人教版 九上 数学期中测试卷A卷（21--23章）（原卷+答案解析）

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人教版 九上 数学期中测试卷（21——23章）A卷
答案解析
一、 选择题：（30分）
1.在如图所示的各图形中，是中心对称图形的有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案B 左起第一和第三个图形不是中心对称图形，第二和第四个图形是中心对称图形.故选B.
2.已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（　　）
A．4 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0得：
m2﹣m﹣2=0，
m2﹣m=2，
所以m2﹣m+2=2+2=4．
故选A．
3．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）
【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P的坐标是（2，﹣3）．
∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3）．故选D．
4．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝2，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（　　）

A．2 B．2 C．1+ D．3
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝＝＝4，
BC＝AC•tan30°＝2×＝2，
∵BC的中点为D，
∴CD＝BC＝×2＝1，
连接CG，

∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，
∴CG＝EF＝AB＝×4＝2，
由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G三点共线时DG有最大值，
此时DG＝CD+CG＝1+2＝3．
故选：D．
6.已知抛物线y＝ax2+bx+m是由抛物线y＝﹣x2+2x+2先关于y轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在抛物线y＝ax2+bx+m上，则q1，q2的大小关系是（　　）
A．q1＞q2 B．q1＝q2 C．q1＜q2 D．不能确定
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3）
∴抛物线y＝﹣x2+2x+2先作关于y轴的轴对称抛物线的顶点为（﹣1，3），再向下平移3个单位长度顶点为（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+m的解析式为y＝﹣（x+1）2，
∵点Q1（﹣2.5，q1）、Q2（1，q2）都在物线y＝ax2+bx+m上，
∴q1＝﹣（﹣2.5+1）2＝﹣，q2＝﹣（1+1）2＝﹣4，
∴q1＞q2，
故选：A．
7.将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有4个交点，则b的取值范围为（　　）
A．﹣＜b＜﹣12 B．﹣＜b＜2 C．﹣12＜b＜2 D．﹣＜b＜﹣12
【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，

令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有4个公共点，则b的值为﹣＜b＜﹣12；
故选：A．

8.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(－1,0)，其对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc<0；②4a+2b+c<0；③8a+c<0；④若抛物线经过点(－3，n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c－n＝0(a≠0)的两根分别为－3,5.其中正确结论的个数为 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解答：∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1,∴－＝1,∴b＝－2a,∴b>0.①∵a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故①正确；②由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c>0,故②错误；③由图象可知，当x＝－2时，y＝4a－2b+c<0,又∵b＝－2a,∴4a－2×(－2a)+c<0,∴8a+c<0,故③正确；④∵抛物线经过点(－3，n),其对称轴为直线x＝1,∴根据对称性，抛物线必经过点(5，n),∴当y＝n,即ax2+bx+c＝n(a≠0)时，x＝－3或x＝5,即关于x的一元二次方程ax2+bx+c－n＝0(a≠0)的两根分别为－3,5，故④正确.综上，正确的结论为①③④.
9.如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（　　）

A．5 B．6 C． D．
【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝＝＝，
∴AC＝DE＝，
故选：D．
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在BC边上，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．
【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，

又∵∠ABC＝90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH＝BN，
∵BE＝1，
∴EC＝2，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC＝EH＝2，EN＝NC＝1，∠HEC＝60°，
∴BN＝2＝MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
∴∠FEH＝∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH＝GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH＝HM＝2，
故选：B．
二． 填空题（24分）
11. 某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　　　　　　．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．

　
12．我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　　　　　．
【解答】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
②矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
④等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
故答案为：②⑤．
13.已知抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k的值是 　．

【解答】解：根据顶点纵坐标公式，
抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点纵坐标为，
∵抛物线的顶点在x轴上时，
∴顶点纵坐标为0，即=0，
解得k=3或﹣5．
故本题答案为3或﹣5．
14.已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
∵（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，
∴点（1，y3）关于对称轴x＝﹣2的对称点是（﹣5，y3），
∵﹣5＜﹣3＜﹣2，
∴y2＞y1＞y3，
故答案为y2＞y1＞y3．
15.如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到△DEC,设直线CD、AB交于点F,连接AD,当△ADF为等腰三角形时，α＝________

【答案】40°或20°
【解析】∵△ABC绕C点逆时针旋转α得到△DEC,∴AC＝CD,∴∠ADF＝∠DAC＝(180°－α),∴∠DAF＝∠DAC－∠BAC＝(180°－α)－30°.根据三角形的外角性质，∠AFD＝∠FAC+∠FCA＝30°+α.△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论：①当∠ADF＝∠DAF时(180°－α)＝2(180°－α)－30°，无解；②当∠ADF＝∠AFD时，(180°－α)＝30°+α,解得α＝40°；③当∠DAF＝∠AFD时，(180°－α)－30°＝30°+α,解得α＝20°综上所述，α＝40°或20°.
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0）和B（0，1），形状相同的抛物线∁n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C1的顶点坐标为 ；抛物线C6的顶点坐标为 　 　．

【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
∴y1＝+1＝，
∴抛物线C1的顶点坐标为 （2，），
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C6的顶点坐标的横坐标为21，
∴抛物线C6的顶点坐标为（21，8），
故答案为（2，），（21，8）．
三． 解答题（66分）
17.解方程：（6分）
(1)x2－4x＝6；(2)2(x－1)2＝3x－3.
【解答】
(1)配方，得x2－4x+4＝6+4,即(x－2)2＝10,开平方，得x－2＝±，∴x1＝2+，x2＝2－.
(2)整理，得2(x－1)2－3(x－1)＝0,因式分解，得(x－1)(2x－2－3)＝0,∴x－1＝0或2x－5＝0,∴x1＝1,x2＝
18.（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？

【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
19.（8分）在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．

【解答】（1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：
∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，
∴AB=DF，BD=FA，
∵AB=BD，
∴AB=BD=DF=FA，
∴四边形ABDF是菱形；

（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AB∥DF，且AB=DF，
∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，
∴AB=CE，BC=EA，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AB∥CE，且AB=CE，
∴CE∥FD，CE=FD，
∴四边形CDEF是平行四边形．

20.（10分）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如下图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣0.5x+110；
（2）设客栈每天获得的利润为m元，
m＝x（﹣0.5x+110）﹣12（﹣0.5x+110）＝﹣0.5x2+116x﹣1320，
＝﹣0.5（x﹣116）2+5408，
∵60≤x≤130，
∴当x＝116时，m取得最大值，此时m＝5408，
答：房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元．
21.（10分）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
【解答】解：（1）∵OE为线段BC的中垂线，
∴OC=BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8m，AB=CD=2m，
∴OC=4．
∴D（4，2，）．E（0，6）．
设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣x2+6；
（2）由题意，得
当y=4.4时，4.4=﹣x2+6，
解得：x=±，
∴宽度为：＞2.4，
∴它能通过该隧道；
（3）由题意，得
（﹣0.4）=﹣0.2＞2.4，
∴该辆货运卡车还能通过隧道．

22.（12分）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi（a、b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，解得：x1＝i，x2＝﹣i；同样我们也可以化简＝＝＝2i．
读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i2+i3+i4…+i2021＝　 　；
（2）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，写出一个以a、b的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：x2﹣4x+8＝0．
【解答】解：（1）i3＝i×i2＝﹣i，i4＝i2×i2＝﹣1×（﹣1）＝1，
∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，
i2+i3+i4+…+i2021有2020个加数，2020÷4＝505，
∴i2+i3+i4+…+i2021＝0．
故答案为：﹣i，1，0；
（2）∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，
∴ab+ai+bi+i2＝1﹣3i，
ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，
∴ab＝2，
∴以a、b的值为解的一元二次方程可以是x2+3x+2＝0（答案不唯一）；
（3）∵x2﹣4x+8＝0，
∴x2﹣4x＝﹣8，
∴（x﹣2）2＝4i2，
∴x﹣2＝±2i
解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．

23.（12分）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）对于直线y=3x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=﹣1，
则A（﹣1，0），B（0，3）；
（2）由A（﹣1，0），C（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把B（0，3）代入得：3=﹣3a，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，由对称性得AP=CP，如图1所示，此时△ABP周长最小，

由抛物线解析式y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，得到对称轴为直线x=1，
设直线BC解析式为y=mx+n，
将B（0，3），C（3，0）代入得：，
解得：m=﹣1，n=3，即直线BC解析式为y=﹣x+3，
联立得：，
解得：，即P（1，2），
根据两点间的距离公式得：AB==，BC==3，
则P（1，2），周长为AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3+；
（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，
如图2所示，分四种情况考虑：

当AB=AQ1==时，
在Rt△AQ1Q3中，AQ3=2，AQ1=，
根据勾股定理得：Q1Q3==，此时Q1（1，）；
由对称性可得Q2（1，）；
当AB=BQ3时，可得OQ3=OA=1，此时Q3（1，0）；
当AQ4=BQ4时，Q4为线段AB垂直平分线与对称轴的交点，
∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴直线AB斜率为=3，中点坐标为（﹣，），
∴线段AB垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+），
令x=1，得到y=1，此时Q4（1，1），
综上，Q的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．