山东省枣庄滕州市尚贤中学2022-2023学年九年级上学期第一次学业达标数学试题(含答案)

2022-2023学年度第一学期第一次检测九年级数学试题

一、选择题：本大题共12小题，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．

1．下列是一元二次方程的是（　　）

A．ax2+bx+0＝0      B．x﹣2＝x2         C．x2﹣2＝x（x﹣2）   D．

2．雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（　　）

A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形

3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解

4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2

5．下列判断中不正确的是（　　）

A．四个角相等的四边形是矩形          B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形  D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

6．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

7．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）

A．7 B．3或7 C．15 D．11或15

8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（　　）

A．24 B．10 C． D．

10．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（　　）

A． B． C． D．

11．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）

A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0

12．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．

13．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　   　．

14．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　   　．

15．我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有 　   　人进入半决赛．

16．如图，四边形ABCD是菱形，点A为（﹣3，0），点B为（0，4），则点C的坐标为 　   　．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　   　．

18．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 　   　．

三、解答题：本大题共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）解方程：

（1）3x2+8x﹣3＝0（用配方法）；

（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）．

20．（8分）关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．

21．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．

22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．

（1）求证：四边形ABDF是矩形；

（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

23．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．

（1）求出这两次价格上调的平均增长率；

（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？

24．（10分）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．

材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m+n＝1，mn＝﹣1，

则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　   　．x1x2＝　   　．

（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．

25．（12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．

（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；

（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．

2022-2023学年度第一学期第一次检测九年级数学试题答案提示

一．选择题

1．下列是一元二次方程的是（　　）选：B．

A．ax2+bx+0＝0  B．x﹣2＝x2      C．x2﹣2＝x（x﹣2）   D．

2．雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（　　）选：B．

A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形

3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）选：C．

A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解

4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　）选：A．

A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2

5．下列判断中不正确的是（　　）选：B．

A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

6．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）选：B．

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

7．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（　　）选：C．

A．7 B．3或7 C．15 D．11或15

8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（　　）选：A．

A．2 B．4 C．6 D．8

9．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（　　）选：C．

A．24 B．10 C． D．

10．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（　　）

A． B． C． D．

解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，

∴AC＝2，

∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，

∴∠AOE＝90°，

∴AC＝AE＝2，AO＝，

∴OE＝×＝．

故选：B．

11．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）

A．k＞﹣ B．k＜﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0

解：根定义新运算，得x2﹣x＝k，

即x2﹣x﹣k＝0，

∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，

解得：，

故选：A．

12．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．4

解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，

∴△ABD的面积＝a2＝3，

解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），

故选：B．

二．填空题

13．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　．

14．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　14　．

15．我市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环形式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了6场，则共有 　4　人进入半决赛．

16．如图，四边形ABCD是菱形，点A为（﹣3，0），点B为（0，4），则点C的坐标为 　（5，4）　．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　3　．

18．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A，C重合）上一动点，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN．若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，MN的最小值是 　4.8　．

三．解答题

19．解方程：

（1）3x2+8x﹣3＝0（用配方法）；

（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）．

解：（1）∵3x2+8x﹣3＝0，

∴3x2+8x＝3，

∴x2+x＝1，

则x2+x+＝1+，即（x+）2＝，

∴x+＝±，

解得x1＝，x2＝﹣3；

（2）∵（x﹣3）2＝2x（3﹣x），

∴（x﹣3）2＝﹣2x（x﹣3），

则（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，

∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，

∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，

解得x1＝3，x2＝1．

20．关于x的方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．

解：∵方程x2+2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（2k﹣1）＝8﹣8k＞0，

∴k＜1，

∴当k＜1时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵k＜1，

∴k的最大整数值为0，

把k＝0代入方程x2+2x+2k﹣1＝0，

得方程x2+2x﹣1＝0，

解得，．

21．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（AAS）；

（2）解：设菱形的边长为x，

∵AB＝CD＝x，CF＝2，

∴DF＝x﹣2，

∵△ABE≌△ADF，

∴BE＝DF＝x﹣2，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，

AE2+BE2＝AB2，

即42+（x﹣2）2＝x2，

解得x＝5，

∴菱形的边长是5．

22．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．

（1）求证：四边形ABDF是矩形；

（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BA∥CD，

∴∠BAE＝∠FDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△BEA和△FED中，

，

∴△BEA≌△FED（ASA），

∴EF＝EB，

又∵AE＝DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠BDF＝90°．

∴四边形ABDF是矩形；

（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，

∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，

∴AF＝＝＝4，

∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，

∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，

∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，

答：四边形ABCF的面积S为18．

23．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．

（1）求出这两次价格上调的平均增长率；

（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？

解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，

依题意得：10（1+x）2＝14.4，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．

答：这两次价格上调的平均增长率为20%．

（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，

依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，

整理得：m2﹣4m+3＝0，

解得：m1＝1，m2＝3．

又∵要让顾客获得更大的优惠，

∴m的值为3．

答：每包应该降价3元．

24．阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．

材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m+n＝1，mn＝﹣1，

则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　．x1x2＝　﹣　．

（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．

解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，

故答案为：，﹣；

（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，

∴m+n＝，mn＝﹣，

∴

＝

＝

＝

＝；

25．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．

（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；

（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

在Rt△PAB和Rt△HBC中，

，

∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），

∴∠APB＝∠BHC，

∵∠APB+∠PBA＝90°，

∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，

∴BP⊥CH；

（2）解：∵正方形ABCD的边长为12，

∴AB＝BC＝12，

∵AP＝5，

由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，

在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，

∵△HBC的面积＝CH•BE＝HB•BC，

∴，

解得：BE＝，

即线段BE的长为．