2020-2021学年宁夏银川一中高二上学期期中考试 理科数学试题（Word版，含答案解析）

2020-2021学年宁夏银川一中高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知命题，，下列形式正确的是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．， D．，

【答案】B

【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.

【详解】否定量词，否定结论，即，使得.

故选：B.

【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

2．椭圆的焦点坐标为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在轴上，且，，

则，故焦点坐标为，故选B.

3．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（    ）

A．1 B．3 C．3或7 D．1或9

【答案】C

【解析】

由双曲线的定义得，,又因为，则. 3或7，故选C.

4．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】求出方程表示椭圆的充要条件是且,由此可得答案.

【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是,解得且,

所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选:B

【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉,本题属于基础题.

5．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列结论正确的是（    ）

A．；乙比甲成绩稳定

B．；甲比乙成绩稳定

C．；乙比甲成绩稳定

D．；甲比乙成绩稳定

【答案】A

【分析】根据公式求出甲、乙两人的平均分即可判别与的大小，通过观察茎叶图的离散程度可得乙成绩更稳定.

【详解】，

，

根据茎叶图的数据分布，

甲的数据大量集中在七十几，八十几和九十几各占一个，

乙的数据集中在八十几和九十几，所以乙比甲稳定.

故选：A.

6．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】事件A和B的交集为空：A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件，强调的是事件不能同时发生；它们必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，是互斥事件的特例，满足互斥的情况，还得满足A交B为全集；

【详解】有3个白球，4个黑球，从中任取3个球：

①是互斥事件，但不是对立事件；

②是互斥事件，同时也是对立事件；

③既不是互斥事件，也不是对立事件；

④既不是互斥事件，也不是对立事件；

故选：B

【点睛】本题考查了对立事件的概念，两个事件在时间上互斥同时还共同构成一个全集，属于简单题；

7．若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，

这个两位数大于40,则十位数字为4或5，共有.

概率为.

故选C.

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

8．在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”.    若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为

∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为

设“勾”为，“股”为，则，解得或.

∵

∴，即.

∴

∴小正方形的边长为

∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为.

故选D.

9．圆的半径为4，圆心为是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】数形结合利用垂直平分线的定义得到动点到定点、的距离之和为定值4（大于两定点间的距离，符合椭圆定义，从而得到椭圆方程．

【详解】解：如图，直线为线段的垂直平分线，

连接，由线段垂直平分线的性质得：，

而半径，且、两点为定点，

，

由椭圆定义得：点轨迹是以、两点为焦点的椭圆，且，，

，，，

椭圆方程为：，

故选．

【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线的垂直平分线的性质，是中档题，也是轨迹方程的常见题型．

10．已知为椭圆上的一个点，点M，N分别为圆和圆上的动点，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．10 D．13

【答案】B

【分析】先求椭圆焦点和定义定值，圆心、半径，利用圆的性质判定与焦点连线时最小，再计算即得结果.

【详解】依题意可知，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，根据定义，两圆半径为，

故椭圆上动点与焦点连线时与圆相交于M，N时， 最小，最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的性质和椭圆的定义，属于中档题.解题关键在于两圆圆心是椭圆的焦点，结合椭圆定义和圆的性质即解决最小距离问题.

11．双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，且，可得，再结合，可得，进而在△中，由余弦定理可得到齐次方程，求出即可.

【详解】由题意，可得，

因为，所以，

又，所以，

在△中，，即，

由余弦定理，可得，

整理得，则，即，解得，

因为，所以.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.双曲线离心率的求法：

（1）由条件直接求出（或或），或者寻找（或或）所满足的关系，利用求解；

（2）根据条件列出的齐次方程，利用转化为关于的方程，解方程即可，注意根据对所得解进行取舍.

12．椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为和，则的值为（    ）

A．6 B． C． D．3

【答案】D

【解析】

的内切圆面积为

，

由题意得：，，

又

故选

点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出的面积，易知的内切圆的半径长，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题．

二、填空题

13．双曲线的渐近线方程为__________.

【答案】

【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线的渐近线方程.

【详解】通过双曲线方程可知：双曲线的焦点在横轴上,,所以双曲线的渐近线方程为：.

故答案为

【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键.

14．某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽______人.

【答案】56

【分析】用样本容量乘以一线教师所占的比例，即为所求．

【详解】一线教师占的比例为，

故应抽取的一线教师人数为.

故答案为：56.

15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

90   79   66   19   19   25  27  19  32  81   24   58   56   96   83

43   12   57   39   30   27  55  64  88  73   01   13   13   79   89

，这三天中恰有两天下雨的概率约为______.

【答案】

【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．

【详解】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393、137．

共6组随机数，

所求概率为．

故答案为：．

【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．

16．已知焦点在x轴上的椭圆的左、右焦点分别为、，直线l过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3：1，则椭圆C的离心率为______________.

【答案】

【分析】设，，，，根据椭圆的定义可得，进而得出为等腰直角三角形，从而求得离心率.

【详解】

，不妨设，，

由点作轴，同时也过点向轴引垂线，

，且

，

设，，

由，

，，

所以，

所以，为等腰三角形，

，，

，为直角三角形，

，为等腰直角三角形，

，

,

即.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知，设p：，q：.

（1）若p是的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）解不等式，可得命题p所对应的集合，解不等式，可得命题q所对应的集合，由p是的必要不充分条件，可得，且p推不出，从而可得，进而建立不等关系，可求出实数a的取值范围；

（2）由p是q的充分不必要条件，可得，且q推不出p，从而可得，进而建立不等关系，可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）因为，且，

所以，记集合，

又因为，所以或，

记集合或，则，

因为p是的必要不充分条件，所以，且p推不出，

所以，即，

所以，即.

故实数a的取值范围是.

（2）因为p是q的充分不必要条件，则有，且q推不出p，

所以，即或，

所以，即.

故实数a的取值范围是.

18．如图，点分别是椭圆的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B．

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若的周长为，求椭圆C的标准方程．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）通过求解直角三角形，得到，，结合椭圆定义即可求得离心率；

（2）通过椭圆定义，结合三角形的周长，求出，再利用离心率和，即可得解.

【详解】（1）中，，，

，即，解得，

，即，解得，

由椭圆的定义，得，即，

离心率；

（2）的周长，

，

，，，

椭圆C的标准方程为.

【点睛】本题主要考查椭圆的离心率和标准方程的求解，其中涉及到椭圆的定义，考查了学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.

19．某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；

（2）若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率.

【答案】（1），中位数为；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，由求得a，然后利用中位数公式求解.

（2）先分别得到打分区间在和打分区间在的同学的人数，然后利用古典概型的概率公式求解.

【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，

所以，

解得，

所以中位数为；

（2）打分区间在的同学共有人，分别记为，

打分区间在的同学共有人，分别记为，

从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：

，，，，；，，，；，，；，；

其中，至少有一位同学来自打分区间共有14种情况：

，，，；，，，；，，；，；

所以至少有一位同学来自打分区间的概率为.

【点睛】方法点睛：利用频率分布直方图：

求概率根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1求解；

求中位数根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和的对应点求解；

求平均数根据频率分布直方图中各矩形横坐标中点与其概率之积的和求解；

20．某市2月份到8月份温度在逐渐上升，为此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况.

（1）根据表中的数据，求关于的线性回归方程.

（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为2.5元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨.预计该家庭8月份的用水量及水费.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）；（2）9.2吨， 24.1元.

【分析】（1）根据最小二乘法公式，计算可的结果；

（2）根据回归直线方程预测该家庭8月份的用水量，再根据题意计算出水费.

【详解】（1），，

，.

∴，

.

∴关于的线性回归方程为；

（2）当时，吨，

水费为元.

∴预计该家庭8月份的用水量为9.2吨，水费为24.1元.

【点睛】本题考查了根据最小二乘法求回归直线方程，考查了根据回归直线方程对总体进行预测，属于基础题.

21．如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．

（1）求的方程；

（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出后可得的方程.

（2）设直线的方程，设，，用此两点的坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理可证为定值.也可以设，求出的方程后再求出后可证为定值.

【详解】（1）解：由题意知，

由于，解得，，故的方程为．

（2）证明：由(1)得，，直线的斜率为．

（方法一）因为，故可设的方程为．

设，，

联立消去，得，

所以，从而．

直线的斜率，直线的斜率，

所以

．故为定值．

（方法二）设，．

因为，所以的方程为，

联立消去，得，

解得（舍去）或，

所以点的坐标为，

则，即为定值．

【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

22．已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）直线l：与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先根据题意得到，再根据椭圆经过点，即可得到答案.

（2）首先设直线l的方程为，联立，得到，根据得到所以直线恒过点，再计算面积的最大值即可.

【详解】（1）设椭圆的上下顶点为，，左焦点为，

则是正三角形，所以，

则椭圆方程为.

将代入椭圆方程，可得，

解得，，故椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线l的方程为，联立，

消去x得.

设，，

则有，，

因为以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，

由，，则，

将，代入上式，

并整理得，

则，

化简得，解得或，

因为直线不过点，

所以，故.所以直线恒过点.

故

，

设，

则在上单调递增，

当时，，

所以面积的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，，然后利用得到直线恒过点为解题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．