还剩14页未读，
继续阅读
上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷
展开
这是一份上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中数学试卷
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则实数a＝ ．
2．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则f'（2）＝ ．
3．（4分）函数f（x）＝的定义域为 ．
4．（4分）已知复数z（1+i）＝2，则z＝ ．
5．（4分）已知α∈（0，π），且cosα＝﹣，则tanα＝ ．
6．（4分）已知等差数列{an}满足：a1+a3＝6，a2+a4＝10，则an＝ ．
7．（5分）已知向量，，若向量∥，则实数m＝ ．
8．（5分）已知y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2的值恒小于3，则实数m的取值范围是 ．
9．（5分）某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 小时后才能开车．（精确到1小时）
10．（5分）给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是 ．
11．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 ．
12．（5分）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
二、选择题。（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
14．（5分）要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只要将y＝2sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
15．（5分）设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果z1﹣z2＞0，那么z1＞z2
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果，那么|z1|＞|z2|
D．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
16．（5分）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题。（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，（x＞0）．点P（1，f（1））是函数f（x）图象上一点．
（1）求过点P作函数f（x）图像的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的单调递减区间．
18．（15分）已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）＝•．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）＝，且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．
19．（15分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
20．（15分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）设a∈R，求关于x的函数y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的最小值g（a）的表达式；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
21．（16分）定义：{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＞an（an+k＜an）则称{an}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{an}的间隔数．
（1）若，{an}是不是近似递增数列，并说明理由；
（2）已知数列{an}的通项公式为，其前n项的和为Sn，若2是近似递增数列{Sn}的间隔数，求a的取值范围；
（3）已知，证明{an}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．
上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则实数a＝ 3 ．
【分析】利用子集的定义和性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，A⊆B，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．
2．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则f'（2）＝ 10 ．
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x+1，
∴f′（x）＝3x2﹣2，
∴f'（2）＝12﹣2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3．（4分）函数f（x）＝的定义域为 （﹣∞，0）∪[1，+∞） ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解分式不等式得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解得：x＜0或x≥1．
∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．
4．（4分）已知复数z（1+i）＝2，则z＝ 1﹣i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z＝2，得，
故答案为：1﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5．（4分）已知α∈（0，π），且cosα＝﹣，则tanα＝ ．
【分析】根据同角三角函数关系式即可求解．
【解答】解：∵α∈（0，π），cosα＝﹣＜0，
α∈（，π），
∴sinα＝．
则tanα＝＝．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
6．（4分）已知等差数列{an}满足：a1+a3＝6，a2+a4＝10，则an＝ 2n﹣1 ．
【分析】由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列{an}满足a1+a3＝6，a2+a4＝10，
所以，解得a1＝1，d＝2，
则an＝a1+（n﹣1）d＝1+2×（n﹣1）＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
7．（5分）已知向量，，若向量∥，则实数m＝ ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值．
【解答】解：向量，，
则﹣2＝（1﹣2m，8），
又∥，
则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．
8．（5分）已知y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2的值恒小于3，则实数m的取值范围是 （﹣3，1] ．
【分析】y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2＜3恒成立，然后对m﹣1是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：由题意得y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2＜3恒成立，
当m＝1时，2＜3符合题意，
当m≠1时，（m﹣1）x2+（1﹣m）x﹣1＜0恒成立，
解得﹣3＜m＜1，
综上，m的取值范围为（﹣3，1]．
故答案为：（﹣3，1]．
【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题，属于基础题．
9．（5分）某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车．（精确到1小时）
【分析】欲求出此驾驶员至少要过多少小时后才能开车，只须求出经过多少时间驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，利用所给函数解析式，只须解使得f（x）≤0.02的x的最小值即可．
【解答】解：本题需分情况讨论：
（1）当0≤x≤1时，5x﹣2≤0.02，即x﹣2≤log50.02，x≤2+log50.02∉[0，1]（舍）．
（2）当x＞1时，，即31﹣x≤0.1，1﹣x≤log30.1，x≥1﹣log30.1，即x≥4．
即此驾驶员至少要过 4小时后才能开车．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，不等式的解法，还考查了分类讨论的思想，属于基础题．
10．（5分）给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是 [1，2] ．
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案
【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°
可得A（1，0），B（﹣，），
由若＝x（1，0）+y（﹣，）得，
x﹣y＝cosθ，y＝sinθ，
∴y＝sinθ，
∴x+y＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+30°），
∵0≤θ≤120°，
∴30°≤θ+30°≤150°，
∴1≤2sin（θ+30°）≤2
∴x+y的范围为[1，2]，
故答案为：[1，2]．
【点评】本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
11．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 （﹣，﹣] ．
【分析】分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理．
【解答】解：画出函数的图象，如图所示，
令y＝f（x），则y2+my+2m+3＝0有2个不相等的实数解，
其范围分别为（0，1）和[1，+∞），
则解得＜m≤﹣
故答案为：（﹣，﹣]．
【点评】考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；
12．（5分）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 [10，+∞） ．
【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，
则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；
②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，
所以，，解得a∈∅；
③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；
④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，
可得，解得a＞4，此时a＞10．
综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
二、选择题。（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
则A∩（∁UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．
14．（5分）要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只要将y＝2sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin（2x+）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
15．（5分）设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果z1﹣z2＞0，那么z1＞z2
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果，那么|z1|＞|z2|
D．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
【分析】通过反例判断A的正误；复数的模与复数的关系判断B、C的正误；反例判断D的正误即可．
【解答】解：对于A，反例z1＝3+i，z2＝1+i，满足，z1﹣z2＞0，当时z1＞z2不正确，所以A不正确；
对于B，反例z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足|z1|＝|z2|，但是z1＝±z2不正确；
对于C，，那么|z1|＞|z2|，正确；
对于D，反例z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足z12+z22＝0，不满足z1＝z2＝0，所以D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的模以及复数的性质的判断，是基本知识的考查，基础题．
16．（5分）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数奇偶性和特殊点，即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴该函数为奇函数，故A错误；
x＞0时，x→0，f（x）→+∞；x＝1，f（x）＝0；x→+∞，f（x）→+∞，
故BC错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题．
三、解答题。（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，（x＞0）．点P（1，f（1））是函数f（x）图象上一点．
（1）求过点P作函数f（x）图像的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）解关于导函数的不等式f'（x）＜0，即可求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣lnx，所以f（1）＝12﹣ln1＝1，，
所以，即切点为（1，1），切线的斜率k＝1，
所以切线方程为y﹣1＝1（x﹣1），即y＝x；
（2）f（x）＝x2﹣lnx定义域为（0，+∞），且，
令f'（x）＜0，解得，
所以f（x）的单调递减区间为．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（15分）已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）＝•．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）＝，且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．
【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式得出，再根据f（x）的最小正周期为π即可求出ω＝1；
（2）根据（1）可得出，然后根据即可求出A＝，然后由余弦定理即可得出16＝（b+c）2﹣3bc，从而求出bc＝3，然后可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）＝＝，
∴，
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴，解得ω＝1；
（2）由（1）得，
∵，
∴，由0＜A＜π得，，
∴，解得，
由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，
∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，
∴．
【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，已知三角函数值求角，余弦定理，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．
19．（15分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
【解答】解：（1）y＝x+80t﹣（20+8x+50t）＝30t﹣20﹣7x，
＝，x∈[0，10]．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，
则在x∈[0，10]恒成立，
即180k≥，记t＝x+2，则t∈[2，12]，
此时＝＝7t+，
由于函数f（t）＝7t+在t∈[2，12]单调递增，
所以当t∈[2，12]时，fmax（t）＝f（12）＝105，
∴k≥≈0.583即k取0.59，
即当工厂工人的复工率达到0.59时，对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损．
【点评】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）设a∈R，求关于x的函数y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的最小值g（a）的表达式；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先说明定义域关于原点对称，再证明f（﹣x）＝f（x）即可证明函数为偶函数；
（2）换元令t＝f（x），将函数表示为关于t的二次函数，分类讨论a的取值，求出相应最小值；
（3）独立参数m，换元令t＝1﹣2x，将问题转化为求函数的最小值，求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又因为f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以f（x）为偶函数．
（2）解：令t＝f（x）＝2x+2﹣x，因为x∈[0，+∞），所以t∈[2，+∞），
则y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）可化为y＝t2﹣2at﹣2，t∈[2，+∞），
若a≤2，函数在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时函数取最小值g（a）＝﹣4a+2，
若a＞2，函数在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
当t＝a时函数取最小值g（a）＝﹣a2﹣2，∴．
（3）解：由题，m（2x+2﹣x﹣1）≤2﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，2x+2﹣x﹣1＞0，
即在（0，+∞）上恒成立，
令t＝1﹣2x，因为x∈（0，+∞），t∈（﹣∞，0），
即在t∈（﹣∞，0）上恒成立，
因为t∈（﹣∞，0），，当且仅当t＝﹣1时等号成立，
所以．
【点评】使用换元法可以简化函数，不论是单调性问题，还是最值问题都可以更容易解决，换元要注意新未知数的取值范围．
21．（16分）定义：{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＞an（an+k＜an）则称{an}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{an}的间隔数．
（1）若，{an}是不是近似递增数列，并说明理由；
（2）已知数列{an}的通项公式为，其前n项的和为Sn，若2是近似递增数列{Sn}的间隔数，求a的取值范围；
（3）已知，证明{an}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．
【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列．
（2）利用数列的和，进一步确定a的范围．
（3）利用由an+k＜an得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sinn]，进一步利用赋值法的应用求出结果．
【解答】解：（1）数列{an}是近似递增数列，
由于﹣[n+（﹣1）n]＝3﹣2（﹣1）n＞0，
或，
即an+3＞an，或an+2＞an．
所以：数列{an}是近似递增数列，
（2）由题意得：＝，
或，
即恒成立．
令，则，
即a的取值范围是（）．
（3）由an+k＜an得：，
即k＞2[sin（n+k）﹣sinn]①，
由于n和k为正整数，所以sinn和sin（n+k）均取不到±1．
所以k＝4时，上式恒成立，即数列{an}是近似递减数列，4是它的间隔数．
当k＝3时，当n＝5时，2[sin（5+3）﹣sin5]≈3.9＞3，故不等式①成立．
当k＝2时，当n＝5时，2[sin（5+2）﹣sin5]≈3.23＞32故不等式①不成立．
当k＝1时，当n＝5时，2[sin（5+1）﹣sin5]≈1.36＞1，故不等式①不成立．
所以4是它的最小间隔数．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n项和公式的应用，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中数学试卷
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则实数a＝ ．
2．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则f'（2）＝ ．
3．（4分）函数f（x）＝的定义域为 ．
4．（4分）已知复数z（1+i）＝2，则z＝ ．
5．（4分）已知α∈（0，π），且cosα＝﹣，则tanα＝ ．
6．（4分）已知等差数列{an}满足：a1+a3＝6，a2+a4＝10，则an＝ ．
7．（5分）已知向量，，若向量∥，则实数m＝ ．
8．（5分）已知y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2的值恒小于3，则实数m的取值范围是 ．
9．（5分）某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 小时后才能开车．（精确到1小时）
10．（5分）给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是 ．
11．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 ．
12．（5分）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
二、选择题。（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
14．（5分）要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只要将y＝2sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
15．（5分）设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果z1﹣z2＞0，那么z1＞z2
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果，那么|z1|＞|z2|
D．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
16．（5分）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题。（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，（x＞0）．点P（1，f（1））是函数f（x）图象上一点．
（1）求过点P作函数f（x）图像的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的单调递减区间．
18．（15分）已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）＝•．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）＝，且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．
19．（15分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
20．（15分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）设a∈R，求关于x的函数y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的最小值g（a）的表达式；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
21．（16分）定义：{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＞an（an+k＜an）则称{an}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{an}的间隔数．
（1）若，{an}是不是近似递增数列，并说明理由；
（2）已知数列{an}的通项公式为，其前n项的和为Sn，若2是近似递增数列{Sn}的间隔数，求a的取值范围；
（3）已知，证明{an}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．
上海市文建中学2022-2023学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则实数a＝ 3 ．
【分析】利用子集的定义和性质直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，A⊆B，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义的合理运用．
2．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+1，则f'（2）＝ 10 ．
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x+1，
∴f′（x）＝3x2﹣2，
∴f'（2）＝12﹣2＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3．（4分）函数f（x）＝的定义域为 （﹣∞，0）∪[1，+∞） ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解分式不等式得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解得：x＜0或x≥1．
∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分式不等式的解法，是基础题．
4．（4分）已知复数z（1+i）＝2，则z＝ 1﹣i ．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z＝2，得，
故答案为：1﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5．（4分）已知α∈（0，π），且cosα＝﹣，则tanα＝ ．
【分析】根据同角三角函数关系式即可求解．
【解答】解：∵α∈（0，π），cosα＝﹣＜0，
α∈（，π），
∴sinα＝．
则tanα＝＝．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
6．（4分）已知等差数列{an}满足：a1+a3＝6，a2+a4＝10，则an＝ 2n﹣1 ．
【分析】由题意结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列{an}满足a1+a3＝6，a2+a4＝10，
所以，解得a1＝1，d＝2，
则an＝a1+（n﹣1）d＝1+2×（n﹣1）＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
7．（5分）已知向量，，若向量∥，则实数m＝ ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值．
【解答】解：向量，，
则﹣2＝（1﹣2m，8），
又∥，
则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，
解得m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．
8．（5分）已知y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2的值恒小于3，则实数m的取值范围是 （﹣3，1] ．
【分析】y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2＜3恒成立，然后对m﹣1是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：由题意得y＝（m﹣1）x2+（1﹣m）x+2＜3恒成立，
当m＝1时，2＜3符合题意，
当m≠1时，（m﹣1）x2+（1﹣m）x﹣1＜0恒成立，
解得﹣3＜m＜1，
综上，m的取值范围为（﹣3，1]．
故答案为：（﹣3，1]．
【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题，属于基础题．
9．（5分）某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车．（精确到1小时）
【分析】欲求出此驾驶员至少要过多少小时后才能开车，只须求出经过多少时间驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，利用所给函数解析式，只须解使得f（x）≤0.02的x的最小值即可．
【解答】解：本题需分情况讨论：
（1）当0≤x≤1时，5x﹣2≤0.02，即x﹣2≤log50.02，x≤2+log50.02∉[0，1]（舍）．
（2）当x＞1时，，即31﹣x≤0.1，1﹣x≤log30.1，x≥1﹣log30.1，即x≥4．
即此驾驶员至少要过 4小时后才能开车．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，不等式的解法，还考查了分类讨论的思想，属于基础题．
10．（5分）给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则x+y的取值范围是 [1，2] ．
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案
【解答】解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（cosθ，sinθ），0≤θ≤120°
可得A（1，0），B（﹣，），
由若＝x（1，0）+y（﹣，）得，
x﹣y＝cosθ，y＝sinθ，
∴y＝sinθ，
∴x+y＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+30°），
∵0≤θ≤120°，
∴30°≤θ+30°≤150°，
∴1≤2sin（θ+30°）≤2
∴x+y的范围为[1，2]，
故答案为：[1，2]．
【点评】本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
11．（5分）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为 （﹣，﹣] ．
【分析】分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理．
【解答】解：画出函数的图象，如图所示，
令y＝f（x），则y2+my+2m+3＝0有2个不相等的实数解，
其范围分别为（0，1）和[1，+∞），
则解得＜m≤﹣
故答案为：（﹣，﹣]．
【点评】考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；
12．（5分）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 [10，+∞） ．
【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，
则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；
②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，
所以，，解得a∈∅；
③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：
由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；
④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），
要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，
可得，解得a＞4，此时a＞10．
综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
二、选择题。（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．（5分）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
则A∩（∁UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．
14．（5分）要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只要将y＝2sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin（2x+）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
15．（5分）设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果z1﹣z2＞0，那么z1＞z2
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果，那么|z1|＞|z2|
D．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
【分析】通过反例判断A的正误；复数的模与复数的关系判断B、C的正误；反例判断D的正误即可．
【解答】解：对于A，反例z1＝3+i，z2＝1+i，满足，z1﹣z2＞0，当时z1＞z2不正确，所以A不正确；
对于B，反例z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足|z1|＝|z2|，但是z1＝±z2不正确；
对于C，，那么|z1|＞|z2|，正确；
对于D，反例z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足z12+z22＝0，不满足z1＝z2＝0，所以D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的模以及复数的性质的判断，是基本知识的考查，基础题．
16．（5分）函数f（x）＝的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数奇偶性和特殊点，即可判断．
【解答】解：函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴该函数为奇函数，故A错误；
x＞0时，x→0，f（x）→+∞；x＝1，f（x）＝0；x→+∞，f（x）→+∞，
故BC错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，属于基础题．
三、解答题。（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤。
17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，（x＞0）．点P（1，f（1））是函数f（x）图象上一点．
（1）求过点P作函数f（x）图像的切线方程；
（2）求函数y＝f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）解关于导函数的不等式f'（x）＜0，即可求出函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣lnx，所以f（1）＝12﹣ln1＝1，，
所以，即切点为（1，1），切线的斜率k＝1，
所以切线方程为y﹣1＝1（x﹣1），即y＝x；
（2）f（x）＝x2﹣lnx定义域为（0，+∞），且，
令f'（x）＜0，解得，
所以f（x）的单调递减区间为．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（15分）已知向量＝（cosωx，sinωx），＝（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）＝•．
（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（）＝，且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．
【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式得出，再根据f（x）的最小正周期为π即可求出ω＝1；
（2）根据（1）可得出，然后根据即可求出A＝，然后由余弦定理即可得出16＝（b+c）2﹣3bc，从而求出bc＝3，然后可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）＝＝，
∴，
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴，解得ω＝1；
（2）由（1）得，
∵，
∴，由0＜A＜π得，，
∴，解得，
由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，
∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，
∴．
【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，已知三角函数值求角，余弦定理，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．
19．（15分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（x∈[0，10]）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率（k∈[0.5，1]）．A公司生产t万件防护服还需投入成本（20+8x+50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的x∈[0，10]（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
【分析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，得到在x∈[0，10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．
【解答】解：（1）y＝x+80t﹣（20+8x+50t）＝30t﹣20﹣7x，
＝，x∈[0，10]．
（2）若对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损，
则在x∈[0，10]恒成立，
即180k≥，记t＝x+2，则t∈[2，12]，
此时＝＝7t+，
由于函数f（t）＝7t+在t∈[2，12]单调递增，
所以当t∈[2，12]时，fmax（t）＝f（12）＝105，
∴k≥≈0.583即k取0.59，
即当工厂工人的复工率达到0.59时，对任意的x∈[0，10]，公司都不产生亏损．
【点评】本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x．
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）设a∈R，求关于x的函数y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的最小值g（a）的表达式；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先说明定义域关于原点对称，再证明f（﹣x）＝f（x）即可证明函数为偶函数；
（2）换元令t＝f（x），将函数表示为关于t的二次函数，分类讨论a的取值，求出相应最小值；
（3）独立参数m，换元令t＝1﹣2x，将问题转化为求函数的最小值，求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
又因为f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），所以f（x）为偶函数．
（2）解：令t＝f（x）＝2x+2﹣x，因为x∈[0，+∞），所以t∈[2，+∞），
则y＝22x+2﹣2x﹣2af（x）可化为y＝t2﹣2at﹣2，t∈[2，+∞），
若a≤2，函数在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时函数取最小值g（a）＝﹣4a+2，
若a＞2，函数在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
当t＝a时函数取最小值g（a）＝﹣a2﹣2，∴．
（3）解：由题，m（2x+2﹣x﹣1）≤2﹣x﹣1在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，2x+2﹣x﹣1＞0，
即在（0，+∞）上恒成立，
令t＝1﹣2x，因为x∈（0，+∞），t∈（﹣∞，0），
即在t∈（﹣∞，0）上恒成立，
因为t∈（﹣∞，0），，当且仅当t＝﹣1时等号成立，
所以．
【点评】使用换元法可以简化函数，不论是单调性问题，还是最值问题都可以更容易解决，换元要注意新未知数的取值范围．
21．（16分）定义：{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＞an（an+k＜an）则称{an}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{an}的间隔数．
（1）若，{an}是不是近似递增数列，并说明理由；
（2）已知数列{an}的通项公式为，其前n项的和为Sn，若2是近似递增数列{Sn}的间隔数，求a的取值范围；
（3）已知，证明{an}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．
【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列．
（2）利用数列的和，进一步确定a的范围．
（3）利用由an+k＜an得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sinn]，进一步利用赋值法的应用求出结果．
【解答】解：（1）数列{an}是近似递增数列，
由于﹣[n+（﹣1）n]＝3﹣2（﹣1）n＞0，
或，
即an+3＞an，或an+2＞an．
所以：数列{an}是近似递增数列，
（2）由题意得：＝，
或，
即恒成立．
令，则，
即a的取值范围是（）．
（3）由an+k＜an得：，
即k＞2[sin（n+k）﹣sinn]①，
由于n和k为正整数，所以sinn和sin（n+k）均取不到±1．
所以k＝4时，上式恒成立，即数列{an}是近似递减数列，4是它的间隔数．
当k＝3时，当n＝5时，2[sin（5+3）﹣sin5]≈3.9＞3，故不等式①成立．
当k＝2时，当n＝5时，2[sin（5+2）﹣sin5]≈3.23＞32故不等式①不成立．
当k＝1时，当n＝5时，2[sin（5+1）﹣sin5]≈1.36＞1，故不等式①不成立．
所以4是它的最小间隔数．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n项和公式的应用，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
相关试卷
上海市虹口高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷： 这是一份上海市虹口高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共4页。
上海市进才中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷： 这是一份上海市进才中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共4页。
上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷： 这是一份上海市南汇中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，文件包含第1课时初步认识比热容pptx、加热水和煤油mp4、比较水沙石的比热容mp4、比较金属的比热熔冰mp4、水和煤油的吸热能力对比mp4、水和煤油的吸热能力对比swf等6份课件配套教学资源，其中PPT共23页， 欢迎下载使用。
