2021【KS5U解析】银川一中高一上学期期中考试数学试题含解析

银川一中2020/2021学年度（上）高一期中考试

数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据并集的定义即可求出．

【详解】解：集合，3，，，4，，则，2，3，4，，

故选：．

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，进而可解得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得且，

因此，函数的定义域是.

故选：B

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3. 已知函数，若，实数（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出，从而，进而，由此能求出实数的值．

【详解】解：函数，

，

，

，

解得实数．

故选：．

4. 已知定义在R上的函数满足，且，则（    ）

A. -1 B. -0.5 C. 0.5 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

由，得，能求出结果．

【详解】解：定义在上的函数满足，且，

．

故选：．

5. 函数的单调减区间为（    ）

A.  B.  C.  D. R

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法即可求得答案.

【详解】由在单调递增，

为减函数，所以函数的单调递减区间是.

故选：C.

【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断方法，（1）先求函数的定义域，（2）再根据复合函数单调性 “同增异减”判断，属于基础题．

6. 不等式中x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性解不等式．

【详解】∵，∴由得．解得．

故选：C．

7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数是奇函数，结合已知函数解析式，即可容易代值求得结果.

【详解】因为是奇函数，故可得.

故选：

【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属简单题；另，本题也可利用奇偶性求出函数在时的解析式，再代值求解.

8. 已知函数在上是增函数，则的大小关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由对数函数性质比较的大小，再由的单调性得出结论．

【详解】∵是上的增函数，，

∴，

又是上的增函数，∴，即．

故选：B．

【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）

9. 函数图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

判断函数的奇偶性，利用指数函数的特征判断即可.

【详解】函数是偶函数，其图象关于轴对称，

当时，函数的图象是减函数，函数的值域，

结合选项可得只有B符合，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及基本函数的特征的考查，属于基础题.

10. 已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.

【详解】因为函数，在上是增函数，

所以，

解得，

故选：D

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.

11. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．

【详解】解：∵对任意的恒成立，

∴在上是减函数，

又，

∴当时，，当时，，

又是偶函数，

∴当时，，当时，，

∴解为．

故选B．

【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

12. 设函数，则（    ）

A. 偶函数，且在单调递增

B. 是偶函数，且在单调递增

C. 是奇函数，且在单调递减

D. 是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论．

【详解】函数定义域是，

，是奇函数，排除AB，

，时，，，即，而是减函数，∴是增函数，∴在上是增函数，排除C．只有D可选．

故选：D．

【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．与的单调性相反，

在恒为正或恒为负时，与的单调性相反，若，则与的单调性相反．时，与的单调性相同．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知集合，集合，则________

【答案】

【解析】

【分析】

由交集定义计算．

【详解】由题意．

故答案为：．

14. 已知函数（且）恒过定点，则________________.

【答案】

【解析】

【分析】

当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.

【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.

【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.

15. 已知函数，若，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据题意，求出的解析式，分析可得，则有，结合的值计算可得答案．

【详解】解：函数，则，

则有，

则有，

又由，则，

故答案为：2．

16. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

【答案】

【解析】

由题意可得12000=2000，=6，解得，所以，填

【点睛】

本题易错在没有注意单位，函数关系式中速度v的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化．

三、解答题（共70分）

17. 计算：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由对数的运算法则计算；

（2）由幂的运算法则计算．

【详解】（1）解：原式.

（2）解：原式.

18. 已知函数f（x）.

（1）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣∞，1）上的单调性；

（2）若f（x）在[a，0]（a＜0）上的最大值与最小值之差为2，求a的值.

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，证明见解析（2）a＝﹣2

【解析】

【分析】

（1）函数单调递减，设x1＜x2＜1 ，计算f（x1）＞f（x2）得到证明.

（2）根据函数单调性代入数据计算得到答案.

【详解】（1）∵f（x）＝2在（﹣∞，1）上的单调递减，

设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）在（﹣∞，1）上的单调递减，

（2）由（1）可知f（x）在[a，0]上的单调递减，

故当x＝a时，函数取得最大值f（a）＝2；x＝0时，函数取得最小值f（0）＝﹣1，

因此21＝2，a＝﹣2.

【点睛】本题考查了函数单调性的证明，求函数最值，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.

19. 设，且.

（1）求a的值及的定义域；

（2）求在区间上的最大值.

【答案】（1）；；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）由函数值求得，由对数的真数大于0可得定义域；

（2）函数式变形为，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值．

【详解】解：（1），，

解得，

由，得.

函数的定义域为.

（2）

当时，是增函数；当时，是减函数.

所以函数在上的最大值是.

【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）

20. 已知定义在R上的奇函数，当时，

（1）求函数在R上的解析式；

（2）作出的图像

（3）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用奇函数的定义，求得的解析式.

（2）利用分段函数的解析式，画出的图像.

（3）根据的图像，结合在区间上的单调性，求得的取值范围.

【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，所以，当时，，.所以.

（2）由（1）得，由此作出图像如下图所示：

（3）由于在区间上递增，根据（2）中的图像可知，解得.

【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

21. 已知函数（，且）.

（1）若函数在上的最大值为2，求的值；

（2）若，求使得成立的的取值范围.

【答案】(1)或；(2).

【解析】

试题分析：

(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；

(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.

试题解析：

（1）当时，在上单调递增，

因此，，即；

当时，在上单调递减，

因此，，即.

综上，或.

（2）不等式即.

又，则，即，

所以.

22. 已知.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.

【答案】（1）（2）或，（3）

【解析】

【分析】

（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；

（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；

（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.

【详解】（1）当时，

不等式解集

（2）

①当时，仅有一解，满足题意；

②当时，则，

若时，解为，满足题意；

若时，解为

此时

即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；

综上，或，

（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此

即对任意恒成立，

因为，所以在上单调递增，

所以

因此

【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.