陕西省咸阳市乾县第一中学2022-2023学年高二上学期第一次质量检测数学（文科）试题（含答案）

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2024届乾县第一中学高二第一次质量检测数学（文科）满分: 150分高二类型: 月考试卷一.选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知 , 则的值为（）A. B. C. D.2. 已知数列中,, 则（）A. B. C. D.3. 设等差数列的前项和为, 若, 则（）A. B. C. D.4. 某电器城为应对即将到来的空调销售旺季, 批发了一批新型号空调, 其中甲品牌台, 乙品牌台, 丙品牌台, 为了确保产品质量, 质检员要在这批空调中采用等比例分层随机抽样的方法, 抽取一个容量为的样本进行安全性能检验, 若甲品牌空调抽取了台，则（）A.21 B.24 C.27 D.305. 执行如图所示的程序框图, 则输出的值为（）A. B.C. D.6. 若两个等差数列和的前项和分别是, 已知, 则（）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示, 则的值分别是（）A. B. C. D.运动员甲次射击成绩 (单位: 环) 如下:, 则下列关于这组数据说法不正确的是（）A.众数为和 B.平均数为 C.中位数为 D.方差为 9. 已知是平面内一定点,是平面上不共线的三个点, 动点满足, 则点的轨迹一定通过的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心10. 在各项为正的递增等比数列中,, 则（）A. B.C. D.11. 已知 , 则（）A. B.C. D.12.甲乙两选手进行象棋比赛, 已知每局比赛甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为, 若采用三局二胜制, 则甲最终获胜的概率为（）A. B. C. D.二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知 , 且与夹角为钝角, 则的取值范围___________.14. 若等差数列满足 , 则当的前项和最大时,的值为___________.15 已知 , 且, 则___________.16给出如下几个命题： ①若是随机事件，则；②若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件；③若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件；④事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大．其中正确的是___________．（填序号）三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本题满分1 0分）已知等差数列中,.(1) 求数列的通项公式;(2) 求数列的前项和. 18. （本题满分1 2分）已领函数 (1) 求的值;(2) 求在区间上的最大值和最小值. 19 （本题满分1 2分）已知数列满足, 令.(1)求证: 是等比数列;(2)记数列的前项和为, 求. 20. （本题满分1 2分）某班进行了一次数学测试, 并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值;(2)估计这次测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)在测试成绩位于区间和的学生中, 采用分层抽样, 确定了人, 若从这人中随机抽取人向全班同学介绍自己的学习经验, 设事件 “抽取的两人的测试成绩分别位于和”, 求事件的概率.21 （本题满分1 2分）的内角的对边分别为且满足.(1)求角的大小;(2)求周长的范围. 22 （本题满分1 2分）某杂志刚刚上市销售, 销售前对该杂志拟定了种单价进行试销售, 每本单价(元) 试销售天, 得到如表单价（元）与销量的数据关系:(1) 已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程;(2)若该杂志每本的成本为元, 要使得售卖时利润最大, 请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元?附:
2024届乾县第一中学高二第一次质量检测数学（文科）满分: 150分高二类型: 月考试卷参考答案及解析 1. 【答案】A 【解析】因为 ,所以 ,所以 ,则 . 2. 【答案】B 【解析】,,,,,数列是以为周期的数列, 3. 【答案】B 【解析】等差数列的前项和为, 4. 【答案】C 【解析】根据分层抽样原理知, 解得. 5. 【答案】C 【解析】按照程序框图依次循环运算, 当时, 停止循环, 当时,. 6. 【答案】B 【解析】 7. 【答案】A 【解析】当时,. 8. 【答案】C 【解析】由题意，这组数据中 7 和9都出现 3 次，其余数出现次数没超过 3 次，故众数为7和9， A正确；计算平均数为，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为: ，则中位数为，故C错误；方差为，故D正确 9. 【答案】B 【解析】由 ,得 ,即 ,所以点在的平分线上,故点的轨迹一定通过的内心. 10. 【答案】B 【解析】数列为各项为正的递增数列, 设公比为, 且,,,,,即 ,解得 11. 【答案】C 【解析】因为 ,所以 ,又 ,所以是第一象限角,所以 , 12. 【答案】C 【解析】由题意可得甲最终获胜有两种情况: 一是前两局甲获胜，则获胜的概率为二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13由题意知与的夹角为钝角所以, 所以当与共线时,, 则, 此时即与反向故的取值范围为且14. 根据题意知, 即.又当时,的前项和最大.15 由, 得,,16. ①若A是随机事件，则，在几何概型种随机事件的发生概率可以为0或1，所以正确；②若事件A与B是互斥事件，则A与B不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为1”和”朝上的面为2“互斥但不对立，所以不正确； ③若事件A与B是对立事件，则A与B一定是互斥事件，互斥事件包含对立事件，所以正确； ④事件A，B中至少有一个发生的概率不一定比A，B中恰有一个发生的概率大，如果A或B的发生概率为0或A、B互斥则概率一样大，所以错误.故答案为①③ 三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 【答案】（1）（2）【解析】(1) 将利用已知条件求得 , 由此求得数列的通项公式;(2) 利用等差数列前项和公式求得【详解】(1) 依题意, 设等差数列的公差为,因为 , 所以, 又,所以公差 ,所以 (2) 由 (1) 知 ,所以 18 【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 根据两角和的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简 , 然后代入计算即可.(2) 根据 (1) 的条件, 以及正弦函数的性质进行计算和判断即可.【详解】解: (1) 因为 ,所以 (2) 因为 , 所以,所以 ,所以，当 , 即时,取到最大值;当 , 即时,取到最小值 19. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设数列的前项和为, 则, 则, 两式作差, 化简整理可得, 根据等比数列的定义, 即可得证.（2）由（1）可得 , 利用错位相减求和法, 计算化简, 即可得答案.(1) 证明: ①,①-②得, 经检验, 当时上式也成立,即 .所以即 , 且.所以是首项为, 公比为的等比数列(2) 由（1）得 .所以 ,两式相减, 得 20 【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质, 列出方程, 即可求解;（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式, 即可求解;（3）根据题意确定抽样比, 利用列举法求得基本事件的总数, 以及所求事件中所包含的基本事件的个数, 利用古典摡型的概率计算公式, 即可求解.（1）解: 由频率分布直方图的性质, 可得,解得（2）解: 根据频率分布直方图的平均数的计算公式,这次测试成绩的平均数为 (3) 解: 测试成绩位于的频率,位于的频率，因为 , 所以确定的 5 人中成绩在内的有 3 人, 分别记为,成绩在内的有 2 人, 分别记为,从 5 人中随机抽取 2 人的样本空间:共有10 个样本点,其中，即,所以概率为 21. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角为边, 再根据余弦定理即可的解;(2) 利用正弦定理得边 , 再利用三角恒等变换化简, 结合正弦函数的性质即可得出答案.（1）解: 由余弦定理 , 即,所以 , 因为, 所以 (2) 由正弦定理:则由 (1) , 故因为 ,则 ,所以 , 即周长范围是 22 【答案】（1）（2）当单价定为元时, 可获得最大利润【解析】【分析】(1) 运用公式直接求回归直线的方程即可; （2）写出利润与单价的函数关系式, 求其最值即可.(1) 因为 ,,,所以 ,所以关于的回归直线方程为（2）设获得的利润为 , 则, 因为二次函数的开口向下, 所以当时,取最大值, 故当单价定为元时, 可获得最大利润