2021【KS5U解析】内蒙古集宁一中（西校区）高三上学期期中考试数学（理）试题含解析

集宁一中西校区2020-2021学年第一学期期中考试

高三年级理科数学试题

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合的并集运算即可得解.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2. 若，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

整理可得：，问题得解

【详解】因为，所以，所以，

所以，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题.

3. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A. 189 B. 1024

C. 1225 D. 1378

【答案】C

【解析】

试题分析：三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是．

考点：数列的通项公式

4. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．

【详解】解：函数的定义域为，

因为，

所以为偶函数，所以排除C,D,

又因为当时，，

当时，，所以排除B

故选：A.

【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．

5. 已知，，，则的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等中间值区分各个数值的大小．

【详解】，

，

，故，

所以．

故选A．

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．

6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

7. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案．

【详解】解：根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递减，则在上，，在上，,

又由为奇函数，则在上，，在上，，

则的解集为的解集为；

或，

分析可得：或，

故不等式的解集为；

故选D．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析与的解集，属于基础题．

8. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ）

A 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由可得：，

所以，

因此.

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.

9. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

由对数函数的图象得出点坐标，代入直线方程得的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．

【详解】令，，，∴，

点在直线上，则，即，

∵，，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立．

故选：C．

【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．

10. 若是以O为圆心，半径为1的圆的直径，C为圆外一点，且.则（    ）

A. 3 B.

C. 0 D. 不确定，随着直径的变化而变化

【答案】A

【解析】

【分析】

将通过向量加法的三角形法则用表示出来即可.

【详解】如图，，

故选：A.

【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将用知道模的向量来表示，是基础题.

11. 已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.

【详解】不妨设可得

令则在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，

当时，

当时，，

而，

所以在区间上单调递减，则，

所以.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.

12. 若函数，则函数的零点个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可.

【详解】函数，的零点即的根，

设，则，先解方程的根t，再计算的解.

时得；时得.

如图所示，函数的图像，

方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】

本题现将不等式运用参变分离化简为，再构造新函数求最大值，最后求实数a的取值范围.

【详解】解：∵ 不等式在区间上有解，

∴ 不等式在区间上有解，

∴ 不等式在区间上有解，

令，（），则，

∴ 当时，，单调递减，

∴

不等式在区间上有解，即

∴

故答案为：

【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.

14. 已知向量，，，且、、三点共线，则_______

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.

【详解】由题得，

，

因为、、三点共线，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15. 若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围.

【详解】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当 时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：

1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；

3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；

16. 关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

【分析】

利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.

【详解】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

三、解答题（本大题共6个题，共70分）

17. 设函数，图象的一条对称轴是直线.

（1）求；

（2）画出函数在区间上的图象.

【答案】（1）；（2）图象见解析.

【解析】

【分析】

（1）因为是函数图象的对称轴，所以，即可求解的值；（2）由（1）得到疏忽的解析式，从而可完成列表，并作出图象.

【详解】（1）因为是函数的图象的对称轴，所以.

所以，. 因为，所以.

（2）由（1）知，，列表如下：

描点连线，可得函数在区间上的图象如下.

考点：三角函数的图象与性质；三角函数的五点法作图.

18. 已知，中，角，，所对的边为，，.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，，求周长的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用正余弦的倍角公式化简函数式得，结合正弦型函数的单调性求的单调递增区间即可；（2）由已知条件求，由余弦定理、基本不等式、三角形三边关系有，进而可求周长的范围.

【详解】（1），

∴在上单调递增，

∴，

（2），得，即，，则，

而，由余弦定理知：，有，所以当且仅当时等号成立，而在中，

∵周长，

∴

【点睛】本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.

19. 已知数列的前项和为，满足，.

（Ⅰ）求数列的前项和；

（Ⅱ）令，求的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用累加法计算，再计算即可；

（Ⅱ）将化简并裂项，再求和即可.

【详解】（Ⅰ）由，

得

，易见，时也适合该式，

∴.

（Ⅱ），

.

【点睛】本题考查了累加法求通项公式和裂项相消法求和，属于中档题.

20. 设是数列的前n项和，已知，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用当时，，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；

（2）化简，分为奇数，偶数，求和即可.

【详解】（1）因为，所以当时，

两式相减得，所以，当时，，，则所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故

（2）由（1）可得

所以

故当为奇数时，

当为偶数时，

综上

21. 已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）对函数求导，根据导数的方法判定其单调性，进而可得出最大值；

（2）根据（1），得到在上恒成立，令，则恒成立，结合等比数列的求和公式，求出，得出，根据题中条件，即可求出结果.

【详解】（1）由得定义域为，

又，

由得；

由得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

因此；

（2）由（1）知在上单调递减，

所以在上恒成立；

即在上恒成立，

令，则恒成立，

所以

，；

因此，

则，

又对任意，不等式恒成立，为整数，

所以最小为.

【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立问题，属于常考题型.

22. 已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）若在有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2) .

【解析】

【详解】分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；

（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．

详解：（1）证明：当时，函数.则，

令，则，令，得.

当时，，当时，

在单调递增，

（2）解：在有两个零点方程在有两个根，

在有两个根，

即函数与的图像在有两个交点．，

当时，，在递增

当时，，在递增

所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．

点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．