高考数学一轮复习高考大题专项练六高考中的概率统计与统计案例含解析新人教A版文

高考大题专项练六　高考中的概率、统计与统计案例

一、非选择题

1.某工厂36名工人的年龄数据如下表:

(1)用系统抽样的方法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样的方法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;

(2)计算(1)中样本的平均值和方差s2;

(3)求这36名工人中年龄在区间(-s,+s)内的人数所占的百分比.

解:(1)把工厂36名工人的年龄数据分为9组,每组4人.

在第一分段里抽到的年龄数据44对应的编号为2,

故抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,

对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2)由(1)得,=40,

s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.

(3)由(2)得=40,s=,

则-s=36+s=43.

由表可知,这36名工人中年龄在区间(-s,+s)内共有23人,所占的百分比为×100%≈63.89%.

2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附:≈8.602.

解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.

产值负增长的企业频率为=0.02.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

(2)(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,

s2=ni(yi-)2=[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.0296,

s==0.02×≈0.17.

所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.

3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图.

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.

(1)若n=19,求y与x的函数解析式;

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?

解:(1)当x≤19时,y=3800;

当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.

所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4000×90+4500×10)=4050.

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

4.(2020全国Ⅲ,文18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

附:K2=,

解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为(100×20+300×35+500×45)=350.

(3)根据所给数据,可得2×2列联表:

根据列联表得K2=≈5.820.

由于5.820>3.841,故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

5.学业水平考试后,某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计,结果如下(人数):

已知英语、数学的优秀率分别为24%,30%(注:合格人数中不包含优秀人数).

(1)求a,b的值;

(2)现按照英语成绩的等级,采用分层抽样的方法,从数学不合格的学生中选取6人,若再从这6人中任选2人,求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.

解:(1)设该校高二学生共有x人,

已知英语优秀的有70+30+20=120(人),

依题意得=0.24,解得x=500.

故=0.3,解得a=20,

由学生总数为500人,得b=30.

(2)由题意得,在抽取的数学不合格的6人中,英语优秀的应抽取2人,分别记为a1,a2;英语合格的应抽取3人,分别记为b1,b2,b3;英语不合格的应抽取1人,记为c,

从中任取2人的所有结果有15种,

这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的基本事件有

{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共6种,

因此这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率为.

6.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

(3)根据(2)中的列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=.

解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:

①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(以上给出了4种理由,写出其中任意一种或其他合理理由均可)

(2)由茎叶图知m==80.

列联表如下:

(3)由于K2==10>6.635,所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两种生产方式的效率有差异.

7.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.

(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;

(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格:

回答下列问题:

①根据以上数据,设每名派送员的日工资为X(单位:元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差;

②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.

(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)

解:(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y=100+n,n∈N;

乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y=

(2)①由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,则

(152×20+154×30+156×20+158×20+160×10)=155.4(元),

[20×(152-155.4)2+30×(154-155.4)2+20×(156-155.4)2+20×(158-155.4)2+10×(160-155.4)2]=6.44.

乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,则

(140×50+152×20+176×20+200×10)=155.6,

[50×(140-155.6)2+20×(152-155.6)2+20×(176-155.6)2+10×(200-155.6)2]=404.64.

②答案一:由以上的计算可知,虽然,但两者相差不大,且远小于,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.

答案二:由以上的计算结果可以看出,,即甲方案日薪的平均数小于乙方案日薪的平均数,所以小明应选择乙方案.