2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习11.3《统计案例》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习11.3

《统计案例》

1.某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示45名同学的饮食指数.说明：图中饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类.

(1)从饮食指数在[10，39]中的女同学中选取2人，求恰有1人在[10，29]中的概率；

(2)根据茎叶图，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关，说明理由.

参考公式：K2=.

下面临界值表仅供参考：

2.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

3.某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”.

参考公式与临界值表：K2=.

4.近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作则可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我国人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录.近几年，雾霾来袭，对某市该年11月份的天气情况进行统计，结果如下表：

表一

对于此种情况，该市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调查机构对比以上两年11月份(该年不限行30天、次年限行30天，共60天)的调查结果：

表二

(1)请由表一中数据求a，b的值，并估计在该年11月份任取一天是晴天的概率；

(2)请用统计学原理计算，若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾？

(表中数据使用时四舍五入取整数)

5.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.

(1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关系；

(2)从上述支持节能降耗的中小型企业中按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业选出9家进行奖励，分别奖励中型企业50万元，小型企业10万元．设ξ为所发奖励的金额，求ξ的分布列和均值．

附：，n＝a＋b＋c＋d.

6.为了解中学生课余观看某档热门综艺节目是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的人数占女生总人数的，男生中喜欢看该节目的人数占男生总人数的.随后，该小组采用分层随机抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人，

(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；

(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少？

参考数据：

，其中n＝a＋b＋c＋d.

0.答案详解

1.解：(1)饮食指数在[10，39]中的女同学共有5人，选出2人共有10种情况，

恰有1人在[10，29]的情况有6种.

故所求概率为P==.

(2)2×2列联表如下：

由公式K2=，

计算得K2=0.562 5.

因为K2<2.706，所以没有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关.

2.解：(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，

从而估计甲厂生产的零件的优质品率为=72%；

乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，

从而估计乙厂生产的零件的优质品率为=64%.

(2)完成的2×2列联表如下：

由表中数据计算得K2的观测值

k=≈7.35＞6.635，

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异.”

3.解：(1)列联表如下：

(2)根据列联表中的数据，得到

K2=≈7.486＜10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.

4.解：(a)a=10，b=20，所求概率P==.

(2)设限行时有x天没有雾霾，则有雾霾的天数为30－x，

由题意得K2的观测值

K2=≤3，

代入数据化简得21x2－440x＋1 500≤0，x∈[0,30]，x∈N*，

即(7x－30)(3x－50)≤0，解得≤x≤，

所以5≤x≤16，且x∈N*，

所以若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有5～16天没有雾霾.

5.解:(1)因为从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为.所以支持技术改造的企业共有560×＝320(家)，故2×2列联表为

所以χ2＝≈5.657>3.841.

故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关系．

(2)由(1)可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的比为1∶3.所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是(0,9)，(1,8)，(2,7)，(3,6)．(前者为中型企业家数，后者为小型企业家数)

ξ的所有可能取值为90(万元)，130(万元)，170(万元)，210(万元)．

P(ξ＝90)＝＝，P(ξ＝130)＝＝，

P(ξ＝170)＝＝，P(ξ＝210)＝＝，

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝90×＋130×＋170×＋210×＝180(万元)．

6.解:(1)记重点分析的5人中喜爱看该节目的为a，b，c，

不爱看的为d，e，从5人中随机抽取2人，

样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，

则这两人都喜欢看该节目有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，

∴P＝，即这两人都喜欢看该节目的概率为.

(2)∵ 进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜爱看该节目的总人数为n，不喜爱看该节目的总人数为n；

设这次调查问卷中女生总人数为a，男生总人数为b，a，b∈N*，

则由题意可得2×2列联表如下：

易得 a＝n，b＝n，∴正整数n是25的倍数，设n＝25k，k∈N*，

则a＝12k，a＝4k，b＝3k，b＝6k，

则χ2＝＝k.由题意得k≥6.635⇒k≥1.59，

∵k∈N*，∴kmin＝2，故nmin＝50.

故参与调查的总人数n至少为50.