广西专用高考数学一轮复习高考大题专项练六高考中的概率统计与统计案例含解析

高考大题专项练六　高考中的概率、统计与统计案例

1.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:K2=,

解:(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下:

①由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

②由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

③由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.

因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可.

(2)由茎叶图知m==80.

列联表如下:

(3)因为K2==10>6.635,

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

2.(2020山东,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:

(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?

附:K2=,

解:(1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64.

(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:

(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

3.11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两名同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

答案:(1)证明X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.

(2)解事件“X=4且甲获胜”,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

4.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2·(1-p)18.

因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).

令f'(p)=0,得p=0.1.

当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;

当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知,p=0.1.

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),

X=20×2+25Y,

即X=40+25Y.

所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.

②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于E(X)>400,因此应该对余下的产品作检验.

5.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中wi=wi.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:

①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?

②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

解:(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.

因为=68,

=563-68×6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,

因此y关于x的回归方程为=100.6+68.

(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,

年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.

②根据(2)的结果知,年利润z的预报值

=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.

所以当=6.8,

即x=46.24时,取得最大值.

故当年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.

6.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

①试说明上述监控生产过程方法的合理性;

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

经计算得xi=9.97,s=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.

用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),

则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3.

0.997 316≈0.957 7,≈0.09.

解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,

故X~B(16,0.0027).

因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈0.0423.

X的数学期望为E(X)=16×0.0027=0.0432.

(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

②由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.

=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,

因此σ的估计值为≈0.09.