23个求极值和值域专题

这是一份23个求极值和值域专题，共19页。试卷主要包含了求函数的值域.，已知函数的值域是，求实数.，已知等内容，欢迎下载使用。
2、求函数的值域.
3、求函数的值域.
4、求函数的值域.
5、已知函数（其中）的值域是，求实数.
6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.
7、已知：，求：的最小值.
8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.
9、已知：，求函数的最大值.
10、求函数：的最小值.
11、求函数：的值域.
12、已知实数满足和，求的最小值.
13、求函数：的最小值.
14、已知：，求函数：的最小值.
15、已知点在椭圆上，求的最大值.
16、求函数：的值域.
17、求函数：的值域.
18、求函数：的最大值.
19、设：为正实数，且满足，
试求：的最小值.
20、已知为正实数，且满足，
求：的最大值.
21、设为锐角，求：的最小值.
22、设为锐角，求证：.
23、已知为正实数，求证：.
23个求极值和值域专题解析
1、求函数的值域.
解析：函数的定义域为：.
函数的导函数为：
= 1 \* GB2 ⑴当时，，则
故
即：函数在区间为单调递减函数，故：；
故：函数在该区间的值域是.
= 2 \* GB2 ⑵当时，，则
即：函数在区间为单调递增函数，故：；
故：函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是.
本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.
2、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即：
令：，即： = 1 \* GB3 ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
= 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③
由 = 2 \* GB3 ②得：，即：，即： = 4 \* GB3 ④
将 = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④代入 = 3 \* GB3 ③得：
即：
即：，即： = 5 \* GB3 ⑤
试解 = 5 \* GB3 ⑤，由于，则 = 5 \* GB3 ⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.
则：，且. 则：，，
代入 = 4 \* GB3 ④得：，即时函数取得极大值.
函数极大值为
= 1 \* GB2 ⑴当时，函数在本区间为单调递增函数. 故：
即：函数在区间的值域是
= 2 \* GB2 ⑵当时，函数在本区间为单调递减函数. 故：
即：函数在区间的值域是
综上，函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
3、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即：
令：，即： = 1 \* GB3 ①
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： = 2 \* GB3 ②
即：，即：，即：
即：，即：，即： = 3 \* GB3 ③
将 = 1 \* GB3 ①式代入 = 3 \* GB3 ③式得：
当时，函数达到极大值. 极大值为：
函数的导函数为：
= 1 \* GB2 ⑴当区间时，，函数单调递增. 故：
即：函数在本区间的值域是.
= 2 \* GB2 ⑵当区间时，，函数单调递减. 故：
即：函数在本区间的值域是.
综上，函数的值域是.
本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.
4、求函数的值域.
解析：函数的定义域是：. 则函数为：
（当时取负号，当时取正号）
于是函数的极值在：
即：
即：，即：
= 1 \* GB2 ⑴在区间，函数的极值为：
在区间的边界有：
故：函数在该区间的值域是.
= 2 \* GB2 ⑵在区间，函数，为单调递减函数.
故有：；
故：函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是. 本题方法属“单调性法”
5、已知函数（其中）的值域是，求实数.
解析：函数的定义域为.
将函数变形为：，即：
其判别式不等式为：
即： = 1 \* GB3 ①
而函数的值域是，即：，即： = 2 \* GB3 ②
对比 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②两式得：，，即，因，故：
故：实数，. 此法称为“判别式法”.
6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.
解析：首先设，代入得：，即：，则：
= 1 \* GB2 ⑴当时，由均值不等式，即：得：
则：
= 2 \* GB2 ⑵当时，由均值不等式，即：得：
则：
= 3 \* GB2 ⑶当时，由均值不等式，即：
代入已知条件， 得：
则：
故：由 = 1 \* GB2 ⑴、 = 2 \* GB2 ⑵、 = 3 \* GB2 ⑶得，的最小值是.
本题先确定均值，然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.
7、已知：，求：的最小值.
解析：由已知条件得：
代入得：
即：
令：，则方程变为：
采用判别式法得：，即：，即：
故：的最小值是. 此题采用的是“判别式法”
8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.
解析：首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减.
= 1 \* GB2 ⑴当时，为单调递减函数，即：.
故：是最大值为，是最小值为. 即：
即： （*）
（*）两式相减得：，即： = 1 \* GB3 ①
则: ，即： = 2 \* GB3 ②
（*）两式相加得：
将 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②式代入后化简得： = 3 \* GB3 ③
由 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③得：，. 则区间为.
= 2 \* GB2 ⑵当、时，的最大值是，即：.
= 1 \* rman i.若，则的最小值为：，
即：，解之及可得：，
故此时区间为.
= 2 \* rman ii.若则的最小值为：，
即：，
则：. 不符合题设，即此时无解.
= 3 \* GB2 ⑶当时，由是一个偶函数可得：，故：
是最小值为，是最大值为，即：
即：
则：为一元二次方程的两个根，
由韦达定理得：，则由得：
异号，不符合题设，即此时无解.
综上，区间为或. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.
9、已知：，求函数的最大值.
解析：由可知，函数的定义域是：，
有均值不等式，即：
即：
即：
当时，，，即可以取到不等式的等号。
故：函数的最大值是. 本题采用，称为“均值不等式”.
10、求函数：的最小值.
解析：函数
其定义域为：
令：，
则：，，
于是：
当时，，即：，
即：，则：
所以，是可以取到的. 故的最小值是.
正是由于时，函数取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设，代入，后得：
即： ，即：，
即：，即：，
这两个结果分别对应于的极小值
和的极大值.
本题采用的是“向量法”.
11、求函数：的值域.
解析：先求函数的定义域. 定义域为：
本题采用判别式法解题.
由等价变形为：
即：
式上面方程有解得判别式是：
即：，即：
故：函数的值域为. 此法称为“判别式法”
本题亦可以采用换元法和配方法来做.
令：，则，
于是：
当时，即：当时，达到极小值. 此法就是“换元配方法”.
12、已知实数满足和，求的最小值.
解析：由已知得： = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②
则由柯西不等式得： = 3 \* GB3 ③
将 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②代入 = 3 \* GB3 ③得：
即：，即：
即： = 4 \* GB3 ④
其判别式为：
故：方程等号下的两根为：
则：
根据柯西不等式等号成立的条件得：
代入 = 1 \* GB3 ①式得：，即： = 5 \* GB3 ⑤
代入 = 2 \* GB3 ②式得：，即： = 6 \* GB3 ⑥
由 = 5 \* GB3 ⑤ = 6 \* GB3 ⑥两式得：，即：
即：，即：
即：，即：，即：
则： = 1 \* GB2 ⑴，此时：；此为最大值.
= 2 \* GB2 ⑵，此时：
所以，的最小值为. 此题解法为“柯西不等式”.
13、求函数：的最小值.
解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即： = 1 \* GB3 ①
则：
令：，，则：，
故：设，则：，， = 2 \* GB3 ②
则： = 3 \* GB3 ③
将 = 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③代入 = 1 \* GB3 ①得： = 4 \* GB3 ④
柯西不等式 = 1 \* GB3 ①中，等号成立的条件是：
即：，则：
则： ，即：
即：，即：
将和代入得：
即：，即：
于是：当，时，柯西不等式 = 4 \* GB3 ④中，等号成立.
即：的最小值是.
本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.
14、已知：，求函数：的最小值.
解析：函数的定义域为：，
由均值不等式，即：
得：
即：，则：
当时，即：、时，.
故：函数的最小值是. 此法采用“均值不等式法”.
15、已知点在椭圆上，求的最大值.
解析：函数的定义域为：，
由柯西不等式得：
即：，即：
由柯西不等式的等号成立的条件得：，即：
代入得：，即：，即：
则：，于是，
= 1 \* GB2 ⑴ 当，时，
= 2 \* GB2 ⑵ 当，时，
所以，函数的最大值是. 此法是用“柯西不等式”.
本题也可以采用“权方和不等式”
即：，即：
此法为“权方和不等式”.
16、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：.
待定系数法用于柯西不等式来解本题.
设：，则柯西不等式为：
即： = 1 \* GB3 ①
令：，则： = 2 \* GB3 ②
由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：
，即：，
即：，则： = 3 \* GB3 ③
将 = 2 \* GB3 ②代入 = 3 \* GB3 ③得：
函数的极值为：
= 1 \* GB2 ⑴ 在区间，函数单调递增，故：
于是，函数在该区间的值域是.
= 2 \* GB2 ⑵ 在区间，函数单调递减，故：
于是，函数在该区间的值域是.
综上，函数的值域是.
此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.
17、求函数：的值域.
解析：函数的定义域是：. 本题采用判别式法.
令： = 1 \* GB3 ①
则： = 2 \* GB3 ②
即：，即：
即： = 3 \* GB3 ③
由 = 3 \* GB3 ③的判别式得：
即：，即：，即：
故：或，即：或
由于 = 2 \* GB3 ②式即的条件必须那满足，故.
此时，，函数的值域为. 此法为“判别式法”.
18、求：的最大值.
解析：由均值不等式得：
所以,两边相加得：
在时，，即不等式的等号可以取到.
故:的最大值为. 此法为“均值不等式”.
19、设：为正实数，且满足，
试求：的最小值.
解析：由均值不等式得：
……
不等式两边分别相加得：
即：
当时，，即不等式的等号可以取到.
故：的最小值是. 此法为“均值不等式”.
20、已知为正实数，且满足，
求：的最大值.
解析：由
由柯西不等式得：
即：
故：
因此，的最大值是. 此法为“柯西不等式”.
21、设为锐角，求：的最小值.
解析：
将与通分，并与最后一项合并得：
= 1 \* GB3 ①
由得：
代入 = 1 \* GB3 ①式得：
= 2 \* GB3 ②
再由辅助角公式得：
代入 = 2 \* GB3 ②式得：
= 3 \* GB3 ③
由 = 3 \* GB3 ③式及为锐角，当达到最大值时，达到最小值，
即：当时，.
故，当时，达到最小值，最小值为.
此法为“辅助角公式法”.
22、设为锐角，求证：.
解析：因为为锐角，函数定义域为：，所以，
构造函数：
则函数的导函数为：
因为：，，，所以：
即：在定义域区间，函数为单调递增函数，
故：，即：. 证毕.
23、已知为正实数，求证：.
解析：采用待定系数法解本题：
令：，（），则：，
于是，
即： = 1 \* GB3 ①
令：，则代入得：，即：，即：
将，代入 = 1 \* GB3 ①式得：. 证毕.
此法为“待定系数法”.
另一种方法：参数法
令：，，代入得：
即证：，即证：，
即证：
即证：
而这是显然成立的. 证毕.