(新高考)高考数学一轮复习课时练习11.3《概率统计中的数学建模与数据分析》(含解析)

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第3讲　概率统计中的数学建模与数据分析
概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查．命题的重点有：
(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点．
(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对象做出理性的判断．


图表与概率交汇
(2020·合肥一中最后一卷)某公司为了增强职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机的计步截图，对于步数超过10 000的给予奖励．图(1)为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数折线统计图，图(2)为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．

(1)在这一周内任选两天，求甲、乙两人这两天全部获奖的概率；
(2)请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000 的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；
(3)如果图(2)中的频率分布直方图所记录的那天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
【解】　(1)由图(1)可知甲、乙两人步数均超过10 000的有星期一、星期二、星期五、星期日，共4天．
设事件A为甲、乙两人这两天全部获奖，
则P(A)＝＝.
(2)由题图(2)可知(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1，
解得m＝0.05，
所以该天运动步数不小于15 000的人数为(0.05＋0.03)×5×200＝80.
2．5×0.1＋ 7.5×0.2＋12.5×0.3＋17.5×0.25＋22.5×0.15＝13.25(千步)，
13．25千步＝13 250步，
所以估计全体职工在该天的平均步数为13 250步．
(3)130÷200＝0.65，40÷200＝0.2，
假设甲当天的步数为x千步，乙当天的步数为y千步．
方法一：由频率分布直方图可得

解得所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．
方法二：由频率分布直方图可得
解得所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．

统计与概率“搭台”，方案选择“唱戏”
破解此类频率分布直方图、分层抽样与概率相交汇的开放性问题的关键：一是活用性质，即利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得含参数的方程，从而达到求参数的目的；二是不混淆，即利用频率分布直方图求中位数与平均数时，注意区分其本质的不同，中位数左边和右边的直方图的面积相等，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．　
某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求这100位市民认可分数的中位数(精确到0.1)，平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；　
(2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率．
解：(1)由于[40，50)，[50，60)，[60，70)的频率分别有0.1，0.2，0.3.
故中位数位于[60，70)中，其值为60＋10×≈66.7.
平均数为10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)＝67.
(2)认可分数位于[80，90)的人数为10，认可分数位于[90，100]的人数为5，从认可分数位于[90，100]的5人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋4＝10，从认可分数位于[80，90)和[90，100]的15人中随机选择2人的基本事件数为1＋2＋3＋…＋14＝105.
故这2位宣传员都来自认可分数为[90，100]的概率为＝.

图表与独立性检验相交汇
(2020·河南6月适应性练习)人类非物质文化遗产是指经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目．它记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富．中国作为东方文明大国，截至2018年12月，中国列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录(名册)项目共计40项，总数位居世界第一．现已知某地有多项世界级非物质文化遗产，每年都有大批的游客前来参观学习，这也带动了当地旅游经济的发展．某土特产超市对某节日期间的90位游客购买情况进行了统计，得到如下频数分布表：
购买金额/元
[0，15)
[15，30)
[30，45)
[45，60)
[60，75)
[75，90]
购买人数
10
15
20
15
20
10
(1)根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄是否大于50岁有关；

不少于60元
少于60元
总计
年龄大于50岁

40

年龄不大于50岁
18


总计



(2)为吸引游客，该超市推出购买一定数额以上土特产即可抽奖赢取非物质文化遗产体验机会及返现的活动，凡是购买金额不少于60元的顾客可抽奖三次，每次中奖概率为p(080
销售量≤80
总计
A电商平台



B电商平台



总计



(2)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：(1)由题中数据可得2×2列联表如下：

销售量>80
销售量≤80
总计
A电商平台
2
8
10
B电商平台
6
4
10
总计
8
12
20
所以K2的观测值k＝≈3.333