课时过关检测（六十五） 概率与统计中的数据分析与数学建模

这是一份课时过关检测（六十五） 概率与统计中的数据分析与数学建模，共6页。学案主要包含了星期二等内容，欢迎下载使用。


(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由．
(2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数m，并填写下面2×2列联表：
(ⅱ)如果规定职工成绩不低于m为优秀，根据(ⅰ)中的2×2列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
解：(1)由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下：
①男职工的成绩的中位数为85.5分，女职工的成绩的中位数为73.5分；
②男职工的成绩的平均数高于80分，女职工的成绩的平均数低于80分；
③男职工的成绩中，有75%的成绩不低于80分，女职工的成绩中，有75%的成绩低于80分；
④男职工的成绩分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，女职工的成绩的分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．因此，男职工的成绩更好．
(注：以上给出了4种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可)
(2)(ⅰ)由茎叶图可知m＝eq \f(79＋81,2)＝80,2×2列联表如表：
(ⅱ)由表中数据，得K2＝eq \f(40×15×15－5×52,20×20×20×20)＝10＞6.635，
所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关．
2．(2021·合肥一中一模)某公司为了增强职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30 上传手机的计步截图，对于步数超过10 000的给予奖励．图①为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数折线统计图，图②为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．
(1)在这一周内任选两天，求甲、乙两人这两天全部获奖的概率；
(2)请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000 的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；
(3)如果图②中的频率分布直方图所记录的那天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
解：(1)由图①可知甲、乙两人步数均超过10 000的有星期一、星期二、星期五、星期日，共4天．
设事件A为甲、乙两人这两天全部获奖，
则P(A)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,7))＝eq \f(2,7).
(2)由图②可知(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1，
解得m＝0.05，
所以该天运动步数不少于15 000的人数为(0.05＋0.03)×5×200＝80.
2．5×0.1＋7.5×0.2＋12.5×0.3＋17.5×0.25＋22.5×0.15＝13.25(千步)，
13．25千步＝13 250步，
所以估计全体职工在该天的平均步数为13 250步．
(3)130÷200＝0.65,40÷200＝0.2，
假设甲当天的步数为x千步，乙当天的步数为y千步．
法一：由频率分布直方图可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.03×5＋0.05×5＋15－x×0.06＝0.65，,0.03×5＋20－y×0.05＝0.2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(65,6)，,y＝19，))所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．
法二：由频率分布直方图可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.02×5＋0.04×5＋x－10×0.06＝1－0.65，,0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＋y－15×0.05＝1－0.2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(65,6)，,y＝19，))所以可判断作出的是星期二的频率分布直方图．
3．(2021·广东潮州二模)伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家制定的税收、担保贷款等多方面的政策的扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年创收的年利润y(单位：万元)与年份代码t的数据，列表如下：
(1)依据表中给出的数据，可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请通过计算相关系数r加以说明(计算结果精确到0.01)．(若|r|≥0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元．
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为eq \f(2,5)，中奖就可以获得100元现金奖励(假设顾客每次抽奖的结果相互独立)．
①某位顾客购买了1 050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率；
②某位顾客购买了2 000元的产品，作为专营店店主，希望该顾客是直接选择减免200元现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．
附：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2) \r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))＝
eq \f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\t(t)\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2)) .
参考数据：eq \r(56.95)≈7.547.
解：(1)依题意，得eq \x\t(t)＝3，eq \x\t(y)＝4.7，eq \i\su(i＝1,5,t)iyi＝85.2，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)＝eq \r(10)， eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)＝eq \r(22.78)，
则r＝eq \f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\t(t)\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2) \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(14.7,\r(227.8))＝eq \f(14.7,2\r(56.95))≈eq \f(14.7,15.094)≈0.97＞0.75，
故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
(2)①顾客选择参加两次抽奖，设“其获得100元现金奖励”为事件A.
则P(A)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(12,25).
②设X为顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，
所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,5)))，
所以E(X)＝4×eq \f(2,5)＝1.6.
由于顾客每中奖一次均可获得100元现金奖励，因此该顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.6×100＝160(元)．
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160元小于直接减免的200元，所以专营店店主希望顾客参加四次抽奖．
4．(2021·福州三检)某省将从2021年开始全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这2门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，即将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%，再按给定的公式进行转换赋分．
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)假设该省此次考试中高一年级学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36)．
已知若Y～N(μ，σ2)，令η＝eq \f(Y－μ,σ)，则η～N(0,1)，请解决下列问题：
①若以此次考试中高一年级学生生物学科原始分为C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分为多少分．(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省800名高一年级学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的个数，求P(ξ＝k)取得最大值时k的值．
附：若η～N(0,1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85.
解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,5)C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(10,120)＝eq \f(1,12)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(50,120)＝eq \f(5,12)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(50,120)＝eq \f(5,12)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(0,5),C\\al(3,10))＝eq \f(10,120)＝eq \f(1,12)，
则随机变量X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,12)＋1×eq \f(5,12)＋2×eq \f(5,12)＋3×eq \f(1,12)＝eq \f(3,2).
(2)①设该划线分为m分，由Y～N(75.8,36)得μ＝75.8，σ＝6，
令η＝eq \f(Y－μ,σ)＝eq \f(Y－75.8,6)，
则Y＝6η＋75.8.
依题意，P(Y≥m)＝0.85，
即P(6η＋75.8≥m)＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(η≥\f(m－75.8,6)))＝0.85.
因为当η～N(0,1)时，P(η≤1.04)≈0.85，
所以P(η≥－1.04)≈0.85，
所以eq \f(m－75.8,6)≈－1.04，故m≈69.56，取m＝70.
所以估计该划线分为70分．
②由①及参考数据得
P(Y≥71)＝P(6η＋75.8≥71)＝P(η≥－0.8)＝P(η≤0.8)≈0.788，
即每个学生这次考试生物学科的原始分不低于71分的概率约为0.788，
故ξ～B(800,0.788)，
P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,800)0.788k(1－0.788)800－k.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Pξ＝k≥Pξ＝k－1，,Pξ＝k≥Pξ＝k＋1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,800)0.788k1－0.788800－k≥,C\\al(k－1,800)0.788k－11－0.788801－k，,C\\al(k,800)0.788k1－0.788800－k≥,C\\al(k＋1,800)0.788k＋11－0.788799－k，))
解得630.188≤k≤631.188，
又k∈N，所以k＝631，
所以当k＝631时，P(ξ＝k)取得最大值．
不低于m的人数
低于m的人数
总计
男职工
女职工
总计
40
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
不低于m的人数
低于m的人数
总计
男职工
15
5
20
女职工
5
15
20
总计
20
20
40
t
1
2
3
4
5
y
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(5,12)
eq \f(5,12)
eq \f(1,12)