浙江省宁波市慈溪市3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

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浙江省宁波市慈溪市3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题
三、解答题
51．（2019·浙江宁波·八年级期末）解不等式，并利用数轴确定该不等式组的解.

52．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图已知的三个顶点坐标分别是，，.
（1）将向上平移4个单位长度得到，请画出；
（2）请画出与关于轴对称的；
（3）请写出的坐标，并用恰当的方式表示线段上任意一点的坐标.

53．（2019·浙江宁波·八年级期末）已知，为直线上一点，为直线外一点，连结.
（1）用直尺、圆规在直线上作点，使为等腰三角形（作出所有符合条件的点，保留痕迹）.
（2）设，若（1）中符合条件的点只有两点，直接写出的值.

54．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

55．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点.点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间设为秒.

（1）求点的坐标；
（2）求下列情形的值；
①连结，把的面积平分；
②连结，若为直角三角形.
56．（2019·浙江宁波·八年级期末）小明和小津去某风景区游览.小明从明桥出发沿景区公路骑自行车去陶公亭，同一时刻小津在霞山乘电动汽车出发沿同一公路去陶公亭，车速为.他们出发后时，离霞山的路程为，为的函数图象如图所示.
        
（1）求直线和直线的函数表达式；
（2）回答下列问题，并说明理由：
①当小津追上小明时，他们是否已过了夏池？
②当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有多少千米？
57．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，，，于，于，交于.
（1）求证：；
（2）如图1，连结，问是否为的平分线？请说明理由.
（3）如图2，为的中点，连结交于，用等式表示与的数量关系？并给出证明.

58．（2019·浙江宁波·八年级期末）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为.
（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？
（2）已知为优三角形，，，，

①如图1，若，，，求的值.
②如图2，若，求优比的取值范围.
（3）已知是优三角形，且，，求的面积.
59．（2021·浙江宁波·八年级期末）（1）化简：    （2）解不等式：
60．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图，点C是线段上一点，．
求证：．

61．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，点D在边的延长线上．完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作边的中点M．
（2）作，且点E在线段的延长线上．

62．（2021·浙江宁波·八年级期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第二象限，点位于第三象限，且a为整数．
（1）求点A和点B的坐标．
（2）若点为x轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求m的值．
63．（2021·浙江宁波·八年级期末）已知与x成正比例，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
（3）当时，y的最小值为4，求m的值．
64．（2021·浙江宁波·八年级期末）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司购买A型号和B型号垃圾分拣机器人共60台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍．
（1）该垃圾处理厂最多购买几台A型号机器人？
（2）机器人公司报价A型号机器人6万元/台，B型号机器人10万元/台，要使总费用不超过510万元，则共有几种购买方案？
65．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图1，是等边三角形，为上两点，且，延长至点F，使，连结．
（1）如图2，当两点重合时，求证：．
（2）如图3，延长交线段于点G．
①求证：．
②求的度数．

66．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
（1）求直线的函数表达式．
（2）若点D在线段上．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②当与的面积相等时，求线段的长．
（3）若为直角三角形，请直接写出点D的坐标．

67．（2022·浙江宁波·八年级期末）解一元一次不等式组：．
68．（2022·浙江宁波·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示．

(1)请画出关于y轴对称的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）；
(2)写出点，，的坐标．
69．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：
（1）；  （2）；   （3）；  （4）．
请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明．

70．（2022·浙江宁波·八年级期末）已知一次函数的图象过，两点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当时，写出y的取值范围，请说明理由．
71．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，于点．

(1)用直尺和圆规作于点．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所画的图中，若．求证：．
72．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，在等边中，，点E，F分别为AB，BC的中点，点P从点C出发沿CA的方向运动，到点A停止运动，作线PF，记，点E到直线PF的距离．

(1)按照下表中x的值补填完整表格（填准确值）：
x
0
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
4
y

1.92
1.98

1.92
1.73
1.51
1.31


(2)在坐标系中描出补全后的表中各组数值所对应的点，用光滑曲线连接；并回答变量y是x的函数吗？为什么？
(3)根据上述信息回答：当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
73．（2022·浙江宁波·八年级期末）甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）．设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）．根据图1、图2的信息，解答下列问题：

(1)分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；
(2)求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；
(3)补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标．
74．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，，分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点落在所在平面内的点处．

(1)如图1，点在的内部，若，，求的度数．
(2)如图2，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求折痕的长．
(3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点，且，，求此时的长．







【答案】
51．，在数轴上的表示见解析．
【分析】先分别求出两个不等式的解，再利用数轴确定它们解的公共部分，即可得出不等式组的解集．
【详解】
不等式①，移项合并同类项、系数化为1得
不等式②，去分母得
去括号得
移项合并同类项、系数化为1得
将不等式①、②的解在数轴上表示如下：

故原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟记不等式组的解法是解题关键．
52．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）的坐标为；线段上任意一点的坐标为，其中．
【分析】（1）先利用平移的性质求出的坐标，再顺次连接即可得；
（2）先利用轴对称的性质求出的坐标，再顺次连接即可得；
（3）由（1）中即可知的坐标，再根据线段所在直线的函数表达式即可得．
【详解】（1）向上平移4个单位长度的对应点坐标分别为，即，顺次连接可得到，画图结果如图所示；
（2）关于y轴对称的对应点坐标分别为，顺次连接可得到，画图结果如图所示；
（3）由（1）可知，的坐标为
线段所在直线的函数表达式为
则线段上任意一点的坐标为，其中．

【点睛】本题考查了画平移图形、画轴对称图形、点坐标的性质等知识点，依据题意求出各点经过平移、轴对称后的对应点的坐标是解题关键．
53．（1）图见解析；（2）n的值为90．
【分析】（1）分和AB与MN不垂直两种情况，①当时，以点A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，则是符合条件的点；②当AB与MN不垂直时，分别以A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，再以B为圆心，BA为半径画弧，交MN于点，则是符合条件的点；
（2）由（1）即可知，此时有，据此即可得出答案．
【详解】（1）依题意，分以下2种情况：
①当时，以点A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，则是符合条件的点，作图结果如图1所示；
②当AB与MN不垂直时，分别以A为圆心，AB为半径画弧，交MN于两点，再以B为圆心，BA为半径画弧，交MN于点，则是符合条件的点，作图结果如图2所示；
（2）由题（1）可知，此时有
则
故此时n的值为90．

【点睛】本题考查了圆的尺规作图、直尺画线段、等腰三角形的性质等知识点，易出错的是题（1），理解题意，分两种情况讨论是解题关键，勿受题中示意图的影响，出现漏解．
54．利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．
【详解】分析：
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在△ABD与△ACE中，∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD=AE．
55．（1）点C的坐标为；（2）①t的值为2；②t的值为或．
【分析】（1）联立两条直线的解析式求解即可；
（2）①根据三角形的面积公式可得，当BP把的面积平分时，点P处于OA的中点位置，由此即可得出t的值；
②先由点C的坐标可求出，再分和两种情况，然后利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由题意，联立两条直线的解析式得
解得
故点C的坐标为；
（2）①直线，令得，解得
则点A的坐标为，即
当点P从点O向点A运动时，t的最大值为
BP将分成和两个三角形
由题意得，即
则，即此时，点P为OA的中点

，符合题意
故t的值为2；
②由（1）点C坐标可得
若为直角三角形，有以下2中情况：
当时，为等腰直角三角形，且
由点C坐标可知，此时，则
故，且，符合题意
当时，为等腰直角三角形，且
由勾股定理得
故，且，符合题意
综上，t的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
56．（1）直线OC的函数表达式为；直线AB的函数表达式为；（2）①当小津追上小明时，他们没过夏池，理由见解析；②当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有15千米，理由见解析．
【分析】（1）先根据点C的纵坐标和电动汽车的车速求出点C的横坐标，再分别利用待定系数法即可求出两条直线的函数表达式；
（2）①联立题（1）的两个函数表达式，求出小津追上小明时，y的值，再与比较即可得出答案；
②由题（1）知，当小津到达陶公亭时，，代入直线AB的函数表达式求出此时y的值，由此即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，当小津到达陶公亭时，所用时间为
则点C的坐标为
由函数图象，可设直线OC的函数表达式为
将点代入得，解得
故直线OC的函数表达式为
由函数图象可知，点A、B的坐标为
设直线AB的函数表达式为
将代入得，解得
故直线AB的函数表达式为；
（2）①联立，解得
则当小津追上小明时，他们离霞山的距离为
又因夏池离霞山的距离为
故当小津追上小明时，他们没过夏池；
②由（1）知，当小津到达陶公亭时，
将代入直线AB的函数表达式得
则小明离陶公亭的距离为
答：当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有15千米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，正确求出函数表达式是解题关键．
57．（1）证明见解析；（2）是的平分线，理由见解析；（3），证明过程见解析．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可求出，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图1（见解析），过点D分别作，由题（1）两个三角形全等可得，再根据三角形全等的判定定理与性质，最后根据角平分线的判定即可得出结论；
（3）如图2（见解析），连接BR，先根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质可得，从而可求得，再根据勾股定理可得，最后根据等腰三角形的性质、等量代换即可得出答案．
【详解】（1）

是等腰直角三角形，且

（等腰三角形的三线合一性）
在等腰中，

在和中，

；
（2）是的平分线，理由如下：
如图1，过点D分别作，则
由（1）已证：
，即
在和中，


是的平分线；
（3），证明过程如下：
如图2，连接BR
由（1）已证：是等腰直角三角形，
为底边的中点
（等腰三角形的三线合一性）
是AB的垂直平分线






则在中，

故．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
58．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a的值为；②k的取值范围为；（3）的面积为或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根据优三角形的定义列出的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB的长及面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x的值，即可得出的面积．
【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a，恰好是第三边a的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①

根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当时，，整理得，此方程没有实数根
当时，，解得
当时，，解得，不符题意，舍去
综上，a的值为；
②由题意得：均为正数
根据优三角形的定义，分以下三种情况：（）
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
当时，则
由三角形的三边关系定理得
则，解得，即
故此时k的取值范围为
综上，k的取值范围为；
（3）如图，过点A作，则
设



是优三角形，分以下三种情况：
当时，即，解得
则
当时，即，解得
则
当时，即，整理得，此方程没有实数根
综上，的面积为或．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
59．（1）；（2）
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则和加减法则直接计算即可得到答案，
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1，即可得到答案．
【详解】（1）


   
（2）
去分母得：
去括号得：
移项、合并同类项得：
系数化1得：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，及一元一次不等式的解法．
60．证明见解析
【分析】根据平行线性质可证得，结合题意用SAS直接证明，根据全等三角形性质得出结论．
【详解】证明：，

在和中
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用SAS直接证明是解题关键．
61．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可．
（2）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可．
【详解】（1）如图：
    
作法：分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，四弧相交于两点，连接此两点的直线与AB的交点M即为AB的中点．
（2）如图：

作法：分别以A、D为圆心，等长为半径画弧，分别与两边交于点M、N，交CD于点F，再以点F为圆心，MN长为半径画弧，该弧与以点D为圆心，等长为半径所画弧交于点G，连接DG并延长与AC交于点E，则．
【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图法，和作一个角等于已知角的方法是解题关键．
62．（1）；（2）或
【分析】（1）根据点A位于第二象限，点B位于第三象限， 可得到，再根据a为整数，求解即可；
（2）根据题干可知，设垂足为D，利用勾股定理可求得CD，进而可求出m的值．
【详解】解：（1）由题意得，
解得，
∵为整数，
∴，
∴；
（2）由题意知，轴，假设点C(m，0)位置如图，交x轴于点D，

∴D(-4，0)，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质及绝对值的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
63．（1）；（2）不在，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正比例函数的定义解题；
（2）将点的横坐标代入（1）中函数关系式，解得y的值，判断是否与点的纵坐标相等，据此解题；
（3）根据（1）中正比例函数的增减性解题即可．
【详解】解：（1）设，
把代入上式，
得，
关于x的函数表达式为；
（2）不在，理由如下：
当时，，
不在函数的图象上；
（3）随x的增大而减小
∴当时，

解得．
【点睛】本题考查正比例函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
64．（1）25台；（2）3种
【分析】（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的1.4倍”列出不等式求解即可；
（2）根据“总费用不超过510万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和x为整数，即可得出共有3种方案．
【详解】解：（1）设该垃圾处理厂购买x台A型号机器人．
由题意得，
解得，
∴该垃圾处理厂最多购买25台A型号机器人；
（2），
解得，
，且x为整数，
或24或25，
答：共有3种购买方案．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．能根据题中不等关系列出不等式是解题关键．
65．（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由，，当两点重合时，可知点为等边三角形边的中点，由三线合一性质，得，由此解得，最后根据等角对等边解题即可；
（2）①作交于H，连接，由平行线性质解得，继而证明是等边三角形，从而得到，接着证明，最后由全等三角形对应边相等的性质解题即可；
②由①中全等三角形对应角相等可得，结合角的和差解题即可．
【详解】证明：（1）是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图，作交于H，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
②



【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
66．（1）；（2）①，②；（3）或．
【分析】（1）把点代入，求解 可得直线为，把点代入，求解，可得，再利用待定系数法求解直线的函数表达式即可；
（2）①如图，过点A作轴于点H，先求解，再求解可得 从而可得答案；②由，证明，从而可得点D为的中点，再利用中点坐标公式求解 从而可得答案；
（3）由对折可得： 可得为直角三角形，分两种情况讨论：当时，过作于 证明从而可得答案，如图，当时，先求解 可得 设 则 再利用勾股定理求解,再求解 即可得到答案．
【详解】解：（1）把点代入，


∴直线为
把点代入，得

把代入得，


直线的函数表达式．
（2）①如图，过点A作轴于点H，则，


点坐标为

②

即
而

点D为的中点
，
当时，




即

（3）由对折可得：
为直角三角形，分两种情况讨论：
当时，
如图，由对折可得：


过作于




如图，当时，
由对折可得：


由两点坐标可得：
设 则




．
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
67．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
68．(1)见解析；
(2)A’(-1,3)，B’(-3,0)，C’(-4,4)

【分析】（1）先确定点A、B、C关于y轴对称的点的坐标，然后顺次连接即可；
（2）根据点在坐标系中的位置，直接得出点的坐标即可．
（1）
解：如图所示，∆A’B’C’即为所求；

（2）
解：由图可得：A’(-1,3)，B’(-3,0)，C’(-4,4)．
【点睛】题目主要考查作轴对称图形及坐标系中确定点的坐标，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键．
69．见解析（答案不唯一）
【分析】根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果，，，那么，进而证明，即可得（答案不唯一）
【详解】如果，，，那么.
证明：∵，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了命题，三角形全等的性质与判定，理解题意写出命题是解题的关键．
70．(1)y=-x+3
(2)，理由见解析

【分析】（1）根据待定系数法，即可得到一次函数的表达式；
（2）根据一次函数的性质，即可得到y的取值范围．
(1)
解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象过A（1，2），B（-1，4）两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-x+3；
(2)
∵k=-1