高考数学专题：23个求极值和值域
展开23个求极值和值域专题
1、求函数的值域.
2、求函数的值域.
3、求函数的值域.
4、求函数的值域.
5、已知函数（其中）的值域是，求实数.
6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.
7、已知：，求：的最小值.
8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.
9、已知：，求函数的最大值.
10、求函数：的最小值.
11、求函数：的值域.
12、已知实数满足和，求的最小值.
13、求函数：的最小值.
14、已知：，求函数：的最小值.
15、已知点在椭圆上，求的最大值.
16、求函数：的值域.
17、求函数：的值域.
18、求函数：的最大值.
19、设：为正实数，且满足，
试求：的最小值.
20、已知为正实数，且满足，
求：的最大值.
21、设为锐角，求：的最小值.
22、设为锐角，求证：.
23、已知为正实数，求证：.
23个求极值和值域专题解析
1、求函数的值域.
解析：函数的定义域为：.
函数的导函数为：
⑴当时，，则
故
即：函数在区间为单调递减函数，故：；
故：函数在该区间的值域是.
⑵当时，，则
即：函数在区间为单调递增函数，故：；
故：函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是.
本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.
2、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即：
令：，即： ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
② ③
由②得：，即：，即： ④
将①④代入③得：
即：
即：，即： ⑤
试解⑤，由于，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.
则：，且. 则：，，
代入④得：，即时函数取得极大值.
函数极大值为
⑴当时，函数在本区间为单调递增函数. 故：
即：函数在区间的值域是
⑵当时，函数在本区间为单调递减函数. 故：
即：函数在区间的值域是
综上，函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
3、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即：
令：，即： ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： ②
即：，即：，即：
即：，即：，即： ③
将①式代入③式得：
当时，函数达到极大值. 极大值为：
函数的导函数为：
⑴当区间时，，函数单调递增. 故：
即：函数在本区间的值域是.
⑵当区间时，，函数单调递减. 故：
即：函数在本区间的值域是.
综上，函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
4、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 则函数为：
（当时取负号，当时取正号）
于是函数的极值在：
即：
即：，即：
⑴在区间，函数的极值为：
在区间的边界有：
故：函数在该区间的值域是.
⑵在区间，函数，为单调递减函数.
故有：；
故：函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是. 本题方法属“单调性法”
5、已知函数（其中）的值域是，求实数.
解析：函数的定义域为.
将函数变形为：，即：
其判别式不等式为：
即： ①
而函数的值域是，即：，即： ②
对比①②两式得：，，即，因，故：
故：实数，. 此法称为“判别式法”.
6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.
解析：首先设，代入得：，即：，则：
⑴当时，由均值不等式，即：得：
则：
⑵当时，由均值不等式，即：得：
则：
⑶当时，由均值不等式，即：
代入已知条件， 得：
则：
故：由⑴、⑵、⑶得，的最小值是.
本题先确定均值，然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.
7、已知：，求：的最小值.
解析：由已知条件得：
代入得：
即：
令：，则方程变为：
采用判别式法得：，即：，即：
故：的最小值是. 此题采用的是“判别式法”
8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.
解析：首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减.
⑴当时，为单调递减函数，即：.
故：是最大值为，是最小值为. 即：
即： （*）
（*）两式相减得：，即： ①
则: ，即： ②
（*）两式相加得：
将①②式代入后化简得： ③
由①③得：，. 则区间为.
⑵当、时，的最大值是，即：.
i.若，则的最小值为：，
即：，解之及可得：，
故此时区间为.
ii.若则的最小值为：，
即：，
则：. 不符合题设，即此时无解.
⑶当时，由是一个偶函数可得：，故：
是最小值为，是最大值为，即：
即：
则：为一元二次方程的两个根，
由韦达定理得：，则由得：
异号，不符合题设，即此时无解.
综上，区间为或. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.
9、已知：，求函数的最大值.
解析：由可知，函数的定义域是：，
有均值不等式，即：
即：
即：
当时，，，即可以取到不等式的等号。
故：函数的最大值是. 本题采用，称为“均值不等式”.
10、求函数：的最小值.
解析：函数
其定义域为：
令：，
则：，，
于是：
当时，，即：，
即：，则：
所以，是可以取到的. 故的最小值是.
正是由于时，函数取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设，代入，后得：
即： ，即：，
即：，即：，
这两个结果分别对应于的极小值
和的极大值.
本题采用的是“向量法”.
11、求函数：的值域.
解析：先求函数的定义域. 定义域为：
本题采用判别式法解题.
由等价变形为：
即：
式上面方程有解得判别式是：
即：，即：
故：函数的值域为. 此法称为“判别式法”
本题亦可以采用换元法和配方法来做.
令：，则，
于是：
当时，即：当时，达到极小值. 此法就是“换元配方法”.
12、已知实数满足和，求的最小值.
解析：由已知得： ① ②
则由柯西不等式得： ③
将①、②代入③得：
即：，即：
即： ④
其判别式为：
故：方程等号下的两根为：
则：
根据柯西不等式等号成立的条件得：
代入①式得：，即： ⑤
代入②式得：，即： ⑥
由⑤⑥两式得：，即：
即：，即：
即：，即：，即：
则：⑴，此时：；此为最大值.
⑵，此时：
所以，的最小值为. 此题解法为“柯西不等式”.
13、求函数：的最小值.
解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即： ①
则：
令：，，则：，
故：设，则：，， ②
则： ③
将②、③代入①得： ④
柯西不等式①中，等号成立的条件是：
即：，则：
则： ，即：
即：，即：
将和代入得：
即：，即：
于是：当，时，柯西不等式④中，等号成立.
即：的最小值是.
本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.
14、已知：，求函数：的最小值.
解析：函数的定义域为：，
由均值不等式，即：
得：
即：，则：
当时，即：、时，.
故：函数的最小值是. 此法采用“均值不等式法”.
15、已知点在椭圆上，求的最大值.
解析：函数的定义域为：，
由柯西不等式得：
即：，即：
由柯西不等式的等号成立的条件得：，即：
代入得：，即：，即：
则：，于是，
⑴ 当，时，
⑵ 当，时，
所以，函数的最大值是. 此法是用“柯西不等式”.
本题也可以采用“权方和不等式”
即：，即：
此法为“权方和不等式”.
16、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：.
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即： ①
令：，则： ②
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
，即：，
即：，则： ③
将②代入③得：
函数的极值为：
⑴ 在区间，函数单调递增，故：
于是，函数在该区间的值域是.
⑵ 在区间，函数单调递减，故：
于是，函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是.
此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.
17、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：. 本题采用判别式法.
令： ①
则： ②
即：，即：
即： ③
由③的判别式得：
即：，即：，即：
故：或，即：或
由于②式即的条件必须那满足，故.
此时，，函数的值域为. 此法为“判别式法”.
18、求：的最大值.
解析：由均值不等式得：
所以,两边相加得：
在时，，即不等式的等号可以取到.
故:的最大值为. 此法为“均值不等式”.
19、设：为正实数，且满足，
试求：的最小值.
解析：由均值不等式得：
……
不等式两边分别相加得：
即：
当时，，即不等式的等号可以取到.
故：的最小值是. 此法为“均值不等式”.
20、已知为正实数，且满足，
求：的最大值.
解析：由
由柯西不等式得：
即：
故：
因此，的最大值是. 此法为“柯西不等式”.
21、设为锐角，求：的最小值.
解析：
将与通分，并与最后一项合并得：
①
由得：
代入①式得：
②
再由辅助角公式得：
代入②式得：
③
由③式及为锐角，当达到最大值时，达到最小值，
即：当时，.
故，当时，达到最小值，最小值为.
此法为“辅助角公式法”.
22、设为锐角，求证：.
解析：因为为锐角，函数定义域为：，所以，
构造函数：
则函数的导函数为：
因为：，，，所以：
即：在定义域区间，函数为单调递增函数，
故：，即：. 证毕.
23、已知为正实数，求证：.
解析：采用待定系数法解本题：
令：，（），则：，
于是，
即： ①
令：，则代入得：，即：，即：
将，代入①式得：. 证毕.
此法为“待定系数法”.
另一种方法：参数法
令：，，代入得：
即证：，即证：，
即证：
即证：
而这是显然成立的. 证毕.
