2021【KS5U解析】石嘴山三中高三上学期期中考试数学（文）试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】石嘴山三中高三上学期期中考试数学（文）试卷含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立，解方程组，即可求出与的交点个数，即中元素的个数.
【详解】联立，解得或.
即与相交于两点，，
故中有两个元素.
故选：C．
【点睛】本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2. 设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
条件 即为 且，根据充要条件的定义即可
【详解】条件 即为 且，故条件是条件的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．
【点睛】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】
利用四种命题之间的关系可判断A；利用充分条件，必要条件的定义可判断B；根据全称命题的否定变换形式可判断C；根据原命题与逆否命题的等价性可判断D.
【详解】A中，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A不正确；
B中，由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B不正确；
C中，“，”的否定是“，”，故C不正确；
D中，命题“若，则”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，
故选：D．
4. 设函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：先列出满足条件的不等式，，再求解集．
详解：复合函数的定义域满足且，即是，解得，故选B
点睛：在抽象函数中，若已知的定义域，那么复合函数的定义域指的是关于的解集．若已知复合函数的定义域，的值域为的定义域．
5. 设＜b,函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．
6. f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
因为对称轴，所以
选C.
7. 设，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把化为的形式，再根据幂函数的单调性，得到的大小关系．
【详解】由题意得：，，
在上是增函数且
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查利用幂函数的单调性比较大小问题.比较大小类问题常用的解决方法有构造函数统一的函数模型，利用函数单调性来进行比较.
8. 函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞1，b＜0
B. a＞1，b＞0
C 0＜a＜1，b＞0
D. 0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的单调性得到0＜a＜1，再根据函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，分析出的范围.
【详解】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，
所以b＜0.
故选：D.
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9. 设函数f(x)=若，则实数取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于的范围不确定，故应分和两种情况求解.
【详解】当时，，
由得，
所以，可得：，
当时，，
由得，
所以，即，即，
综上可知：或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对的范围讨论，分情况解，属于中档题.
10. 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（ ）
A. －B. －C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
写出图象变换后的解析式，根据对称性求出，然后由正弦函数性质求得最小值．
【详解】将函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后对应解析式为，它的图象关于原点对称，则，又，所以，所以，
当时，，所以．
故选：A．
【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查图象变换以及函数的对称性（奇偶性），掌握正弦函数的性质是解题关键．
11. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A. 9B. 10
C. 11D. 18
【答案】B
【解析】
【详解】零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图。
由图可得有个交点，
故有个零点,
故选B.
【点晴】本题考查函数的周期性、函数与方程、函数的零点，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 先利用转化化归思想将零点问题转化为函数与的交点问题，再作出两函数的图象，观察它们的图象的交点个数，就是函数的零点个数.
12. 的定义域为 ， ，对任意 ，则不等式 解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．
【详解】解：令g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）＝2，∴g（0）＝e0f（0）﹣e0﹣1＝2﹣1﹣1＝0，
故当x＞0时，g（x）＞g（0），即exf（x）﹣ex﹣1＞0，整理得exf（x）＞ex+1，
∴exf（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}．
故选A．
【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据的奇偶性和单调性，以及零点，画出的示意图，然后由，得到或，从而解出的范围，得到答案.
【详解】∵是上的偶函数，
∴的图象关于轴对称，
∴，
∵在上为增函数，
∴在上为减函数，
作出函数的大致图象如图所示.
由
得到或
∴或，
∴的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，根据函数的性质解不等式，解对数不等式，属于中档题.
14. 已知，则值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式可求，，从而可求三角函数式的值.
【详解】因为，
所以
.
所以
故答案为：.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，注意对已知的角和未知的角的关系进行分析，从而选择合适的诱导公式进行化简，本题属于基础题．
15. 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
16. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递增；
③在有4个零点；④的最大值为2；
其中所有正确结论的编号是_________.
【答案】①④
【解析】
【分析】
结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可．
【详解】解：∵，定义域为，
∴，
∴函数是偶函数，故①对；
当时，，
∴由正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故②错；
当时，由得，，
根据偶函数的图象和性质可得，在上有1个零点 ，
∴在有3个零点，故③错；
当时，，
根据奇偶性可得函数的图象如图，
∴当时，函数有最大值，故④对；
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知a为实数，函数．
（1）若，求，的值；
（2）求的解析式；
（3）若，求a的取值范围．
【答案】（1）0；2；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）把代入解析式，利用解析式特点赋值可得答案；
（2）令，则，代入解析式可得答案；
（3）由得，解不等式可得答案.
【详解】（1）若，则，
，．
（2）令，则，
，．
（3），，
或，或．
的取值范围为．
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得，再由，利用两角差的正弦公式即可求解.
（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解.
【详解】解：（1）
，
即，
因为，所以，
所以，
所以
．
（2）因为，所以，
又由（1）知，所以．
所以
．
19. 已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．
（1）求b的值；
（2）求函数的最值；
【答案】（1）1；（2）当时，没有最值；当时，的最大值为，无最小值．
【解析】
【分析】
（1）对求导，又，进而求出b的值．
（2）对进行讨论，利用导函数求函数的单调性，进一步求出最值.
【详解】（1）由题意，得，
又，．
（2）．
当时，，在R上单调递减，没有最值；
当时，令，得，
令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在处取得唯一的极大值，即为最大值，
且．
综上所述，当时，没有最值；
当时，的最大值为，无最小值．
【点睛】本题考查的是导函数的知识点，涉及到利用导函数求函数的最值，以及分类讨论的思想，属于常见的题型.
20. 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指标．该小组发现随时间t（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（且）．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；
（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
【答案】（1）；（2）上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．理由见解析；（3）分钟.
【解析】
【分析】
（1）由时对应的函数值为140，得的方程，解方程可得的值；
（2）先求时对应的函数值，再与140比较大小；
（3）实际上解不等式，分三段依次求解，最后将三段解集求并集.
【详解】（1）由题意得，当时，，
即，解得．
（2）因为，，
所以，
故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．
（3）①当时，由（1）知，，解得；
②当时，恒成立；
③当时，，
解得．综上所述，．
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持分钟．
【点睛】本题考查函数的应用，比较基础，第三问关键点是注意对t的分类讨论，最后合成并集.
21. 已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；
（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan(α＋).
【详解】（1）f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋cs 4x
＝(sin 4x＋cs 4x)＝sin(4x＋)，
∴f(x)的最小正周期T＝，
令，
得，
∴f(x)的单调递减区间为；
（2），，
∵α∈(0，π)，，
，故，
因此.
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.
22. 设函数f（x）＝ln x＋，k∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x－2＝0垂直，求f（x）的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
（2）若对任意的x1>x2>0，f(x1)－f(x2)【答案】（1）在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据导数几何意义以及两直线垂直关系可得k＝e，再根据导数得到函数的单调性和极值；
（2）转化为h（x）＝f（x）－x＝ln x＋－x(x>0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k≥－x2＋x＝恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案.
【详解】（1）由题意，得，
∵曲线y＝f（x）在点(e，f（e）)处的切线与直线x－2＝0垂直，
∴，即，解得k＝e，
∴，
由 <0，得00，得x>e，
∴f（x）在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
当x＝e时，f（x）取得极小值，且f（e）＝ln e＋＝2．
∴f（x）的极小值为2．
（2）由题意知，对任意的x1>x2>0，f(x1)－x1设h（x）＝f（x）－x＝ln x＋－x(x>0)，则h（x）在(0，＋∞)上单调递减，
∴≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即当x>0时，k≥－x2＋x＝恒成立，
∴k≥．故k的取值范围是．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.