高考数学专题：23个求极值和值域

23个求极值和值域专题 1、求函数的值域.2、求函数的值域.3、求函数的值域. 4、求函数的值域.5、已知函数（其中）的值域是，求实数.6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.7、已知：，求：的最小值.8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.9、已知：，求函数的最大值.10、求函数：的最小值.11、求函数：的值域.12、已知实数满足和，求的最小值. 13、求函数：的最小值. 14、已知：，求函数：的最小值. 15、已知点在椭圆上，求的最大值. 16、求函数：的值域. 17、求函数：的值域. 18、求函数：的最大值. 19、设：为正实数，且满足，试求：的最小值. 20、已知为正实数，且满足，求：的最大值.21、设为锐角，求：的最小值. 22、设为锐角，求证：. 23、已知为正实数，求证：.  23个求极值和值域专题解析1、求函数的值域.解析：函数的定义域为：.函数的导函数为：⑴当时，，则故即：函数在区间为单调递减函数，故：；故：函数在该区间的值域是. ⑵当时，，则即：函数在区间为单调递增函数，故：；故：函数在该区间的值域是.综上，函数的值域是.本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”. 2、求函数的值域.解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即：令：，即：   ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：     ②                  ③由②得：，即：，即：   ④将①④代入③得：即：即：，即：    ⑤试解⑤，由于，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：，且. 则：，，代入④得：，即时函数取得极大值.函数极大值为⑴当时，函数在本区间为单调递增函数. 故：即：函数在区间的值域是⑵当时，函数在本区间为单调递减函数. 故：即：函数在区间的值域是综上，函数的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数的值域. 解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即：令：，即：    ①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：    ②即：，即：，即：即：，即：，即：   ③将①式代入③式得：当时，函数达到极大值. 极大值为：函数的导函数为：⑴当区间时，，函数单调递增. 故：即：函数在本区间的值域是.⑵当区间时，，函数单调递减. 故：即：函数在本区间的值域是.综上，函数的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数的值域.解析：函数的定义域是：. 则函数为：（当时取负号，当时取正号）于是函数的极值在：  即：即：，即：⑴在区间，函数的极值为：在区间的边界有：故：函数在该区间的值域是.⑵在区间，函数，为单调递减函数. 故有：；故：函数在该区间的值域是. 综上，函数的值域是.  本题方法属“单调性法”5、已知函数（其中）的值域是，求实数.解析：函数的定义域为.将函数变形为：，即：其判别式不等式为：即：    ①而函数的值域是，即：，即：     ②对比①②两式得：，，即，因，故：故：实数，. 此法称为“判别式法”.6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.解析：首先设，代入得：，即：，则： ⑴当时，由均值不等式，即：得：则：⑵当时，由均值不等式，即：得：则：⑶当时，由均值不等式，即：代入已知条件， 得：则：故：由⑴、⑵、⑶得，的最小值是.本题先确定均值，然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：，求：的最小值.解析：由已知条件得： 代入得：即：令：，则方程变为：采用判别式法得：，即：，即：故：的最小值是. 此题采用的是“判别式法”8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.解析：首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减.⑴当时，为单调递减函数，即：.故：是最大值为，是最小值为. 即： 即：   （*）（*）两式相减得：，即：     ①则: ，即：   ②（*）两式相加得：将①②式代入后化简得：    ③由①③得：，. 则区间为.⑵当、时，的最大值是，即：.i.若，则的最小值为：，即：，解之及可得：，故此时区间为.ii.若则的最小值为：，即：，则：. 不符合题设，即此时无解.⑶当时，由是一个偶函数可得：，故：是最小值为，是最大值为，即：即：则：为一元二次方程的两个根，由韦达定理得：，则由得：异号，不符合题设，即此时无解.综上，区间为或. 本题采用“分别讨论法”和“极值法”.9、已知：，求函数的最大值.解析：由可知，函数的定义域是：，有均值不等式，即：即：即：当时，，，即可以取到不等式的等号。故：函数的最大值是. 本题采用，称为“均值不等式”.10、求函数：的最小值.解析：函数其定义域为：令：，则：，，于是：当时，，即：，即：，则：所以，是可以取到的. 故的最小值是.正是由于时，函数取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设，代入，后得：即： ，即：，即：，即：，这两个结果分别对应于的极小值和的极大值.本题采用的是“向量法”.11、求函数：的值域.解析：先求函数的定义域. 定义域为：本题采用判别式法解题.由等价变形为：即：式上面方程有解得判别式是：即：，即：故：函数的值域为. 此法称为“判别式法”本题亦可以采用换元法和配方法来做.令：，则，于是：当时，即：当时，达到极小值. 此法就是“换元配方法”.12、已知实数满足和，求的最小值. 解析：由已知得：   ①          ②则由柯西不等式得：    ③将①、②代入③得：即：，即：即：    ④其判别式为：故：方程等号下的两根为：则：根据柯西不等式等号成立的条件得：代入①式得：，即：    ⑤代入②式得：，即：    ⑥由⑤⑥两式得：，即：即：，即：即：，即：，即：则：⑴，此时：；此为最大值.⑵，此时：所以，的最小值为. 此题解法为“柯西不等式”.13、求函数：的最小值. 解析：待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即：     ①则：令：，，则：，故：设，则：，，     ②则：     ③ 将②、③代入①得：     ④柯西不等式①中，等号成立的条件是：即：，则：则： ，即：即：，即：将和代入得：即：，即：于是：当，时，柯西不等式④中，等号成立.即：的最小值是.本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.14、已知：，求函数：的最小值. 解析：函数的定义域为：，由均值不等式，即：得：即：，则：当时，即：、时，.故：函数的最小值是. 此法采用“均值不等式法”.15、已知点在椭圆上，求的最大值. 解析：函数的定义域为：，由柯西不等式得：即：，即：由柯西不等式的等号成立的条件得：，即：代入得：，即：，即：则：，于是，⑴ 当，时，⑵ 当，时，所以，函数的最大值是. 此法是用“柯西不等式”.本题也可以采用“权方和不等式”即：，即：此法为“权方和不等式”.16、求函数：的值域. 解析：函数的定义域是：.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即： ①令：，则：   ②由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：，即：，即：，则：   ③将②代入③得：函数的极值为：⑴ 在区间，函数单调递增，故：于是，函数在该区间的值域是.⑵ 在区间，函数单调递减，故：于是，函数在该区间的值域是.综上，函数的值域是.此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.17、求函数：的值域. 解析：函数的定义域是：. 本题采用判别式法.令：     ① 则：          ②即：，即：即：      ③由③的判别式得：即：，即：，即：故：或，即：或由于②式即的条件必须那满足，故.此时，，函数的值域为. 此法为“判别式法”.18、求：的最大值. 解析：由均值不等式得：所以,两边相加得：在时，，即不等式的等号可以取到.故:的最大值为. 此法为“均值不等式”.19、设：为正实数，且满足，试求：的最小值. 解析：由均值不等式得：……不等式两边分别相加得：即：当时，，即不等式的等号可以取到.故：的最小值是. 此法为“均值不等式”.20、已知为正实数，且满足，求：的最大值. 解析：由由柯西不等式得：即：故：因此，的最大值是. 此法为“柯西不等式”.21、设为锐角，求：的最小值. 解析：将与通分，并与最后一项合并得：   ①由得：代入①式得：   ②再由辅助角公式得：代入②式得：        ③由③式及为锐角，当达到最大值时，达到最小值，即：当时，.故，当时，达到最小值，最小值为.此法为“辅助角公式法”.22、设为锐角，求证：. 解析：因为为锐角，函数定义域为：，所以，构造函数：则函数的导函数为：因为：，，，所以：即：在定义域区间，函数为单调递增函数，故：，即：.  证毕.23、已知为正实数，求证：. 解析：采用待定系数法解本题：令：，（），则：，于是，即：     ①令：，则代入得：，即：，即：将，代入①式得：.  证毕.此法为“待定系数法”.另一种方法：参数法令：，，代入得：即证：，即证：，即证：即证：而这是显然成立的.   证毕.