【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第14练 抛物线【讲义+习题】

第14练　抛物线

一、选择题

1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝x   B．y2＝3x

C．y2＝6x   D．y2＝－6x

答案　C

解析　顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，

由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.

2．若抛物线y2＝4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离MF＝5，则点M到y轴的距离为(　　)

A．1  B．2  C．2  D．4

答案　D

解析　抛物线的准线为x＝－1，

∵点M到焦点的距离为5，

∴点M到准线x＝－1的距离为5，

∴点M到y轴的距离为5－1＝4.

3．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的纵坐标为3，则AF＋BF等于(　　)

A．8

B．7

C．5

D．随A，B两点坐标变化而变化

答案　A

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的中点的纵坐标为3，所以y1＋y2＝6，

则AF＋BF＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝8.

4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，M(3,2)，则△PMF周长的最小值为(　　)

A．4   B．1＋2＋

C．3＋2   D．4＋2

答案　D

解析　如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.过M作准线的垂线，交抛物线于P，则△PMF的周长最小．最小值为3＋1＋＝4＋2.

5．(多选)已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p>0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　)

A．抛物线的准线方程为x＝2

B．抛物线的焦点坐标为(－2,0)

C．点B的坐标为(－2，－2)

D．△OAB的面积为8

答案　ABD

解析　将A(－2,4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，

所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2,0)，故A，B正确；

易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；

又因为AB＝8，且AB⊥AF，AF＝2，所以S△OAB＝×8×2＝8，故D正确．

二、填空题

6．已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是__________．

答案　y2＝28x

解析　由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，准线方程是x＝－，

∵抛物线的准线方程为x＝－7,

∴＝7，解得p＝14，即所求抛物线的标准方程为y2＝28x.

7．经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程为__________________．

答案　y2＝－8x或x2＝－y

解析　当焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，

代入点P(－2，－4)得p＝4，

∴抛物线方程为y2＝－8x；

当焦点在y轴的负半轴上时，

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

代入点P(－2，－4)得p＝，

∴抛物线方程为x2＝－y，

故所求抛物线标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.

8．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹方程为__________．

答案　y2＝8x

解析　因为点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，所以点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，因此点P的轨迹为抛物线，方程为y2＝8x.

9．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝2p1x与x2＝2p2y在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则＝________.

答案　

解析　由题意，设点A的坐标(m，n)，

∵OA的斜率为2，∴n＝2m，

又A是抛物线y2＝2p1x与x2＝2p2y在第一象限的交点，

∴n2＝2p1m与m2＝2p2n，将n＝2m代入得4m2＝2p1m与m2＝4p2m，

∴p1＝2m，p2＝，故＝.

三、解答题

10．若抛物线经过直线y＝－x与圆x2＋y2－6x＝0的交点，且关于坐标轴对称，求该抛物线的方程．

解　由

解得或

所以抛物线经过点(0,0)和(2，－2)．

又因为抛物线关于坐标轴对称，

所以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，其中m，n是非零常数，

把点(2，－2)代入分别得8＝2m，4＝－2n，

所以m＝4，n＝－.

所以抛物线的方程为y2＝4x或x2＝－y.