上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷

这是一份上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．（3分）集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，则m＝　 　．
2．（3分）已知a，b为正数，化简＝　 　．
3．（3分）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为 　 　．
4．（3分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则b的值为 　 　．
5．（3分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x||x﹣1|≤2}，则A∪B＝　 　．
6．（3分）已知log2（log3（log4x））＝0，log4（log2（log3y））＝0，log3（log4（log2z））＝0，则x+y+z的值为 　 　．
7．（3分）若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是　 　．
8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣k|+|x﹣2k|（k＞0），若当3≤x≤4时，f（x）能取到最小值，则实数k的取值范围是　 　．
9．（3分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么这杯咖啡要从40℃降到30℃，大约还需时间 　 　（min）．（精确到1min）
10．（3分）已知函数，若f[f（a）]＝5，则实数a的值为 　 　．
11．（3分）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是 　 　．
12．（3分）已知正实数a，b，满足a+b＝6，则的最大值为 　 　．
二、选择题
13．（3分）已知x∈R，则“（x﹣2）（x﹣3）≤0成立”是“|x﹣2|+|x﹣3|＝1成立”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
14．（3分）已知P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}，Q＝{（x，y）|2x•2y＝2x+y，x∈R，y∈R}，S＝，则下列关于集合P，Q，S关系的表述正确的是（　　）
A．P＝Q B．Q＝S C．Q⊂P D．P⊂S
15．（3分）在同一坐标系中，函数y＝ax2+bx与函数y＝bx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
16．（3分）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（　　）
（1）若0＜a＜b＜1，则aa＜bb；
（2）若0＜a＜b＜1，则logab＜logba；
（3）若a＞b＞1，则ab＜ba．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
三、解答题
17．已知函数．
（1）作出函数y＝f（x）的图像；
（2）求方程f（x）＝x+1的解集．

18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．
19．已知不等式（1+k2）x≤k4+k2+6，其中x，k∈R．
（1）若x＝4，解上述关于k的不等式；
（2）若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
20．已知a≠0，函数f（x）＝log2．
（1）若a＝3，求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a＞0，求证：函数y＝f（x）的图像关于点P（2，log2a）成中心对称；
（3）若方程f（x）﹣log2（a+x﹣2）＝0的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
21．设函数f（x）＝ax2+8x+3（a＜0）．
（1）设y＝f（x）与坐标轴交于A、B、C三点，且△ABC为直角三角形，求a的值；
（2）解不等式|f（x）|≤3；
（3）对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，求l（a）的最大值及相应a的值．

2021-2022学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．【分析】根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，
∴m2＝4，解得m＝±2．
故答案为：±2．
2．【分析】利用有理数指数幂的性质求解．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：．
3．【分析】利用待定系数法求解．
【解答】解：设指数函数的解析式为f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
∴，
解得a＝，
∴f（x）＝，
故答案为：f（x）＝．
4．【分析】根据题意，可得方程ax2+bx+2＝0的两个根为﹣2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值．
【解答】解：根据不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，
可得方程ax2+bx+2＝0的两个根为﹣2和3，
则，解得，
故答案为：．
5．【分析】利用并集的定义直接求解．
【解答】解：A＝（﹣2，1]，B＝[﹣1，3]，
则A∪B＝（﹣2，3]．
故答案为：（﹣2，3]．
6．【分析】根据指数，对数的运算性质分别求出x，y，z的值，求和即可．
【解答】解：∵log2（log3（log4x））＝0，
∴log3（log4x）＝1，log4x＝3，
∴x＝43＝64，
∵log4（log2（log3y））＝0，
∴log2（log3y）＝1，log3y＝2，
∴y＝9，
∵log3（log4（log2z））＝0，
∴log4（log2z）＝1，log2z＝4，
∴z＝16，
∴x+y+z＝89，
故答案为：89．
7．【分析】不等式转化为x²＞x﹣3，且x≠0，讨论x＞0和x＜0时的解集即可求得答案．
【解答】解：由f（x）＞0得到＞x﹣1，且x≠0，即x²＞x﹣3，
当x＞0时，不等式化为x5＞1，解得x＞1，
当x＜0时，不等式化为x5＜1，解得x＜0，
综上：x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
8．【分析】由绝对值的意义可得当k≤x≤2k时，函数取得最小值为k．而已知当3≤x≤4时，f（x）能取到最小值，可得[3，4]和[k，2k]的交集非空，即k≤3≤2k，或 k≤4≤2k，由此求得k的范围．
【解答】解：根据绝对值的意义，函数f（x）＝|x﹣k|+|x﹣2k|（k＞0）表示数轴上的x对应点到k、2k对应点的距离之和，
故当k≤x≤2k时，函数取得最小值为k．
而已知当3≤x≤4时，f（x）能取到最小值，故有[3，4]和[k，2k]有交集，
∴k≤3≤2k，或 k≤4≤2k，即 ≤k≤3，或2≤k≤4，求得≤k≤4，
故答案为：[，4]．
9．【分析】由已知条件可求出h的值，再代入数据，即可求出结果．
【解答】解：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，
则40﹣24＝（88﹣24）×，解得h＝10，
当咖啡要从40℃降到30℃时，30﹣24＝（40﹣24）×，
解得t＝10＝10（log28﹣log23）＝10（3﹣）≈28，
即大约还需时间28分钟，
故答案为：28．
10．【分析】当a≤1时，f（a）＝23﹣a，当f（a）＝23﹣a≤1时，f[f（a）]＝f（23﹣a）＝＝5，当f（a）＝23﹣a＞1时，f[f（a）]＝f（23﹣a）＝4﹣）＝5，当a＞1时，f（a）＝4﹣log2a，当f（a）＝4﹣log2a≤1时，f[f（a）]＝f（4﹣log2a）＝＝÷2＝＝5，当f（a）＝4﹣log2a＞1时，4﹣log2（4﹣log2a）＝5，由此能求出实数a的值．
【解答】解：函数，f[f（a）]＝5，
当a≤1时，f（a）＝23﹣a，
当f（a）＝23﹣a≤1时，f[f（a）]＝f（23﹣a）＝＝5，无解；
当f（a）＝23﹣a＞1时，f[f（a）]＝f（23﹣a）＝4﹣）＝5，解得a＝4，不成立；
当a＞1时，f（a）＝4﹣log2a，
当f（a）＝4﹣log2a≤1时，f[f（a）]＝f（4﹣log2a）＝＝÷2＝＝5，解得a＝10，
当f（a）＝4﹣log2a＞1时，4﹣log2（4﹣log2a）＝5，无解．
综上，实数a的值为10．
故答案为：10．
11．【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴＞0，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴＜0，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是（﹣，1]．
故答案为：（﹣，1]．
12．【分析】由已知进行分离，然后进行换元，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：因为正实数a，b，满足a+b＝6，
则＝＝＝＝，
因为a+b＝6，a＞0，b＞0，
所以0＜ab≤（）2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，
令t＝ab﹣1，﹣1＜t≤8，
则原式＝
＝＝＝，
当且仅当t+2＝，即t＝2﹣2时取等号，此时取得最大值，
故答案为：，
二、选择题
13．【分析】先证充分性，由（x﹣2）（x﹣3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x﹣2|+|x﹣3|即可，再证必要性，若|x﹣2|+|x﹣3|＝1，即|x﹣2|+|x﹣3|＝|（x﹣2）﹣（x﹣3）|，再根据绝对值的性质可知（x﹣2）（x﹣3）≤0．
【解答】解：充分性：若（x﹣2）（x﹣3）≤0，则2≤x≤3，
∴|x﹣2|+|x﹣3|＝x﹣2+3﹣x＝1，
必要性：若|x﹣2|+|x﹣3|＝1，又∵|（x﹣2）﹣（x﹣3）|＝1，
∴|x﹣2|+|x﹣3|＝|（x﹣2）﹣（x﹣3）|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|＝|a﹣b|，
∴（x﹣2）（x﹣3）≤0，
所以“（x﹣2）（x﹣3）≤0成立”是“|x﹣2|+|x﹣3|＝1成立”的充要条件，
故选：C．
14．【分析】分别求出集合P，Q，S中的元素满足的条件，进而得出结论．
【解答】解：∵P＝{（x，y）|lg（xy）＝lgx+lgy，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x＞0，y＞0}，
Q＝{（x，y）|2x•2y＝2x+y，x∈R，y∈R}＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，
S＝＝{（x，y）|x≥0，y≥0}，
∴P⊂S⊂Q，
故选：D．
15．【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y＝bx的是指数函数，b＞0且b≠1，排除选项C，
如果a＞0，二次函数的开口方向向上，二次函数的经过原点，并且有一个零点：﹣，
所以B正确；
如果a＜0，二次函数有一个零点，所以D不正确．
故选：B．
16．【分析】根据待比较式的特征构造函数，利用函数的单调性及不等式的性质进行比较．
【解答】解：（1）设函数f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，
所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（，+∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增．
因为0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b），
即alna＝blnb，此时aa＝bb，故（1）错误．
（2）因为0＜a＜b＜1，所以logaa＞logab，logba＞logbb，
所以logab＜1＜logba，故（2）正确，
（3）举例说明：当a＝3，b＝2时，
ab＝32＝9，ba＝23＝8，
ab＞ba，故（3）错误，
故选：C．
三、解答题
17．【分析】（1）利用图象变换作出函数的图象即可；
（2）化简方程f（x）＝x+1为＝x+1，再讨论去绝对值号，并解方程即可．
【解答】解：（1）作函数的图象如下，

（2）方程f（x）＝x+1可化为＝x+1，
即＝x+1＞0或＝x+1＞0，
解得，x1＝，x2＝或x3＝，
故所求方程的解集为{，，}．
18．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）＝1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20＜x≤200时，设v（x）＝ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x＝200﹣x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x＝100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
19．【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得，（k2﹣2）（k2﹣1）≥0，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）利用换元法，令t＝1+k2≥1，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）若x＝4，则不等式（1+k2）x≤k4+k2+6变形为k4﹣3k2+2≥0，
即（k2﹣2）（k2﹣1）≥0，
解得k2≤1或k2≥2，
所以﹣1≤k≤1或或，
故不等式的解集为{x|﹣1≤k≤1或或}；
（2）令t＝1+k2≥1，
则不等式（1+k2）x≤k4+k2+6对任意k∈R恒成立，
等价于对任意t≥1恒成立，
因为，
当且仅当，即t＝时取等号，
所以x≤，
故x的最大值为．
20．【分析】（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可；
（2）任取x∈（﹣2，2），化简计算f（2﹣x）+f（2+x）＝2log2a，即可证明结论；
（3）将方程进行变形，得到x2+（2a﹣6）x﹣2（2a﹣4）＝0，求出两个根，分三种情况求解即可．
【解答】（1）解：当a＝3时，不等式f（x）＜1，即，
所以，解得，
故不等式的解集为；
（2）证明：因为a＞0，则函数f（x）的定义域为（0，4），
任取x∈（﹣2，2），
则f（2﹣x）+f（2+x）＝＝2log2a，
所以函数y＝f（x）的图像关于点P（2，log2a）成中心对称；
（3）解：由，可得x2+（2a﹣6）x﹣2（2a﹣4）＝0，
解得x1＝2，x2＝4﹣2a，
若x1＝x2，则a＝1，检验定义域，符合题意；
若x1＝2是原方程的解，则a+x1﹣2＞0，a＞0；
若x2＝4﹣2a是原方程的解，则a﹣2+4﹣2a＞0，即a＜2．
因为方程f（x）﹣log2（a+x﹣2）＝0的解集恰有一个元素，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪[2，+∞）∪{1}．
21．【分析】（1）设出y＝f（x）与坐标轴的交点坐标，根据直角三角形的射影定理列方程求出a的值；
（2）不等式等价于﹣3≤ax2+8x+3≤3，解不等式ax2+8x+3≤3和不等式﹣3≤ax2+8x+3，从而求出不等式|f（x）|≤3的解集；
（3）根据二次函数f（x）的图象与性质，讨论a的取值范围，从而求出l（a）的最大值以及对应a的值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax2+8x+3（a＜0），
设y＝f（x）与坐标轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，3），
则x1x2＝＜0，
若△ABC为直角三角形，则|OC|2＝|OA|•|OB|，
如图所示：

所以9＝﹣，
解得a＝﹣；
（2）不等式|f（x）|≤3为|ax2+8x+3|≤3，等价于﹣3≤ax2+8x+3≤3，
因为a＜0，所以解不等式ax2+8x+3≤3，得x≥0或x≥﹣；
解不等式﹣3≤ax2+8x+3，得≤x≤；
又因为＜0＜﹣＜，
所以不等式|f（x）|≤3的解集为[，0]∪[﹣，]；
（3）因为函数f（x）＝ax2+8x+3＝a+3﹣，
①当3﹣＞5，即﹣8＜a＜0时，l（a）是方程ax2+8x+3＝5的较小的根，
所以l（a）＝＝＜；
②当3﹣≤5，即a≤﹣8时，l（a）是方程ax2+8x+3＝﹣5的较大的根，
所以l（a）＝＝≤；
综上知，当a＝﹣8时，l（a）取得最大值为．