专题07 《HL判定三角形全等》重难点题型分类（原卷版+解析版）-【黑马逆袭必刷题】2022-2023学年八年级数学上册拔尖题精选精练（苏科版）

专题07 《HL判定三角形全等》重难点题型分类

专题简介：本份资料专攻《HL判定三角形全等》中“HL判定三角形全等的条件”、“HL求角的度数”、“HL求线段的长度”、“HL判定三角形全等的证明题”、“HL判定三角形全等的探究题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：HL判定三角形全等的条件

方法点拨：证明两直角三角形全等的条件:两个直角三角形的一条斜边与一条直角边分别对应相等,则两个直角三角形全等,简称HL「记住:前提是一定要是直角三角形(Rt)」可以和SSS转化。”

1．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在和中，，则下列结论中错误的是（     ）

A． B． C． D．E为BC中点

3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若，则的理由是（       ）

A．SAS B．AAS C．ASA D．HL

4．（2022·全国·八年级）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（       ）

A．AAS B．SAS C．HL D．SSS

5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（       ）

0

A． B． C． D．OE垂直平分AB

6．（2022·全国·八年级）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　）

A．A•A•S B．S•A•S C．A•S•A D．H•L

7．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（       ）

A．EBA≌EDC B．EBD是等腰三角形

C．折叠后的图形是轴对称图形 D．∠ABE＝∠CBD

考点2：HL求角的度数

方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度和角的度数，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边（或对应角）间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度或角的度数。这类题目的答题思路是：由两个三角形全等找出对应角及对应边，再利用已知条件，结合对顶角、三角形内角和等的性质求解。

1．（2022·全国·八年级）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（       ）

A．40° B．50° C．70° D．71°

2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，等边的顶点E，F分别在边BC和CD上，则等于（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（       ）

A．180° B．200° C．210° D．240°

5．（2022·江苏扬州·二模）如图，，，，则______°．

6．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在等边中，点D在边上，，点E在边上，连接，则相交所成的锐角的度数为__________．

考点3：HL求线段的长度

方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度。

1．（2022·全国·八年级）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）

A．9 B．5 C．10 D．不能确定

2．（2022·山东济南·一模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（     ）

A．2 B．1 C．6 D．7

3．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB=7，AC=3，则BE=（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　）

A． B．2 C． D．4

5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（       ）

A．4 B． C．5 D．

6．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC中，高AE交BC于点E，若，，△ABC的面积为10，则AB的长为___________．

7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．

8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是__________．

考点4：HL判定三角形全等的证明题

方法点拨：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)

1．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．

2．（2022·山西阳泉·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．

(1)求证：DC＝DE；

(2)求证：△CDF≌△EDB；

3．（2022·福建福州·八年级期末）如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，若，求证：．

4．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，点E、F是正方形中边上的点，．求证：．

5．（2022·全国·八年级）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．

(1)求证△AMB≌△CNA；

(2)求证∠BAC＝90°．

6．（2022·四川泸州·模拟预测）如图，，，，、是垂足，，求证：≌．

考点5：HL判定三角形全等的探究题

方法点拨：证明两直角三角形全等的条件:两个直角三角形的一条斜边与一条直角边分别对应相等,则两个直角三角形全等,简称HL「记住:前提是一定要是直角三角形(Rt)」可以和SSS转化。”

1．（2022·四川成都·八年级期末）在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段，且长度为的边所对的角为 小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：

（1）当时（如图2），小明测得，请根据小明的测量结果，求的大小；

（2）当时，将沿翻折，得到（如图3），小明和小亮发现的大小与角度有关，请找出它们的关系，并说明理由；

（3）如图4，在（2）问的基础上，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使得，连接，请判断的形状，并说明理由．

2．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1）-（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”

小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”

老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”

（1）求证：BE＝CD；

（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；

（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．

3．（2022·江苏南京模拟）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据       ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若       ，则△ABC≌△DEF．