【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.3 习题课 等比数列的性质【讲义+习题】

习题课　等比数列的性质
学习目标　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
导语
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．
一、由等比数列构造新等比数列
问题1　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
提示

等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列
符号表示
an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
＝q(n≥2，n∈N*)
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
类比
差⇒商；和⇒积，积⇒乘方
性质
等差数列首项a1，公差d
等比数列首项a1，公比q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列
把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列
等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列
等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列
等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列
两个等比数列相乘，还是一个等比数列

知识梳理
1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．
例1　如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；
对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．
反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况．
跟踪训练1　设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　)
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
答案　D
解析　因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，
则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，
数列{An}(n＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)．
二、等比数列中任意两项之间的关系
问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
提示　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m.
知识梳理
等比数列通项公式的推广和变形：an＝amqn－m.
例2　在等比数列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
解　设等比数列{an}的公比为q.
(1)由得q＝.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，
所以n－8＝1，所以n＝9.
(2)由a7＝a5·q2得q2＝.
因为an>0，所以q＝，
所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8.
反思感悟　等比数列的通项公式及变形的应用
(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项．
(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项．
跟踪训练2　(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)
A．2 B. C．2或 D．－2或
(2)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则等于(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
(2)等比数列{an}中，设其公比为q(q≠0)，a3＝2，a4a6＝a3q·a3q3＝aq4＝4q4＝16，∴q4＝4.
∴＝＝q4＝4.
三、等比数列中多项之间的关系
问题3　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？
提示　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.
推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，
所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，
因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.
知识梳理
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
注意点：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
例3　已知{an}为等比数列．
(1)若{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解　(1)在等比数列{an}中，
∵a2a4＝，
∴a＝a1a5＝a2a4＝，
∴a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a6a8＋a＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
反思感悟　利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
跟踪训练3　(1)公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　因为a3a11＝16，
所以a＝16.
又因为an>0，
所以a7＝4，
所以a16＝a7q9＝32，
即log2a16＝5.
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
答案　5
解析　方法一　因为{an}是等比数列，
所以a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a.
所以a·a·a＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)
＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.
因为an>0，所以a4a5a6＝5.
方法二　因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a·a2
＝a＝5，
所以a2＝ .
因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a＝10，
所以a8＝.
同理a4a5a6＝a＝＝5.


1．知识清单：
(1)由等比数列构造新的等比数列．
(2)等比数列中任意两项之间的关系．
(3)等比数列中多项之间的关系．
2．方法归纳：公式法、类比思想．
3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．

1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　　)
A．± B．±2 C. D．－2
答案　D
解析　因为＝q3＝－8，故q＝－2.
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
答案　C
解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
3．已知在等比数列{an}中，有a3a7a10＝9，则a4a等于(　　)
A．3 B．9 C．20 D．无法计算
答案　B
解析　由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a4a＝9.
4．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比是________．
答案　2
解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得
a2a4＝4，
因此＋≥2＝2，
当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立．
所以数列{an}的公比是2.


1．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于(　　)
A．4 B．2 C．5 D.
答案　A
解析　因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，
数列{an}的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故＝22＝4.
2．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于(　　)
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
答案　B
解析　由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝a＋a10＝2.
3．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)
A. B.
C．－ D.或－
答案　C
解析　因为a4＝a2·q2，
所以q2＝＝＝.
又因为a1<0，a2>0，所以q<0.所以q＝－.
4．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为(　　)
A．4 B．2 C．－2 D．－4
答案　B
解析　由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a＝32＝25，得a6＝2，
则＝＝a6＝2.
5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　D
解析　方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，
可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.
方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27.所以a5＝.
6．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　)
A．{a}是等比数列
B．{anan＋1}是等比数列
C.是等比数列
D．{lg|an|}是等比数列
答案　ABC
解析　由{an}是等比数列可得＝q(q为定值且不为0，n>1)．A中，＝2＝q2为常数，故A正确；
B中，＝＝q2，故B正确；
C中，＝＝为常数，故C正确；
D中，不一定为常数，故D错误．
7．在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.
答案　
解析　设正项等比数列{an}的公比q＞0，
∵3a1，a3，2a2成等差数列，
∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，
∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3(负值舍去)．
则原式＝＝＝.
8．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________.
答案　π2
解析　因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，
所以a4(a2＋2a4＋a6)
＝a4a2＋2a＋a4a6
＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝π2.
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
解　∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，
此时a11＝a3q8＝4×42＝64.
②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，
此时a11＝a3q8＝16×2＝1.
10．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
解　(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得
∴
解得
若G是a5，a7的等比中项，
则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
∴a5，a7的等比中项为±3.

11．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于(　　)
A．38 B．39 C．9 D．7
答案　C
解析　因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，
所以a5＝3，
所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9.
12．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　C
解析　方法一　∵a3，a5的等比中项为±a4，
∴a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，
∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，
∴a4＝2.
又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，
∴a2＝a1q＝×2＝.
方法二　∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝.
13．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　)
A．±2 B．±4 C．2 D．4
答案　C
解析　∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，
∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，
∴q>0，∴a8a15＝2.
14．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
答案　－213
解析　由于{an}是等比数列，
∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，
∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a，
而a7＝－2.
∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.

15．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝________.
答案　或
解析　∵{an}是等比数列，∴a7·a11＝a4·a14＝6，
又a4＋a14＝5，∴或
∵＝q10，∴q10＝或q10＝.
而＝q10，∴＝或.
16．已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若任意n∈N*，都有bn≤bk成立，求正整数k的值．
解　(1)设{an}的公差为d，
则d＝＝4，
所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*)．
设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列．
c1＝a1－b1＝2－1＝1，
c4＝a4－b4＝14－6＝8，
设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2.
则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1.
所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)．
故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N*)．
(2)由题意得，bk应为数列{bn}的最大项．
由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)．
当n<3时，bn＋1－bn>0，bn 即b1 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4；
当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6>…
所以k＝3或k＝4.