如图，四边形 ABCD 的各边都与圆相切，它的周长为 14．若 AB＝4，则 CD 的长为 ▲．
如图，P 是⊙O 外一点，PB、PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B、C，若∠P 为 40°，点 A 在⊙O 上（不与 B、C 重合），则∠BAC＝ ▲°．
D
M
N
E
O
A
C
E
F
O
D
B
O
A
A
D
BCB
（第 10 题）
C
（第 11 题）
C
（第 12 题）
P B
（第 13 题）
如图，⊙O 的直径为 10，A、B、C、D 是⊙O 上四个动点，且 AB＝6，CD＝8，若点 E、F 分别是弦
AB、CD 的中点，则线段 EF 的长度的取值范围是 ▲．
如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝8，D 是⌒AB的中点，过点 B 作 BC⊥AB 交⊙O 于点 C，连接 CD，则 CD＝ ▲．
C
O
A
B
P
C
Q
O
E
D
AB
D
（第 14 题）
（第 15 题）
（第 16 题）
如图，在扇形 AOB 中，点 C、D 在⌒AB上，连接 AD、BC 交于点 E，若∠AOB＝110°，C⌒D的度数为 40°，则∠DEB＝ ▲°．
⌒
如图，E 是⊙O 的直径 AB 上一点，AB＝10，BE＝2．过点 E 作弦 CD⊥AB，P 是ACB上一动点，连
接 DP，过点 A 作 AQ⊥PD，垂足为 Q，则 OQ 的最小值为 ▲．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8 分）解下列方程：（1）x2－2x－8=0；（2）3(x－1)2＝2－2x．
18．（8 分）如图，AB 是⊙O 直径，D 是弦 AC 延长线上一点，且 CD=AC，DB 的延长线交⊙O 于点 E.
求证：CD=CE．
（第 18 题）
19．(8 分)某商店的一种服装，每件成本为 50 元．经市场调研，售价为 60 元时，可销售 800 件；售价每
提高 5 元，销售量将减少 100 件．已知商店销售这批服装获利 12000 元，且为了惠顾于百姓，问这种服装每件售价是多少元？
20．(8 分)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P．过点 D 作⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 E．若∠BAC＝35°，求∠E 的度数．
（第 20 题）
21．（8 分）如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P，且 AB＝CD．求证 PB＝PD．
C
A
P
O
B
D
（第 21 题）
22．（8 分）已知关于 x 的方程 mx2＋(4m－2)x＋4m－4＝0（m 为常数，且 m≠0）．
求证：方程总有实数根；
若该方程有两个实数根：
①不论 m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为 ；
②若 m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求 m 的值．
23．(6 分)利用圆规和无刻度的直尺，求作：⊙O，使圆心 O 位于线段 AC 上，⊙O 过点 C 且与 AB 相切．
如图①，已知Rt△ABC 中，∠C =90°；
如图②，已知△ABC．
B
B
ACAC
①②
（第 23 题）
24．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，⊙O 经过点 A、C、D，分别交边 AB、BC 于点 E、F，连接 DE、DF，且 DE＝DF．
求证：AB∥CD；
连接 AF，求证：AB＝AF．AD
O
E
BFC
（第 24 题）
25．（8 分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为
13m，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 1︰2 的矩形，已知栅栏的总长度为
24m，设较小矩形的宽为 xm（如图）．
13m
若矩形养殖场的总面积为 36m2，求此时 x 的值；
当 x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
（第 25 题）
26．（8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AC 边上，以 AD 为直径作⊙O 交 AB 于点 E，连
E
O
D
接 CE，且 CB＝CE．B
求证：CE 是⊙O 的切线；
若 CD＝2，AB＝4 5，求⊙O 的半径．
AC
（第 26 题）
27．（10 分）如图，E 是边长为 4 的正方形 ABCD 边 BC 上一点，BE 长为 1．点 F 从点 B 开始，在正方形的边上，沿着 B－A－D－C 方向运动，到达点 C 后停止运动．点 A 关于直线 EF 的对称点为 A′．
A
F
B
E
D
A′
C
（第 27 题）
从“点”开始
求点 A′与点 D 的最小距离和最大距离．
由“点”到“线”
当直线 A′D 与点 A′的轨迹（即点 A′运动形成的图形）有且只有 1 个公共点时，DA′的长是 ▲．
拓“线”成“形”
在点 F 经过点 A 后．至点 F 到达点 C 前．的过程中，当点 A′恰好落在正方形 ABCD 的边所在直线 上时，直接写出此时点 F 运动的路程．
2022—2023 学年第一学期九年级第一次校内调研试卷
数学参考答案及评分标准 20221008
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的 精神给分．
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）
17．（本题 8 分）
（1）解：配方得 x2－2x＋1＝8＋11 分
∴（x－1）2＝92 分
∴ x－1＝±33 分
∴ x1＝4，x2＝－2．4 分
（2）解：3（x－1）2＋2x－2＝0
∴3（x－1）2＋2（x－1）＝01 分
∴（x－1）[3（x－1）＋2]＝02 分
∴（x－1）（3x－1）＝0
∴x－1＝0 或 3x－1＝03 分
1
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
D
C
A
B
C
7．x1=0，x2=1．
8．k≥0 且 k≠1．
9．－3．
10．4．
11．30°或 150°．
12．75°．
13．1≤EF≤7．
14．4 5 ．
15．35°．
16． 5 ．
∴x1=1，x2=
3
18．（本题 8 分）证明：连接 BC，
．4 分
∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB＝90° ∴BC⊥AD2 分
又 CD＝AC∴BC 垂直平分 AD∴AB＝BD∴∠A＝∠D5 分
∵在⊙O 中，∠CEB＝∠A∴∠CEB＝∠D∴CE＝CD．8 分
（本题方法不唯一，其他方法参照给分）
19．（本题 8 分）
解：设售价提高 x 元．1 分
x
由题意列方程得：（60＋x－50）（800－
5
100）＝12000．4 分
解得：x1＝10，x2＝20．6 分
∵为了惠顾百姓，∴售价尽可能低，∴x＝10．7 分
当 x＝10 时，60＋x＝70．
答：这种服装的单价应定为 70 元．8 分
（本题方法不唯一，其他方法参照给分）
20．（本题 8 分）
解：（1）设 OA＝OC＝Rm， 1 分
∵OA⊥CD，
∴CB＝BD＝ CD＝14m，3 分
在 Rt△COB 中，OC2＝OB2+CB2，4 分
∴R2＝142+（R－12）2，5 分
85
∴R＝
6
，8 分
21．（本题 8 分）
证法 1：如图①，连接 BD．
C
A
P
O
B
D
∵在⊙O 中，AB＝CD，
⌒⌒
∴
AB ＝CD．2 分
⌒⌒⌒⌒⌒⌒
∴
AB － AC＝CD－ AC，即BC＝AD．4 分
∴∠D＝∠B．6 分
∴PB＝PD．·····································································8 分①
证法 2：如图②，过点 O 分别作 OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为 M、N．连接 OB、OD、OP．
∵OM⊥AB，ON⊥CD，且 O 为圆心
C
A
M
P
N
O
B
D
∴BM＝1AB，DN＝1CD．2 分
22
∵AB＝CD，
∴BM＝DN．3 分
在 Rt△OBM 和 Rt△ODN 中，∠OMB＝∠OND＝90°，
根据勾股定理，得 OM＝ OB2－BM2，ON＝ OD2－DN2．
②
又 OB＝OD，BM＝DN，
∴OM＝ON．5 分
又 OP＝OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN．6 分
∴PM＝PN．7 分
∴PM＋BM＝PN＋DN，即 PB＝PD．8 分
22．（本题 8 分）
（1）证明：①当 m＝0 时，原方程为：－2x－4＝0∴x＝－2，此时有实数根；1 分
②当 m≠0 时，原方程为一元二次方程
∵b2－4ac＝（4m－2）2－4m（4m－4）＝4＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x
综上：原方程总有实数根．3 分
－b± b2－4ac
＝－(4m－2)±2，即 x ＝－2＋ 2 ，x ＝－25 分
＝
2a2m
1m2
① x＝－2；6 分
②∵方程的两个实数根都是整数，且 m 为整数
∴整数 m 为±1，±2．8 分
23．（本题 6 分）
作法：以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点； 点 P 就是所求作．
1
②
作出△ABC 的外心 O，再作出过 O、B、C 的外接圆交 CD 于点 Q.
解：如图所示，即为所求．
（每个图 3 分）
24．（本题 8 分）
证明：∵DE＝DF，∴D⌒E＝D⌒F，∴D⌒CE＝D⌒AF，
∴∠A＝∠C，2 分
∵AD//BC．
∴∠ACD＋∠C＝180°，
∴∠ACD＋∠A＝180°，
∴AB//CD．4 分
∵AD//BC ，AB//CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，5 分
∵四边形 AFCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AFC＋∠ADC＝180°． 又∠AFC＋∠AFB＝180°，
∴∠ADC＝∠AFB．7 分
∴∠B＝∠AFB．
∴AB＝AF．8 分
25．（本题 8 分）
＝（
根据题意知：较大矩形的宽为 2x m，长为24－x－2x8－x） m，1 分
3
可得 （x+2x）（8－x）＝36， 3 分
∴ x1＝2，x2＝6，6 分
∵当 x＝6 时，3x＝18＞13（舍去）
∴x＝2．8 分
26．（本题 8 分）
两选一即可（1）截长法：
证明：如图 2，在 CB 上截取 CN＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MN．
∵M 是的中点，
∴MA＝MC，
在△MBA 和△MGC 中，
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC
∴BD＝GD，
∴CD＝GC+GD＝AB+BD；5 分
垂线法：
证明：如图 3，过点 M 作 MH⊥AB 于点 H，连接 MA，MB，MC，
∵M 是的中点，
∴AM＝CM，
∵MH⊥AH，MD⊥BC，
∴∠H＝∠CDM＝90°，
∵∠A＝∠C，
在△AHM 和△CDM 中，
，
∴△AHM≌△CDM（AAS），
∴MH＝DM，AH＝CD，
∵∠H＝∠BDM＝90°，BM＝BM，
∴Rt△BMH≌△BMD（HL），
∴BH＝BD，
∴CD＝AH＝AB+BH＝AB+BD；5 分
（2）BC，证明如下：在 Rt△AHM 中，AM2＝AH2+MH2，6 分
在 Rt△BHM 中，BM2＝BH2+MH2，
由（1）可知，AC＝AM，BH＝BD，AH＝CD，
∴MC2﹣MB2＝AM2﹣MB2＝AH2+HM2﹣BH2﹣HM2＝AH2﹣BH2＝（AH+BH）（AH﹣BH）＝（CD+BD）
（AH﹣BH）＝BC•AB．8 分
27．（本题 10 分）
解：（1）如图，连接 AE．
∵四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．
∵BE＝1，∴在 Rt△ABE 中，EA＝ AB2＋BE2＝ 17．1 分
A
D
B
E
C
A2′
A1′
∵点 A 关于直线 EF 的对称点为 A′，
∴EA′＝EA＝ 17．
以 E 为圆心，EA 为半径作⊙E，则点 A′在⊙E 上． 作直线 DE，交⊙E 于点 A1′，A2′（点 A 1′靠近点 D）．
∴EA1′＝EA2′＝ 17．
易证，当点 A′与点 A 1′重合时，DA′最小；当点 A′与点 A 2′重合时，DA′最大．
∵EC＝BC－BE，
∴EC＝3．
∴在 Rt△DEC 中，DE＝ EC2＋CD2＝5．2 分
∴DA1′＝DE－EA1′＝5－ 17，DA2′＝DE＋EA2′＝5＋ 17．
所以，点 A′与点 D 的最小距离是 5－ 17，最大距离是 5＋ 17．6 分
（2）有 4 种情况，如图①—④所示．
A′
AFA′D A
FDAAD
BECBECB
①②
F
BEC
④
D F
A′
E
C
③
①当点 A′在 AD 边上时，点 F 在 AD 边上，此时点 F 运动的路程为 5；A′
②当点 A′在 DC 边上时，点 F 在 AD 边上，此时点 F 运动的路程为 9－2 2；
；
③当点 A′在 BC 延长线上时，点 F 在 DC 边上，此时点 F 运动的路程为45－3 17
4
④当点 A′在 DC 延长线上时，点 F 在 DC 边上，此时点 F 运动的路程为 6＋3 2．10 分
（说明：第④种情况答案如果没有化简，如写成“
2
2＋4
2＋ 2
6
2＋ 2
＋8”或“12－
”也可以．）