【2023高考奠基】高中数学(人教A版2019)必修第二册 第6章《平面向量及其应用》基础知识汇总

第6章 平面向量及其应用

§6.1.平面向量的概念

1.平面向量的概念：

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 

单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.

规定：零向量与任意向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§6.2.平面向量的运算

§6.2.1.向量的加法运算

1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.

2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.

3.向量加法的运算律：

交换律：   结合律：

§6.2.2.向量的减法运算

1. 相反向量：

与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.

2. 向量减法的定义：

加上的相反向量，叫做与的差.

3. 向量减法的法则：三角形法则.

§6.2.3.向量的数乘运算

1. 数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：

    ⑴；

　　⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.

2.运算律：

；；

3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.

4.平面向量共线定理：

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.

§6.2.4.向量的数量积

1. 向量的夹角：

已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.

2. 与垂直：

如果与的夹角是 ，则与垂直，记作.

3.数量积：

已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.

4.投影向量：

向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.

设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.

5.数量积的性质：

（1）

（2）

（3） 或

（4）

6.数量积的运算律：

（1）

（2）

（3）

结论： ，.

§6.3平面向量基本定理及坐标表示

§6.3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

1. 正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

2.向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.

§6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示

1.设，则：

⑴，

⑵，

即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）

2.已知 ，则 .

§6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

1.设，则.

2.设,则向量共线的充要条件是 .

§6.3.5平面向量数量积的坐标表示

1. 设，则：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）设，则：.

6.4 平面向量的应用

1.余弦定理：    推论：

2.正弦定理：

.

（其中为外接圆的半径）