浙江省宁波市鄞州区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

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浙江省宁波市鄞州区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题
三、解答题
51．（2019·浙江宁波·八年级期末）解不等式（组）
(1)
(2)
52．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点B和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．

53．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE=CD，AD，BE相交于点O．

（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD=45°，求∠ADC的度数．
54．（2019·浙江宁波·八年级期末）某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
(1)写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
(2)购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
55．（2019·浙江宁波·八年级期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．
A. ①一定是“方倍三角形”             B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形”         D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边，则该三角形的面积为___；
(3)如图，△ABC中，，，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求BC的长．

56．（2019·浙江宁波·八年级期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

(1)求点A、C的坐标；
(2)将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
57．（2021·浙江宁波·八年级期末）解不等式（组）
（1）
（2）
58．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连结．

（1）求直线的解析式和的面积；
（2）点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点的坐标．
59．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图：

（1）在图1中画出1个面积为3的，要求顶点是格点；
（2）在图2中画出1个面积为2的，要求顶点是格点；
（3）在图3中画出1个面积为4的等腰，要求顶点是格点．
60．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图1，长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设点运动的时间为（秒），的面积为，图2是关于的部分图象．

（1）填写下列表格：

…
2
5
10
14
20
…

…
6
_____
24
______
______
…

（2）请你在图2的直角坐标系中补充关于的函数图象；
（3）当的面积超过15时，求点运动的时间的取值范围．
61．（2021·浙江宁波·八年级期末）受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销.某药店准备购进一批医用口罩已知个型口罩和个型口罩共需元：个型口罩和个型口罩共需元
(1)求一个型口罩和一个型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共个，其中型口罩数量不少于个，且不多于型口罩的倍，有哪几种购买方案，哪种方案购进总费用最少？
62．（2021·浙江宁波·八年级期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．

63．（2021·浙江宁波·八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1，点、都在外部，连结和相交于点．
①判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
②若，，求的值．
（2）如图2，当点在内部，点在外部时，连结、，当，时，求的值．

64．（2020·浙江宁波·八年级期末）解不等式（组）
(1)；                      (2)
65．（2020·浙江宁波·八年级期末）如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照要求画图：
（1）在图①中画出2个以AB为腰且底边不等的等腰△ABC，要求顶点C是格点；
（2）在图②中画出1个以AB为底边的等腰△ABC，要求顶点C是格点．

66．（2020·浙江宁波·八年级期末）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头．小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表（漏出的水量精确到1毫升），已知用于接水的量筒最大容量为100毫升．
时间t（秒）
10
20
30
40
50
60
70
量筒内水量v（毫升）
4
6
8
10
12
14
16

（1）在图中的平面直角坐标系中，以（t,v）为坐标描出上表中数据对应的点；

（2）用光滑的曲线连接各点，你猜测V与t的函数关系式是______________．
（3）解决问题：
①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升；
②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时，所需时间是_____秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升．
67．（2020·浙江宁波·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+m过点A（5，—2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD//x轴，交y轴于点D．
（1）求点B、C的坐标；
（2）在线段AD上存在点P，使BP+ CP最小，求点P的坐标．

68．（2020·浙江宁波·八年级期末）如图，点C为线段BD上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形．AD与CE交于点F，BE与AC相交于点G．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若CF+CG=8，BD=18，求△ACD的面积．

69．（2020·浙江宁波·八年级期末）某校八年级举行数学趣味竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元． 根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．
（1）求A笔记本数量的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省？最省费用是多少元？
70．（2020·浙江宁波·八年级期末）定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形；
（2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积；
（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
     







【答案】
51．(1)
(2)不等式组的解集为

【分析】（1）先去括号、移项得到10x+6≤x-3+6x，然后合并后把x的系数化为1即可；
（2）分别解两个不等式得到x≤1和x＞-2，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再用数轴表示出来；
(1)
去括号得10x+6≤x-3+6x，
移项得10x-x-6x≤-3-6，
合并得3x≤-9，
系数化为1得x≤-3；
(2)

解①得x≤1，
解②得x＞-2，
所以不等式组的解集为-2＜x≤1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
52．（1）点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；（2）5．
【分析】（1）根据点A的坐标为（0，3），得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；根据平面直角坐标系直接得出点B和点C的坐标；
（2）借助网格图得出各个边的长度，即可算出周长，根据各边长度的关系，证得△ABC是直角三角形，即可求出面积.
【详解】解：（1）如右图所示，
点B的坐标是（﹣3，﹣1），点C的坐标为（1，1）；
（2）由图可得，
△ABC的面积是：4×4﹣=5．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的相关概念和面积计算，学会综合运用是关键.
53．（1）见解析；（2）∠ADC=105°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，再根据SAS即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可求出∠BOD的度数，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，
在△ABE与△CAD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=∠CAD +∠BAO=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠OBD+∠BOD=45°+60°=105°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题目，熟练掌握上述知识是解答的关键．
54．(1)（）
(2)购买A笔记本5本，B笔记本25本时，费用最少为260元

【分析】（1）根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系，即可表示出B种笔记本的数量，然后乘各自对应的单价求和即可写出w与n的函数关系式，然后根据A种笔记本与B种笔记本的数量关系列出不等式求解即可；
（2）根据n的取值范围和一次函数的增减性，即可求出．
(1)
由题意可知：，
∴，
又∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．
∴，解得，
答：w（元）关于n（本）的函数关系式为（）．
(2)
，
∵，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，w取到最小值为260元．
购买B笔记本的数量为：（本）．
答：购买A笔记本5本，B笔记本25本时，费用最少为260元．
【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握题中的各个量之间的关系列出函数关系式、并利用一次函数的增减性求函数的最值是解决此题的关键．
55．(1)A
(2)
(3)

【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定义对等边三角形和直角三角形分别判断即可；
(2)根据勾股定理和“方倍三角形”的定义求得直角三角形的三边长，即可求得直角三角形的面积；
(3)根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，即可求得结论．
（1）
对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故选：A
故答案为：A；
（2）
设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足，
根据“方倍三角形”定义，还满足：，
联立解得，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）
由题意可知：，
∴，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
∴，
∴△ABD为等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴，
∴．
延长BP交AD于点E，如图，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
56．(1)A（2，0），C（0，4）
(2)
(3)存在，（0，0），（），（－）

【分析】（1）已知直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出AD长，即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
(1)
解：当x=0时，y=4，
∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
(2)
解：由折叠知：．设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得  解得：
∴设直线CD解析式为
(3)
解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，

由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，

由得：   
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图

由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理

∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）
【点睛】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定．
57．（1）x≤-7；（2）x＜-6
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤依次计算可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】（1），
去分母得：，
移项得：，
解得：x≤-7；
（2），
由①得：x＜-6，
由②得：，
∴不等式组的解为：x＜-6．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
58．（1）直线AB的解析式为：，S△OBC；（2）点的坐标为（1，1）或（3，-1）．
【分析】解：（1）过C作CD⊥y轴于D，设直线的解析式为：，直线AB过B、C两点，把B、C坐标代入直线得：，解方程组得：，直线AB的解析式为：，由点C与B坐标可求CD=1，OB=2，利用面积公式可求S△OBC=；
（2）∵点为直线上一动点，求出A点坐标和OA=2，设点P的横坐标为x，纵坐标为-x+2，由的面积与的面积相等，构造方程，当，P（1，1）；当时，P（3，-1），综合即可．
【详解】解：（1）过C作CD⊥y轴于D，
设直线的解析式为：，
过B、C两点，把B、C坐标代入直线得：
，
解方程组得：，
直线AB的解析式为：，
∵点，点，
∴CD=1，OB=2，
S△OBC=；
（2）∵点为直线上一动点，
当y=0时，，x=2，OA=2，
设点P的横坐标为x，纵坐标为-x+2，
∵的面积与的面积相等，
∴S△AOP=，S△OBC，
∴，
，
当，x=1，
，
P（1，1），
当时，x=3，
，
P（3，-1），
的面积与的面积相等时点的坐标P（1，1）或（3，-1）．

【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，以及面积相等时动点P坐标问题，掌握直线解析式求法，三角形面积公式，以及利用面积相等构造一元一次方程求动点P坐标是解题关键．
59．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）直接利用三角形的面积公式，得出符合题意的答案；
（2）直接利用直角三角形的定义得出符合题意的答案；
（3）直接利用等腰三角形的定义得出符合题意的答案．
【详解】（1）如图1，点C即为所求；
（2）如图2，点C即为所求；
（3）如图3，点C即为所求．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形，直角三角形与作图，正确掌握等腰三角形和直角三角形的定义是解题关键．
60．（1）15，24，6；（2）见详解；（3）．
【分析】（1）根据点的位置，利用三角形面积公式写出与的函数关系，把表中的值代入求解即可；
（2）根据（1）中所得与的函数关系，在自变量取值范围内画出图像即可；
（3）把代入到与的函数关系式， 即可求出的取值范围．
【详解】解：在矩形中，，，
，
（1）当点在上，即 时， ，，
，
当时，，
当点在上，即时，，
，
∴当时，，
当点在上，即时， ， ，
当时，，
故答案为：15，24，6；
（2）由（1）知： ，
画出与的图像，如图2所示

（3）把代入，得，
把代入 得， ，解得，
当的面积超过15时，点运动的时间的取值范围为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图像，解答本题时注意分类讨论思想、数形结合思想、方程思想的运用．
61．（1）一个A型口罩和一个B型口罩的进价分别是2元，8元；（2）购进A型口罩66个，B型口罩34个时购进费用最少
【分析】（1）设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元，根据“个型口罩和个型口罩共需元：个型口罩和个型口罩共需元”列方程组求解即可；
（2）设A型口罩a个，根据“A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍”确定a的取值范围，即可求解．
【详解】解：（1）设一个A型口罩、一个B型口罩进价分别为x元、y元.依题得：
，解得：，
答：一个A型口罩和一个B型口罩的进价分别是2元，8元．          
（2）设A型口罩购进a个，则B型口罩购进（100-a）个；
依题有：，解得：64≤a≤66，           
∵a为整数
∴a=64，65，66三种方案，即：
方案一：购进A型口罩64个，B型口罩36个；
方案二：购进A型口罩65个，B型口罩35个；
方案三：购进A型口罩66个，B型口罩34个；                      
∵一个A型口罩比一个B型口罩便宜，
∴A型口罩多进时购进费用少，
即：购进A型口罩66个，B型口罩34个时购进费用最少．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
62．（1）此三角形是平方倍三角形，理由见详解；（2）1：1：；（3）或
【分析】（1）根据平方倍三角形的定义判断，即可；
（2）结合勾股定理和平方倍三角形的定义，列出等式，进而即可得到答案；
（3）先根据直角三角形的性质，可设：CD=AB=AD=BD=x，再根据平方倍三角形的定义，分两种情况：①当，②当，分别求解，即可．
【详解】（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：
∵，满足是平方倍三角形的定义，
∴三边长分别是，和2的三角形是平方倍三角形；
（2）在Rt∆ABC中，如图所示，则①，
∵Rt∆ABC是平方倍三角形，
∴②，
把①代入②得：，即：a=b，
把a=b代入①得：c=，
∴该直角三角形的三边之比=1：1：；

（3）∵中，，为的中线，
∴CD=AB=AD=BD，
设CD=AB=AD=BD=x，则AB=2x，
∵AB＞BC，
∴2x＞5，即：x＞，
∵是平方倍三角形，
①当，则，解得：，
∴AB=2x=，AC=，
∴的面积=，
②当，则，解得：，
∴AB=2x=，AC=，
∴的面积=，
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查的是勾股定理、平方倍三角形的定义，熟练掌握勾股定理以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
63．（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由见详解；②14；（2）22
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CFG＝∠BAG＝90°，根据垂直的定义解答；②由，，可得BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，进而即可求解；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，设DG=x，CG=y，EG=z，利用勾股定理可得= DE2+ BC2，进而即可求解．
【详解】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由如下：
设BD与AC交于点G，如图，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE；

②，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，
∵BD⊥CE，
∴= BC2+ DE2=8+6=14；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，
同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，
∵，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=18，DE2=2AD2=4，
设DG=x，CG=y，EG=z，则在Rt∆DEG中，x2+z2= DE2=4，在Rt∆BCG中，（x+y+z）2+y2= BC2=18，在Rt∆CDG中，x2+y2= CD2，在Rt∆BEG中，（x+y+z）2+z2=BE2，
∴=（x+y+z）2+z2+ x2+y2= DE2+ BC2=4+18=22．

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
64．（1）；（2）
【分析】（1）不等式两边同时乘以6，化简计算即可
（2）分别求解两个不等式的取值，再把取值范围合并
【详解】（1）解：3x-2x>6
x>6；
（2）解：
∴2≤x<8
【点睛】本题考察了不等式以及不等式组的简单运算，属于解不等式（组）的基础运算，注意细心即可
65．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）以A或者B为原点，再作与线段AB相等的线段与格点相交于C，连接ABC 三点即可；
（2）作线段AB的中线，中线与格点相交于C，连接ABC 三点即可．
【详解】解：（1）

此为所有存在的答案，取其中2个即可．
（2）

此为所有存在的答案，取其中1个即可．
【点睛】本题考察了几何画图的能力，掌握等腰三角形的性质，按题意作图即可．
66．（1）答案见解析；（2）；（3）①2；②490，,360．
【分析】（1）根据每个点（t，v）的值作点
（2）根据作图猜测V与t的函数关系是二元一次方程，代入点求解即可得出具体函数关系式
（3）根据V与t的函数关系式，分别得出①②③的解
【详解】解：（1）

（2）设 ，分别代入（10,4）、（20,6）求解得
（3）
①令t=0，V=2
②令V=100，t=490
③令t=1800，V=362，
【点睛】本题考察了坐标作图、二元一次方程的猜想及证明、代入求解，属于二元一次方程关系式作图类题目
67．（1），；（2）．
【分析】（1）代入点A(5,-2)求出m的值，分别代入y=0和x=0，求出点B、C的坐标
（2）过C作直线AD对称点Q，求出直线BQ的方程式，代入y=-2，即可求出点P的坐标
【详解】（1）∵y=-x+m过点A(5,-2)，
∴-2=-5+m，
∴m=3
∴y=-x+3
令y=0，∴x=3，∴B(3，0)
令x=0，∴y=3，∴C(0，3)
（2）过C作直线AD对称点Q，可得Q(0，-7)  ，
连结BQ，交AD与点P，
可得直线BQ:
令y’= -2∴
∴

【点睛】本题考查了二元一次方程的求解以及动点问题，掌握作对称点的方法来使BP+ CP最小是解题的关键
68．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明∠BCE=∠DCA，再利用全等三角形判定定理（SAS）证明△ACD≌△BCE；
（2）过G,F作BD垂线段，分别交BD的垂线段GM,FN，证明△BCG≌△ACF，得出CG=CF=4，得出GM和FN的值，再代入面积公式求出△ACD的面积
【详解】（1）∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠DCA
∴△ACD≌△BCE
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，∴∠CBG=∠CAF
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，∴△BCG≌△ACF
∴，CG=CF，而CF+CG=8，∴CG=CF=4
过G,F作BD垂线段，分别交BD的垂线段GM,FN

又∵∠ACB=∠DCE=60°
∴GM=CG=2
FN=CF=2
∴
  =
=
=
=
=
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理以及三角形面积公式，本题关键在于证明△BCG≌△ACF，得出CG和CF的具体值，从而求出△ACD的面积
69．（1），且x为整数；（2）6，24，264．
【分析】（1）设A种笔记本购买x本，根据题意列出不等式组，解不等式组
（2）设购买总费用为y元，列出y与x的方程式，再根据X的取值范围来得出y的最小值
【详解】（1）设A种笔记本购买x本
∵
  ∴，且x为整数
（2）设购买总费用为y元
∴y=12x+8(30-x)=4x+240
∵y随x减小而减小，∴当x=6时，y=264
答：当购买A笔记本6本，B笔记本24本时，最省费用264元
【点睛】本题属于解不等式组的实际应用题，掌握不等式组的解法以及解不等式组的最值问题是解题的关键
70．（1）证明见解析；（2）；（3）△ADC是倍角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据题意证明△ABC是等腰三角形，得出三个内角的度数，得证△ABC 是锐角三角形
（2）分两种情况讨论，①当∠B=2∠C②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，求出△ABC面积
（3）证明△ABD≌△AED，从而证明CE=DE，∠C=∠BDE=2∠ADC，△ADC是倍角三角形
【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°
∴∠B=∠C=72°
∴∠A=2∠C
即△ABC是锐角三角形
（2）∵∠A>∠B>∠C，∠B=30°
①当∠B=2∠C,得∠C=15°
过C作CH⊥直线AB，垂足为H，

可得∠CAH=45°
∴AH=CH=AC=4．
∴BH=
∴AB=BH-AH=-4
∴S=
②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A>∠B>∠C矛盾，故不存在。
综上所述，△ABC面积为
（3）∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD
∵AB=AE，AD=AD，
∴△ABD≌△AED．
∴∠ADE=∠ADB，BD=DE．
又∵AB+AC=BD，
∴AE+AC=BD，即CE=BD．
∴CE=DE．
∴∠C=∠BDE=2∠ADC．
∴△ADC是倍角三角形．
【点睛】本题考察了全等三角形的判定定理、三角形面积公式以及倍角三角形的定义，根据题意给出的新定义求解是解题的关键