人教版九上 第25章《概率》培优测试卷A卷（原卷+解析）

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人教版九上 第25章 《概率》单元培优测试卷 A卷
答案解析
一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
1．C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；
C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；
D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选．

2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（    ）

A． B． C． D．
．C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
解：∵设正方形的边长为a，
∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，
S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，
故选：C．

3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ）
A． B． C． D．
B
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，依此列式计算即可求解．
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P=，
故选：B．

4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（    ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．
解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C

5．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　）
试验次数
100
200
500
800
1000
1200
实验频率
0.343
0.326
0.335
0.330
0.331
0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
D
【分析】根据统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其概率约为0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：

故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：

故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故选：D．

6．甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率≈0.33，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意．
故选：B．

7．如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
B
【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得；根据菱形和余角性质，得，从而得；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，即可得到答案．
解：如图，

∵两个菱形相同
∴
∴
又∵两个菱形
∴，
∴
∴
∴
∴阴影部分面积，
∴部分重叠的两个菱形面积-阴影部分面积
∴最后停留在阴影部分的概率
故选：B．

8．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ）
A． B． C． D．
D
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果，
∴所求的概率是，
故选D．

9．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）

A． B．
C． D．
D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．

10．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）

A．1 B．  C．  D．
D
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）=．
故选D．
二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数，当时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值______________．
m＞1的实数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可
解：实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的增大，则5m-3>2,解的:m>1.
而增大”成为随机事件
故答案为: m＞1

12．从﹣1，2，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N为(﹣4，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第一象限的概率为___．21世纪教育网
【分析】先求出点的所有可能的坐标，再找出当直线经过第一象限时，点的所有符合条件的坐标，然后利用概率公式计算即可得．
解：由题意得：点的坐标共有6种：，，，，，，
由一次函数的图象可知，当点的坐标为，，，时，直线经过第一象限，
则在平面直角坐标系内，直线经过第一象限的概率为，
故答案为：．
版权所有
11． 一个木盒里装有四个完全相同的小球，在小球上分别标上，，2，3四个数字，搅匀后，小明先从木盒里随机摸出一个小球，然后小亮从剩余的小球里随机摸出一个小球，则两人摸出的小球上的数字之积为无理数的概率为 _____．

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上的数字之积为无理数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两人摸出的小球上的数字之积为无理数的结果有8种，
∴两人摸出的小球上的数字之积为无理数的概率为，
故答案为：．

12． 小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数________（结果保留）附近摆动．
．
【分析】当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
解：如图，正方形ABCD的内切圆圆心为O，点E和点F为两个切点，

∵正方形ABCD的内切圆圆心为O，
∴ OE⊥BC，OF⊥AD
∵ADBC
∴OF⊥BC
∴点E、O、F在同一条直线上
∵∠A＝∠B＝∠BEF＝90°，
∴四边形ABEF是矩形
∴EF＝AB＝30cm
∴OE＝OF＝15cm
∴（cm2）
∴
由题意可知当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在附近摆动．
故答案为：．

15．如图，正方形中，对角线和相交于点O，点E在线段上，交于点F，小明向正方形内投拥一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是_________．


【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积=正方形面积，再由几何概率计算求值即可；
解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
∴阴影面积=△ODC面积=正方形面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：；

16． 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个．
3
【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案．
解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于
∴可估计摸到红球的概率约为
设袋中红球个数为，
依据概率公式得：
解得
所以可估计袋中约有3个红球
故答案为：3．

17． 在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______

【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边关系可知AB-BE 解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE ∴6-4<2AD<6+4，
∴1 即1 ∴m=2，3，4，
解分式方程
∴
∵x为正整数，
∴m-4<0，
∴m＜4，
∴m=2，3，
∴m使关于x的分式方程有正整数解的概率为．

18．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．

####0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
解：如图，连接EG交BD于点P，

∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，

∴＝

∴
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）某中学部分同学参加全国初中数学竞赛，取得了优异的成绩，指导老师统计所有参赛同学的成绩（成绩都是整数，试题满分分），并且绘制了频率分布直方图（如图）．
请回答：
(1) 该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学？
(2) 如果成绩在分以上（含分）的同学获奖，那么该中学参赛同学的获奖率是多少？
(3) 图中还提供了其它信息，例如该中学没有获得满分的同学等等，请再写出一条信息．

(1)32人(2)(3)分的人数最多．（答案不唯一）
【分析】（1）求得各组的频数的和即可；
（2）根据获奖率的定义即可求解；
（3）根据直方图写出结论成立即可，答案不唯一．
解：（1）该中学参加本次数学竞赛的人数是人；
（2）该中学参赛同学的获奖率是；
（3）分的人数最多．答案不唯一
20．（8分）为了了解学生对音、体、美的喜欢情况，对学生进行抽样调查（问卷说明：在音、体、美中，每个学生选且只选一种自己最喜欢的学科），并将这些调查情况整理绘制成如下不完整的两幅统计图．请你根据相关信息，解答下列问题：
(1) 求抽样调查的样本数是多少？
(2) 求体育所在扇形的圆心角的度数是多少？
(3) 补全条形统计图；
(4) 从接受抽样调查的学生中随机选取一人，求是喜欢音乐的学生的概率．

(1)50(2)108°(3)见分析(4)0.6
【分析】（1）根据音乐和体育的总人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用360°乘以体育人数所占的百分比即可；
（3）求出美术的人数，即可补全统计图；
（4）用音乐的人数除以总人数，即可得出喜欢音乐的学生的概率．
(1)解：抽样调查的样本数是：（30+15）÷（1﹣10%）＝50；
(2)体育所在扇形的圆心角的度数是：；
(3)美术的人数有：50×10%＝5（人），
补全条形统计图如图所示；

(4)喜欢音乐的学生的概率是．

21．（10分）经典国学著作是中华民族文化教育的庞大载体，是民族生存的根基，为进一步培养学生的人文素养，某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读比赛，分“单人项目”和“双人项日”两种形式，诵读的篇目有四种类型：A．人生管理；B．家国情怀；C励志劝勉；D．山明水秀，且每种类型包含的篇目数相同，参赛者需从中随机抽取一篇进行诵读．
(1)若小甘参加“单人项目”，求他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率；
(2)张帆和李欣参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的篇目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率是多少？（画树状图或列表求解）
(1)他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为
(2)他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：他抽中的篇目恰好属于“B．家国情怀”的概率为；
（2）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的结果数为2；
所以他们恰好抽到“A、人生管理”和“C励志劝勉”类篇目的概率为．
22．（10分）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，放回洗匀后，再由小亮从纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A、B、C、D表示)．

这个游戏不公平，理由见分析
【分析】首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
解：列表得：

A
B
C
D
A
(A,A)
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B,B)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C,C)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D,D)
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有9种，
∴小明赢的概率为：P(两张都是轴对称图形)=，
小亮赢的概率为：1-=，
∴小明赢的概率≠小亮赢的概率，
因此这个游戏不公平．
23．（10分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类
数量（份）
A
1800

2300

900

请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
(1)12(2)(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
(1)解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
(2)树状图如下：
   
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
(3)①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），   
∵，因此应调低午餐单价；                                   
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
24．（12分）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
(1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
(2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是
(1)；(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率；
（2）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合题意的情况数，即可求出概率．
解：（1）根据题意画出树状图，如图所示：

共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为；
（2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白１、白１白２、红白２，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示：

共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有５种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了求比较复杂的情况概率，画出树状图或列出表格是解题的关键