+江苏省徐州市鼓楼区树德中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年江苏省徐州市鼓楼区树德中学九年级（上）第一次月考数学试卷

1.  下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是(    )

A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断

3.  一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是(    )

A. 或 B.  C.  D. 5cm或13cm

4.  一元二次方程的两个根分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  用配方法解方程，配方后可得(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 半圆是弧，弧也是半圆 B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是同一圆中最长的弦

7.  用公式法解一元二次方程，正确的应是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图单位，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是(    )

A. 10
B. 18
C. 20
D. 22

9.  若是方程的一个根，则m的值为______.

10.  方程的根为______.

11.  当______时，代数式与的值相等．

12.  如图，在矩形ABCD中，，若以点A为圆心，4为半径作，则点A，点B，点C，点D四点中在外的是__________.

 

13.  如图，的直径CD垂直弦AB于点E，且，，则弦______

14.  如图，的弦AB、半径OC延长交于点D，，若，则______度．

15.  写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是______.

16.  若一元二次方程有两个不相等实数根，则m的取值范围______.

17.  已知、是方程的两个实数根，则的值为______ .

18.  若、是方程的两实根，则的值等于______ .

19.  用指定方法解下列一元二次方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法

20.  k为何值时，方程有两个相等的实数根；并求出这时方程的根.

21.  如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦CD的中点，EM经过圆心O交于点E，，求的半径．

 

22.  如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？

23.  为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．
求这种药品每次降价的百分率是多少？
已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？

24.  如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．
如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
在中，的面积能否等于？试说明理由．

25.  某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：A、是一元二次方程，故A正确；
B、是分式方程，故B错误；
C、是二元二次方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D错误．
故选：
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是

2.【答案】A 

【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系的应用.
已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外．
【解答】
解：的半径为5，若，
，
点P与的位置关系是点P在内，
故选：

3.【答案】A 

【解析】解：设此点为P点，圆为，最大距离为PB，最小距离为PA，则：
此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，

半径；
当此点在圆外时，如图所示，

半径；
故圆的半径为或
故选：
设此点为P点，圆为，最大距离为PB，最小距离为PA，有两种情况：①当此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可．
注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

4.【答案】D 

【解析】解：，
两边直接开平方得：，
则，，
解得：，
故选：
两边直接开平方可得，然后再解一元一次方程即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．

5.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
故选：
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．

6.【答案】D 

【解析】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，C不符合题意；
直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意；
故选：
根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可．
此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键．

7.【答案】B 

【解析】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
故选：
方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．

8.【答案】A 

【解析】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，
，，
则，
，
在中，设的半径为R，，
，
，
解得，，
即该球的半径是
故选：
设圆心为O点，连OE，交AB于C，则，，在中，设的半径为R，，利用勾股定理得到，解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．

9.【答案】5 

【解析】解：把代入，得
，
解得：
故答案是：
把代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

10.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
或
故答案为：，
将看作整体，先移项，再提公因式，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．

11.【答案】， 

【解析】解：由题意得，
移项得，
分解因式得，
解得，，
故答案为：，
代数式与的值相等，则可得到一个一元二次方程，然后移项，套用公式进行因式分解，利用因式分解法即可得到x的值．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

12.【答案】点C 

【解析】【分析】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】
解：，
点C在外，
，
点D在上；
，
点B在内，
故答案为点

13.【答案】 

【解析】解：连接OA，如图，
，，
，
，，
，
，
在中，，
故答案为
连接OA，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

14.【答案】25 

【解析】解：连接OB，
，
所以和为等腰三角形，
设度，则，
因为，
所以，
在中，，
解得，
即
解答此题要作辅助线OB，根据半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得到两根之和为，两根之积为，
则所求方程为
故答案为：
由方程的根为3和2，得到两根之和为5，两根之积为6，写成方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，

16.【答案】且 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：，
，
的取值范围为： 且
故答案为： 且
由一元二次方程有两个不相等实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
此题考查了根的判别式．注意方程有两个不相等的实数根．

17.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
故答案为：
根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到，，根据即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的定义．

18.【答案】 

【解析】解：、是方程的两实根，
，
原式
故答案为：
根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后变形原代数式为原式，再代值计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，，则，

19.【答案】解：，
移项，得 ，
两边都除以3，得，
两边开平方，得，
移项，得，
解得：，；
，
两边都除以2，得，
移项，得，
配方，得，即，
解得：，
即，；
，
这里，，，
，
，
解得：，；
，
方程左边因式分解，得，即，
解得：， 

【解析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

20.【答案】解：
有两个相等的实数根，
，即，解得或，
即当k的值为8或时，方程有两个相等的实数根，
当时，方程为，解得，
当时，方程为，解得 

【解析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的方程，可求得k的值，再解方程即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．

21.【答案】解：如图，连接OC，

是弦CD的中点，EM过圆心O，
，
设，则，
在中，根据勾股定理，得
，
解得
的半径为 

【解析】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
连接OC，根据垂径定理得出，则，设，则，在中，有，进而可求得半径

22.【答案】解：设宽为x m，则长为
由题意，得 ，
解得 ，
当时，舍去，
当时，
答：围成矩形的长为8m、宽为 

【解析】设宽为xm，则长为，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．

23.【答案】解：设这种药品每次降价的百分率是x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：这种药品每次降价的百分率是
元，
，
按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本． 

【解析】设这种药品每次降价的百分率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格，即可求出再次降价后的价格，将其与100元进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：设xs后，的面积等于
此时，，，
由，得
即，解得，
当时，，，的面积等于；
当时，，，的面积等于
故P、Q分别从A、B两点出发经过1s或4s时的面积等于；

仿得
整理，得，因为，
所以，此方程无解．
所以的面积不可能等于 

【解析】设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，，，则的面积等于，令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
看的面积能否等于，只需令，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

25.【答案】解：设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则，
当时，，
解得，，
经检验，，都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以，
答：每件衬衫应降价20元。
，
当时，y的最大值为1250。
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 

【解析】设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到x的值；
用“配方法”可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润是解题关键．