上海师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中考数学试卷

2021-2022学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．（4分）（1+x）10的展开式中，x2的系数是 　   　．

2．（4分）甲、乙、丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，若对这三人进行一次100米跑检测，则三人都合格的概率是 　   　（结果用最简分数表示）．

3．（4分）在空间一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条直线的位置关系是 　   　．

4．（4分）已知一个样本1、3、4、a、7，它的平均值是4，则这个样本的方差是 　   　．

5．（4分）袋中装有标号为1、2、3、4的四只球，四人从中各取一只球，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为 　   　．

6．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，则直线MN与D1C的位置关系是 　   　．

7．（5分）某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是 　   　．

①甲比乙的极差大；

②乙的中位数是18；

③甲的平均数比乙的大；

④乙的众数是21．

8．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 　   　．

9．（5分）﹣+﹣+﹣+﹣+﹣＝　   　．

10．（5分）如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC中点，则点B到平面APD的距离是 　   　．

11．（5分）在的展开式中，有理项的项数为 　   　项．

12．（5分）设，则|ar|（0≤r≤2021，r∈N）的最小值是 　   　．

二、选择题（本大题共有4题，满分16分）

13．（4分）若a、b、c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．若a∥b∥c，则a、b、c共面 

B．若a、b、c过同一点，则a、b、c共面 

C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b 

D．若a∥b，a⊥c，则b⊥c

14．（4分）从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（　　）

A． B． 

C． D．

15．（4分）从总体中随机抽取的样本为﹣1、3、﹣1、1、1、3、2、2、0、0，则该总体标准差的估计值是（　　）

A．2 B． C． D．

16．（4分）设n是偶数，n∈N，a、b分别表示（x+i）2n+1的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（　　）

A．a＝b B．a＝b+1 C．a＝b﹣1 D．a＝b+2

三、解答题（本大题共有5题，满分65分）

17．（15分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．

18．（15分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人在该市的两天中有空气重度污染的概率；

（2）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（3）求这14天空气质量指数的第70百分位数．

19．（15分）求（2x﹣3）21的展开式中：

（1）各项系数之和；

（2）各项系数的绝对值之和；

（3）系数最小的项．

20．（20分）某品牌设计了编号依次为1、2、3、…、n（n≥4，n∈N）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别从中随机选择i、j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．

（1）若n＝10，i＝j＝2，求甲在1到5号且乙在6到10号选择时装的概率；

（2）若i＝j＝2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在m+1号到n号中选择．记Pst（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求Pst；

（3）求至少有一种款式为甲和乙共同选择的概率．

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．解：∵（1+x）10的展开式中，通项公式为 Tr+1＝•xr，

令r＝2，可得展开式中x2的系数是＝45，

故答案为：45．

2．解：甲、乙、丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，

对这三人进行一次100米跑检测，则三人都合格的概率是：

P＝＝．

故答案为：．

3．解：在空间一条直线与两条平行线中的一条垂直，

所以由直线与直线平行的性质、直线与直线垂直的判定定理得：

它与另一条直线的位置关系是垂直．

故答案为：垂直．

4．解：一个样本1、3、4、a、7，它的平均值是4，

∴（1+3+4+a+7）＝4，

解得a＝5，

∴这个样本的方差为：

S2＝[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣5）2]＝4．

故答案为：4．

5．解：若甲取2号，则另外三人的取球情况如下：乙3丙4丁1，乙4丙1丁3，乙1丙4丁3，共3种，

因为甲取3号，4号球的情况与取2号球的情况完全等价，

所以符合题意的情况共有9种，

而四人从中各取一只球的总方法数为4×3×2＝24种，

所以所求事件的概率为＝．

故答案为：．

6．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BC，CC1的中点，

∵MN∩平面DCC1D1＝N，D1C⊂平面DCC1D1，N∉D1C，

∴直线MN与D1C的位置关系是异面．

故答案为：异面．

7．解：对于①，甲的极差为37﹣8＝29，乙的极差为23﹣9＝14，

∴甲比乙的极差大，故①正确；

对于②，乙的中位数是＝18.5，故②错误；

对于③，甲的平均数为：

（8+12+13+20+22+24+25+26+27+37）＝21.4，

乙的平均数为：

（9+11+13+14+18+19+20+21+21+23）＝16.9，

∴甲的平均数比乙的大，故③正确；

对于④，乙的众数是21，故④正确．

故答案为：①③④．

8．解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，共有＝120种不同的取法，

若这七个数的中位数是5，则应从5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，

共有＝40种不同的方法，

故这七个数的中位数是5的概率P＝＝．

故答案为：．

9．解：2C90﹣C91+2C92﹣C93+2C94﹣C95+2C96﹣C97+2C98﹣C99

＝2（C90+C92+C94+C98）﹣（C91+C93+C95+C97+C99）

＝2×28﹣28

＝256．

故答案为：256．

10．解：因为AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP，所以Rt△APC≌Rt△APB，

所以PB＝PC，AB＝AC，

又D是BC中点，所以BC⊥PD，BC⊥AD，

PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，

所以BC⊥平面APD，BD的长就是点B到平面APD的距离，

由已知，，

故答案为：．

11．解：在的展开式中，

Tr+1＝•＝•22022﹣r•3r•＝•22022﹣r（0≤r≤2022，r∈N），

当r＝0，6，12，18，.......，2022时，为整数，Tr+1为有理项，

∵0，6，12，18，.......，2022是以0为首项，6为公差的等差数列，

由2022＝0+6（n﹣1）得n＝338，

故答案为：338．

12．解：由二项式的展开式的通项公式可得﹣＝，

∴|ar|＝|22r﹣2021﹣32r﹣2021|，

当r＜时，|ar|＝（22r﹣2021﹣32r﹣2021），

记br＝22r﹣2021﹣32r﹣2021，∵0＜br＜1，且单调递增，

所以|ar|的最小值是为|a0|＝2﹣2021﹣3﹣2021，

当r＞时，|ar|＝（32r﹣2021﹣22r﹣2021）≥≥＞|a0|，

∴|ar|（0≤r≤2021，r∈N）的最小值是2﹣2021﹣3﹣2021，

故答案为：2﹣2021﹣3﹣2021．

二、选择题（本大题共有4题，满分16分）

13．解：a、b、c是空间三条不同的直线，

对于A，若a∥b∥c，则a、b、c不一定共面，故A错误；

对于B，若a、b、c过同一点，则a、b、c不一定共面，故B错误；

对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若a∥b，a⊥c，则b⊥c，故D正确．

故选：D．

14．解：根据题意，从12个人中选取6个，有C126种选取方法；

按性别分层抽样，需要男生2人，女生4人，有C84•C42种选取方法；

则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为；

故选：A．

15．解：从总体中随机抽取的样本为﹣1、3、﹣1、1、1、3、2、2、0、0，

样本平均数为＝（﹣1+3﹣1+1+1+3+2+2+0+0）＝1，

样本方差为S2＝[（﹣1﹣1）2+（3﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（2﹣1）2+（2﹣1）2+（0﹣1）2+（0﹣1）2]＝2，

∴样本标准差为S＝，

∴该总体标准差的估计值是．

故选：C．

16．解：∵n是偶数，设n＝2k（k∈Z），

∴（x+i）2n+1的展开式共有2n+2＝4k+2项，

又（x+i）2n+1的展开式的通项公式为Tr+1＝•x2n+1﹣r•（i）r，

∴（x+i）2n+1的展开式中系数大于0的项是r＝0，4，8，....4k；

展开式中系数小于0的项是r＝2，6，10，.....，4k+2；

∵a、b分别表示（x+i）2n+1的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，

当k＝1时，r＝0，4，a＝2；r＝2，b＝1，此时a＝b+1；

故选：B．

三、解答题（本大题共有5题，满分65分）

17．解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16，

∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．

∴＝50，y＝＝，

∴x＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03．

（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，

∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，

[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，

∴中位数为：＝71，

平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．

18．解：（1）根据题意，事件“此人在该市的两天中有空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，

所以此人在该市的两天中有空气重度污染的概率为；

（2）由图可知，从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，最不稳定，

所以从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大；

（3）从小到大排列空气质量指数为：

25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，

因为14×70%＝9.8，

所以这14天空气质量指数的第70百分位数为158．

19．解：（1）在（2x﹣3）21的展开式中，令x＝1，可得展开式中各项系数之和为﹣1；

（2）在（2x﹣3）21的展开式中，令x＝﹣1，再取绝对值，可得展开式中各项系数的绝对值之和为521；

（3）通项Tk+1＝C（2x）21﹣k（﹣3）k＝C221﹣k（﹣3）kx21﹣k，系数的绝对值为C221﹣k3k，

设第k+1项的系数绝对值最大，则，

解得，所以k＝13，即系数绝对值最大为C28313，

因为13为奇数，所以C28（﹣3）13＝﹣C28313，

即第14项的系数最小，所以系数最小的项为﹣C28313x8．

20．解：（1）当n＝10，i＝j＝2时，

甲在1到5号中任选两款，且乙在6到10号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为：，

所以甲在1到5号且乙在6到10号选择时装的概率P＝＝；

（2）甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中任选两款，

且乙在m+1号到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为：，

为款式（编号）s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同时被选中为事件B，

则事件B包含的基本事件的种数为：，

所以P（B）＝Pst＝＝；

（3）甲从n种不同的时装中任选时装的所有可能种数为：+++⋯+＝2n，

同理，乙从n种不同的时装中任选时装的所有可能种数为：2n，

根据分步乘法原理得，所有等可能基本事件的种数为：2n×2n＝4n，

记“至少有一款为甲和乙共同认可”为事件A，

则事件A的对立事件为“没有一个款式为甲和乙共同认可”，

而事件包含的基本事件种数为：

（+++⋯+）+（+++⋯+）+⋯+（+）+

＝•2n+•2n﹣1+•2n﹣2+⋯+•21+•20＝3n，

所以P（）＝＝，故P（A）＝1﹣．