2021-2022学年上海大学市北附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海大学市北附属中学高一上学期期中数学试题

一、填空题

1．用列举法表示方程的解组成的集合___________

【答案】##

【分析】解出二次方程，用集合表示即可.

【详解】,

则或

故用列举法表示方程的解组成的集合为

故答案为：

2．已知，，则，，由小到大依次排列是__．

【答案】

【分析】利用不等式的性质比较大小.

【详解】因为，，所以，，，

故答案为：．

3．函数的定义域是__（用区间表示）

【答案】．

【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可得到结论.

【详解】要使原函数有意义，则，解得且．

所以函数的定义域是．

故答案为：.

4．用反证法证明命题“如果两个实数的和与积都为正数，那么这两个数都为正数”时，第一步应假设：__．

【答案】这两个数不都为正数．

【分析】根据反证法的定义写出假设.

【详解】根据反证法的定义，假设命题结论的反面成立，即这两个数不都为正数.

故答案为：这两个数不都为正数

5．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x－k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是______________．

【答案】

【详解】由题意，因为，所以.

6．已知全集，，则__．

【答案】

【分析】解分式不等式求得集合，再求得.

【详解】由，得，所以，解得或，

则．

故答案为：

7．化简（其中__．

【答案】##

【分析】根据指数的运算法则计算可得.

【详解】原式．

故答案为：.

8．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少，至少需要__块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下．

【答案】

【分析】根据题意建立指数不等式，两边取对数解的范围.

【详解】设光线未通过玻璃时的强度为，至少需要块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下，

则，即，

所以两边取对数，得，

解得，

由且，得．

故答案为：.

9．已知，则的最小值为__．

【答案】6

【分析】由化简可得，进而根据基本不等式即可求解.

【详解】因为，则，

当且仅当，即时取等号，则的最小值为6．

故答案为：6.

10．已知，设表示不大于的最大整数，如，，，则使成立的的取值范围是__．

【答案】或．

【分析】由得或，根据的定义可得结果.

【详解】因为，所以或．

若，则，即．

若，则，即．

所以使成立的的取值范围是或．

故答案为：或.

二、单选题

11．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】根据同一函数需要函数的定义域，值域，对应关系都相同可判断.

【详解】．的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

．与的解析式不同，不是同一函数；

．的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，是同一函数；

．和的解析式不同，不是同一函数．

故选：．

12．“”是“”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】先求得的解集，再根据充分必要条件的概念来得出正确选项.

【详解】由，得，解得.包含，故应选必要不充分条件.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充要条件的判断，属于基础题.充要条件的判断方法是将两个条件进行互推，然后根据能否推出来得出结论.另一种方法是根据两者之间的包含关系来得出：大范围是小范围的必要不充分条件，小范围是大范围的充分不必要条件.

13．给出下列命题中，真命题的个数为（    ）

①已知，则成立；

②已知且，则成立；

③已知，则的最小值为2；

④已知，，则成立．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.

【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错；

因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；

（当时，无解，等号不成立），故③错；

因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．

故选: B．

三、解答题

14．已知，且，且，求的值．

【答案】

【分析】根据对数的运算性质化简即可求得.

【详解】因为，且，且，

所以①，②，

联立得，所以，所以．

故答案为：

15．已知关于的不等式．

(1)若，，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为，求，的值．

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）直接将代入解不等式即可；

（2）根据二次不等式的解集和对应二次方程的根的关系，利用韦达定理来求解.

【详解】（1）当，时，原不等式为

即，解得，

所以不等式的解集为；

（2）若不等式的解集为，则，是方程的根，

所以，解得，.

16．国家为了加强对酒类生产的管理，现对酒类销售加征附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年销售100万瓶．若征收附加税，规定税率为（即每销售100元要征附加税元），则每年的产销量将减少万瓶．如果要保证每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么附加税税率应定在什么范围？

【答案】附加税税率应定在范围．

【分析】设销量为每年万瓶，建立销售收入和附加税之间的关系，即可求出附加税税率的范围

【详解】设销量为每年万瓶，则销售收入为每年万元，

从中征收的税金为万元，，则销量变为，

因为要保证每年在此项经营中所收取的附加税额少于112万元，

所以，解得，

故附加税税率应定在范围．

17．已知命题：函数且满足，命题：集合，且．

(1)分别求命题、为真命题时的实数的取值范围；

(2)若命题、中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围；

(3)设、皆为真命题时的取值范围为集合，已知，若在全集中的补集，求的取值范围．

【答案】(1)真，；真，

(2)

(3)．

【分析】（1）对于命题，可直接解绝对值不等式解答；对于命题，分，讨论，特别是时，利用二次函数的图像和性质来列不等式解答；

（2）直接分真假和假真来解答；

（3）先根据（1）求出集合，再求出中元素范围，进而根据集合间的包含关系列不等式求解.

【详解】（1）命题：函数且满足，即

故，整理得；

命题：，且，

当时，△，即；

当时，，解得；

综合得；

（2）命题、中有且仅有一个为真命题，

当真假时，，整理得；

当假真时，，整理得；

故．

（3）、皆为真命题时，，整理得，即

已知，故或，

故，由于，所以，解得，

故．