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浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列4个结论：①abc>0；②a+c>b；③4a+2b+c>0；④a+b≥am2+bm(m是任意实数).其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1
A. (0,2) B. (0,53) C. (0,43) D. (0,32)
4. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数，则满足关于x的方程x2+px+q=0有两个相等实数解的概率是( )
A. 13 B. 16 C. 112 D. 118
5. 四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为( )
A. 34 B. 1 C. 12 D. 14
6. 如图，在边长为1的小正方形组成的4×4网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为( )
A. 424 B. 15 C. 625 D. 825
7. 2019年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加考试，嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的概率是
A. 13 B. 29 C. 19 D. 59
8. 如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(−4,0)、B(0,3)，抛物线y=−x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=−x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是( )
A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3
9. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于(−3,0)，对称轴为x=−1.则下列结论：
①abc>0； ②4a+2b+c>0； ③3a+c=0；
④若(−32,y1)(12,y2)是图象上的两点，则y1>y2；
⑤若y≤c，则−2≤x≤0.其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.下列结论：①ac>0;②当x>0时，y随x的增大而增大;③3a+c=0;④b=2a.其中正确的是( )
A. ④ B. ③ C. ② D. ①
11. 以下说法合理的是( )
A. 小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B. 掷一枚骰子，掷出点6的概率是16，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6
C. 某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖
D. 甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为0.48和0.51
12. 有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷(每个方格面积相同)，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是( )
A. A B. B C. C D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动．在运动过程中，当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
14. 已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______．
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
15. 已知函数y=(3k+1)x+5(k为常数)，若从−3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而减小”的一次函数的概率为______．
16. 数轴上点A、B、C分别表示数2、4、6，在线段AC上任取一点P，使得点P到点B的距离不大于1的概率是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知，足球球门高2.44米，宽7.32米(如图1)在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD=4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系(如图2)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
(3)若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A′(如图3)，请直接写出m的取值范围．
18. (本小题8.0分)
如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5，OD=75，AD=12，AB=9．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)分别求出0≤x≤37.5和37.5
19. (本小题8.0分)
在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
20. (本小题8.0分)
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)．
(1)转动转盘一次，求转出的数字是−2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
21. (本小题8.0分)
小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
(1)对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
22. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=ax2+2x−1(a≠0)和直线l:y=kx+b(k≠0)，点A(−3,−3)，B(1,−1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围;
(2)当a=−1，二次函数y=ax2+2x−1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为−4，求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
23. (本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2−4ax+3+b(a≠0)．
(1)求出二次函数图象的对称轴；
(2)若该二次函数的图象经过点(1,3)，且整数a，b 满足4
24. (本小题8.0分)
在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数，a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)已知a=b=1，当x=p，q(p,q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若p+q=2，求证：P+Q>6．
25. (本小题8.0分)
已知二次函数y=mx2−4mx+3m(m≠0)．
(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标;
(2)若m<0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值;
(3)已知P(2,m+42)，Q(4,m+42)为平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解析：∵抛物线开口向下，
∴a<0；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b>0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①不符合题意；
当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，
∴b>a+c，所以②不符合题意；
当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，
∴a+b>m(am+b)，所以④符合题意．
此题考查二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征.理解二次函数的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】
解：如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=−5，
由图象可知关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1
∴−5
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，概率公式，用列举法求概率(列表法与树状图法)，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2−4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
【解答】
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
其中，有实数解的情况为：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；
使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为118．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=nm，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】
解：∵四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为34．
故选A．
6.【答案】C
【解析】 ∵在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有6种结果，
∴恰好能使△ABC的面积为1的概率为625．
故选C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法，概率公式.画树状图展示所有9种等可能结果数，再找出嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的结果数，利用概率公式计算即可．
【解答】
解：画树状图如图所示：
一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有5种，
故嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的概率是59．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
由题意可得−4k+b=0b=3，解得k=34b=3，
∴直线解析式为y=34x+3；
∵C(0,1)，
∴C′(2,1)，
∴直线C′F的解析式为y=−43x+113，
由y=−43x+113y=34x+3，解得x=825y=8125，
∴F(825,8125)，
∴C′F=(825−2)2+(8125−1)2=145
即CE+EF的最小值为145．
故选：C．
设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′，F点的坐标，即可求得CE+EF的最小值．
本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像与性质及抛物线的位置与a，b，c之间的关系等，熟练掌握运用二次函数的图像与性质及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线开口方向，与y轴的交点位置，及对称轴的位置判断①；把x=2代入函数解析式判断②；把抛物线与x轴的另一个交点坐标代入解析式，再根据a，b的关系判断③；④中的问题可利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性进行判断；利用抛物线的对称性及与二次函数与不等式的关系判断⑤．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，
∴a，b同号，
∴b>0，
∴abc<0，①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x,0)，由题意得，
对称轴x=−3+x2=−1，解得x=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=0，
当x=2时，y=4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y>0，即4a+2b+c>0， ②正确;
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
把b=2a代入a+b+c=0得3a+c=0， ③正确;
设抛物线上与点(−32,y1)的对称点为(x1,y1)，
由题意得12(−32+x1)=−1，
解得x1=−12，
∵−12<12，
根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1
设抛物线上与(0,c)对称的点的坐标为(x2,c)，
由题意得12(0+x2)=−1，解得x2=−2，
由题图可以看出，当y≤c时，−2≤x≤0， ⑤正确．
共有3个选项正确．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)．
由图象可知开口向下，所以a<0，由抛物线与y轴的交点可得c的符号，由函数图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，可得抛物线的对称轴及a和c的数量关系，根据函数的增减性可判断②的正确性．
【解答】
解：∵该函数图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交于y的正半轴，
∴c>0，
∴ac<0，故①错误；
∵抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，
∴对称轴为直线：x=−1+32=1，
∵该函数图象开口向下，
∴x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，故②错误；
∵图象经过点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，故④错误；
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故③正确．
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
解答此题要用到以下概念：
在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nAn逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p.由于频率总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0.
Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)．
【解答】
解：A.10次抛图钉的试验太少，错误；
B.概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；
C.概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；
D.根据概率的统计定义，可知正确．
故选D．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P(A)=1；P(B)=0；P(C)=0，
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A，
故选A．
13.【答案】3；18
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值，三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出小号四边形EFGH关于吨的函数关系式是解题的关键。
设运动时间为t(0≤t≤6)，则AE = t，AH = 6−t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积−4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后立即可以取代。
【解答】
解：设运动时间为t(0≤t≤6)，则AE = t，AH = 6−t，
根据题意得：S四边形EFGH = S正方形ABCD −4S △AEH = 6×6− 4× 12t(6−t)= 2t 2 −12t + 36 = 2(t−3) 2 +18，
∴当t = 3时，四边形EFGH的面积取取，使其为18。
故答案为：3；18
14.【答案】(3,0)
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3)、(2,3)两点，
∴对称轴x=0+22=1；
点(−1,0)关于对称轴对称点为(3,0)，
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3,0)．
故答案为：(3,0)．
根据(0,3)、(2,3)两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
15.【答案】49
【解析】解：当3k+1<0时，即k<−13时，y随x增加而减小，
又∵−3≤k≤3，
∴−3≤k<13，
∴得到的函数具有“y随x增加而减小”的一次函数的概率为−13−(−3)3−(−3)=49，
故答案为：49．
求出“y随x增加而减小”的一次函数k的取值范围，再根据k的取值范围占总取值范围的比值即可．
考查随机事件发生的概率，几何概率是常用的方法，即符合条件的部分占整体的比值．
16.【答案】12
【解析】[分析]
本题考查数轴上两点之间的距离和概率公式.先求出点P到点B的距离不大于1的点的线段的长，再求出AC的长，最后利用概率公式计算即可．
[解答]
解：如图
∵点P到距离不大于1的点在线段DE上，
∵DE=2，AC=4，
∴点P到点B的距离不大于1的概率是24=12．
故答案为12．
17.【答案】解：(1)抛物线的顶点坐标是(6,4.4)，
设抛物线的解析式是：y=a(x−6)2+4.4，
把(0,0.4)代入得36a+4.4=0.4，
解得a=−19，
则抛物线是y=−19(x−6)2+4.4；
(2)∵球门高为2.44米，即y=2.44，
则有2.44=−19(x−6)2+4.4，
解得：x1=10.2，x2=1.8，
从题干图2中，发现球门在CD右边，
∴x=10.2，
即足球运动的水平距离是10.2米；
(3)不后退时，刚好击中横梁，
∴往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当y=0时，
有0=−19(x−6)2+4.4，
解得：x1=6+35110，x2=6−35110，
取正值，x=6+35110，
∴后退的距离需小于6+35110−10.2=(35110−4.2)米
故0
(1)根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是(6,4.4)，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)求出当y=2.44时，x的值，取正；
(3)先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．
18.【答案】解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(x−50)2+25，
把(0,5)代入，得2500a+25=5，
解得a=−1125．
∴y=−1125(x−50)2+25=−1125x2+45x+5；
(2)石块不能飞越防御墙AB，理由如下：
把x=75代入y=−1125(x−50)2+25；
得y=20，
∵20<12+9，
∴石块不能飞越防御墙AB；
(3)设直线OA的解析式为y=kx，
把(75,12)代入得，k=425，
∴直线OA的解析式为y=425x，
过抛物线上的点M作MN⊥x轴交OA于N，
设M(m,−1125m2+45m+5)，则N(m,425m)，
∴MN=−1125m2+1625m+5，对称轴为x=−1625−2125=40，
∵a<0，在对称轴的左侧MN随x的增大而增大，
∴0≤x≤37.5时，a=37.5时，MN最大为714，
37.5
37.5
(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−50)2+25，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
(2)把x=75代入y=−1125x2+45x+5，求得y的值，与21作比较即可；
(3)用待定系数法求得OA的解析式为y=425x，设出点M和N的坐标，再用含a的代数式表示出MN，最后根据二次函数的性质求解即可．
19.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
20.【答案】解：(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，
所以转出的数字是−2的概率为26=13；
(2)列表如下：
−2
−2
1
1
3
3
−2
4
4
−2
−2
−6
−6
−2
4
4
−2
−2
−6
−6
1
−2
−2
1
1
3
3
1
−2
−2
1
1
3
3
3
−6
−6
3
3
9
9
3
−6
−6
3
3
9
9
由表可知共有36种等可能结果，其中数字之积为正数的有20种结果，
所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为2036=59．
【解析】(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，根据概率公式计算可得；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)因为每小题有四个选项，且只有一个选项就正确的，所以有三个选项是错误的，不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，所以P(两小题都答错)=916；
(2)小明有3种可能的解答方式，分别为①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16=16分;
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P(对)=14，P(错)=34
∴预期得分为：2×14−1×34+0+16=1534分;
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，所得的分数分别为9分，1分，−2分，相应的概率分别为：
得分值
9分
1分
−2分
概率
P(答对2题)=116
P(答对1题)=616
P(两题都答错)=916
∴预期得分为：9×116+1×616−2×916+16=151316．
∵1534<151316<16，
∴小明采用都不答的解答方式更有利．
【解析】本题考查用列表法或树状图求概率，理解题意是解题的关键．
(1)对于随机选择一个选项的做法，先用列表得到共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，可得结果；
(2)根据理解预期得分的意义分别计算①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择，三种选择的预期得分，可决定采用哪种做法．
22.【答案】解：(1)将点A(−3,−3)，B(1,−1)的坐标代入y=kx+b．
∴k+b=−1,−3k+b=−3.
∴k=12.b=−32.
∴y=12x−32．
联立y=ax2+2x−1与y=12x−32.则有2ax2+3x+1=0．
∵抛物线C与直线l有交点．
∴Δ=9−8a≥0.
∴a≤98且a≠0.
(2)当a=−1时.根据题意可得，y=−x2+2x−1．
∵a<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1．
∵m≤x≤m+2时，y有最大值−4，
∴当y=−4时.有−x2+2x−1=−4．
∴x=−1或x=3．
①当自变量x在对称轴x=1左侧时，y随x的增大而增大．
∴x=m+2=−1时y有最大值−4．
∴m=−3．
②当自变量x在对称轴x=1右侧时，y随x的增大而减小．
∴x=m=3时，y有最大值−4．
综上所述：m=−3或m=3．
(3)直线AB的表达式为y=12x−32．
抛物线与直线联立.得ax2+2x−1=12x−32．
即ax2+32x+12=0.若抛物线与直线有两个不同的交点，则
Δ=94−2a>0．
∴a<98且a≠0.
若抛物线与线段AB有两个不同的交点.则：
①当a<0时，a+2−1⩽−1,9a−6−1⩽−3,即a≤−2;
②当a>0时．a+2−1⩾−1,9a−6−1⩾−3,即a≥49．
∴a的取值范围为49≤a<98或a≤−2．
【解析】略
23.【答案】解：(1)二次函数图象的对称轴是x=−−4a2a=2；
(2)该二次函数的图象经过点(1,3)，
∴a−4a+3+b=3，
∴b=3a，
把b=3a代入4
∴a=2，则b=6，
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x+9；
当a<0时，4<−2a<9，则−92
∴a=−3或−4，
则对应的b=−9或−12，
∴二次函数的表达式为y=−3x2+12x−6或y=−4x2+16x−9；
(3)∵a>0，
则函数表达式为y=2x2−8x+9=2(x−2)2+1，
则函数顶点坐标为(2,1)，开口向上，
当t+1<2，即t<1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x=t+1时，y有最小值，
即2(t+1−2)2+1=32，
解得：t=12或t=32(舍)；
当t>2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x=t时，y有最小值，
即2(t−2)2+1=32，
解得：t=32(舍)或t=52；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为12或52．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
(1)由对称轴公式即可求解；
(2)观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
(3)分t<1，t>2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
24.【答案】解：(1)由题意，得a+b+1=04a+2b+1=1
解得a=1b=−2
所以，该函数表达式为y=x2−2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．
(2)由题意，得P=p2+p+1，Q=q2+q+1，
所以 P+Q=p2+p+1+q2+q+1
=p2+q2+4
=(2−q)2+q2+4
=2(q−1)2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1.所以 P+Q>6，得证．
【解析】(1)考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
(2)已知a=b=1，则y=x2+x+1.容易得到P+Q=p2+p+1+q2+q+1，利用p+q=2，即p=2−q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q=2(q−1)2+6≥6.最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．
第(2)小问的关键是利用p+q=2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
25.【答案】解：(1)令y=0，mx2−4mx+3m=0，
∵m≠0，
∴x2−4x−3=0，解得x1=3，x2=1，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)．
(2)∵该一次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值2．
∴4m−8m+3m=2．
∴m=−2，
∴y=−2x2+8x−6．
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值−6，
∴当1≤x≤4时，y的最小值为−6．
(3)当x=2时，代入y=mx2−4mx−3m，得y=−m，
当x=4时，代入y=mx2−4mx−3m，得y=3m，
当m>0时，m+42⩾−m,m+42⩽3m,解得m≥45，
当m<0时，m+42⩾3m,m+42⩽−m,解得m≤−43，
∴当m≤−43或m≥45时，抛物线y=mx2−4mx+3m与线段PQ有公共点．
【解析】略
浙教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列4个结论：①abc>0；②a+c>b；③4a+2b+c>0；④a+b≥am2+bm(m是任意实数).其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1
A. (0,2) B. (0,53) C. (0,43) D. (0,32)
4. 甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数，则满足关于x的方程x2+px+q=0有两个相等实数解的概率是( )
A. 13 B. 16 C. 112 D. 118
5. 四张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为( )
A. 34 B. 1 C. 12 D. 14
6. 如图，在边长为1的小正方形组成的4×4网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为( )
A. 424 B. 15 C. 625 D. 825
7. 2019年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加考试，嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的概率是
A. 13 B. 29 C. 19 D. 59
8. 如图，直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(−4,0)、B(0,3)，抛物线y=−x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=−x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是( )
A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3
9. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于(−3,0)，对称轴为x=−1.则下列结论：
①abc>0； ②4a+2b+c>0； ③3a+c=0；
④若(−32,y1)(12,y2)是图象上的两点，则y1>y2；
⑤若y≤c，则−2≤x≤0.其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.下列结论：①ac>0;②当x>0时，y随x的增大而增大;③3a+c=0;④b=2a.其中正确的是( )
A. ④ B. ③ C. ② D. ①
11. 以下说法合理的是( )
A. 小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B. 掷一枚骰子，掷出点6的概率是16，意思是每掷6次就有1次掷得点数为6
C. 某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖
D. 甲、乙两组同学分别进行抛掷硬币的试验，正面朝上的频率分别为0.48和0.51
12. 有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷(每个方格面积相同)，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区(包括有数字的方格)，则A、B、C三个方格中有地雷概率最大的方格是( )
A. A B. B C. C D. 无法确定
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动．在运动过程中，当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
14. 已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______．
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
15. 已知函数y=(3k+1)x+5(k为常数)，若从−3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而减小”的一次函数的概率为______．
16. 数轴上点A、B、C分别表示数2、4、6，在线段AC上任取一点P，使得点P到点B的距离不大于1的概率是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知，足球球门高2.44米，宽7.32米(如图1)在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD=4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系(如图2)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
(3)若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A′(如图3)，请直接写出m的取值范围．
18. (本小题8.0分)
如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB.已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5，OD=75，AD=12，AB=9．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
(3)分别求出0≤x≤37.5和37.5
19. (本小题8.0分)
在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果；
(2)若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
20. (本小题8.0分)
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)．
(1)转动转盘一次，求转出的数字是−2的概率；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
21. (本小题8.0分)
小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
(1)对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
22. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=ax2+2x−1(a≠0)和直线l:y=kx+b(k≠0)，点A(−3,−3)，B(1,−1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围;
(2)当a=−1，二次函数y=ax2+2x−1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为−4，求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
23. (本小题8.0分)
已知二次函数y=ax2−4ax+3+b(a≠0)．
(1)求出二次函数图象的对称轴；
(2)若该二次函数的图象经过点(1,3)，且整数a，b 满足4
24. (本小题8.0分)
在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数，a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)已知a=b=1，当x=p，q(p,q是实数，p≠q)时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若p+q=2，求证：P+Q>6．
25. (本小题8.0分)
已知二次函数y=mx2−4mx+3m(m≠0)．
(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标;
(2)若m<0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值;
(3)已知P(2,m+42)，Q(4,m+42)为平面直角坐标系中的两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解析：∵抛物线开口向下，
∴a<0；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b>0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①不符合题意；
当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，
∴b>a+c，所以②不符合题意；
当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，
∴a+b>m(am+b)，所以④符合题意．
此题考查二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征.理解二次函数的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】
解：如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=−5，
由图象可知关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1
∴−5
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，概率公式，用列举法求概率(列表法与树状图法)，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2−4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
【解答】
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
其中，有实数解的情况为：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；
使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为118．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=nm，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】
解：∵四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为34．
故选A．
6.【答案】C
【解析】 ∵在格点中任意放置点C，共有25种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有6种结果，
∴恰好能使△ABC的面积为1的概率为625．
故选C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法，概率公式.画树状图展示所有9种等可能结果数，再找出嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的结果数，利用概率公式计算即可．
【解答】
解：画树状图如图所示：
一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有5种，
故嘉嘉和淇淇至少有一人抽到生物学科的概率是59．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，
∴CE+EF=C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
由题意可得−4k+b=0b=3，解得k=34b=3，
∴直线解析式为y=34x+3；
∵C(0,1)，
∴C′(2,1)，
∴直线C′F的解析式为y=−43x+113，
由y=−43x+113y=34x+3，解得x=825y=8125，
∴F(825,8125)，
∴C′F=(825−2)2+(8125−1)2=145
即CE+EF的最小值为145．
故选：C．
设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′，F点的坐标，即可求得CE+EF的最小值．
本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图像与性质及抛物线的位置与a，b，c之间的关系等，熟练掌握运用二次函数的图像与性质及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线开口方向，与y轴的交点位置，及对称轴的位置判断①；把x=2代入函数解析式判断②；把抛物线与x轴的另一个交点坐标代入解析式，再根据a，b的关系判断③；④中的问题可利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性进行判断；利用抛物线的对称性及与二次函数与不等式的关系判断⑤．
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∵抛物线的对称轴在x轴的负半轴，
∴a，b同号，
∴b>0，
∴abc<0，①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x,0)，由题意得，
对称轴x=−3+x2=−1，解得x=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=0，
当x=2时，y=4a+2b+c，根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可知，y>0，即4a+2b+c>0， ②正确;
∵对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，
把b=2a代入a+b+c=0得3a+c=0， ③正确;
设抛物线上与点(−32,y1)的对称点为(x1,y1)，
由题意得12(−32+x1)=−1，
解得x1=−12，
∵−12<12，
根据抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大可得，y1
设抛物线上与(0,c)对称的点的坐标为(x2,c)，
由题意得12(0+x2)=−1，解得x2=−2，
由题图可以看出，当y≤c时，−2≤x≤0， ⑤正确．
共有3个选项正确．
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)．
由图象可知开口向下，所以a<0，由抛物线与y轴的交点可得c的符号，由函数图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，可得抛物线的对称轴及a和c的数量关系，根据函数的增减性可判断②的正确性．
【解答】
解：∵该函数图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交于y的正半轴，
∴c>0，
∴ac<0，故①错误；
∵抛物线经过点A(−1,0)，B(3,0)，
∴对称轴为直线：x=−1+32=1，
∵该函数图象开口向下，
∴x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，故②错误；
∵图象经过点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，故④错误；
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故③正确．
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
解答此题要用到以下概念：
在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nAn逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p.由于频率总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0.
Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)．
【解答】
解：A.10次抛图钉的试验太少，错误；
B.概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；
C.概率是反映事件发生机会的大小的概念，机会大也不一定发生，错误；
D.根据概率的统计定义，可知正确．
故选D．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率的求法与运用，根据已知得出右边2靠近B，C，此时B，C均不是地雷是解决问题的关键．根据图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，即可得出B，C均不是地雷，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意分析可得：B，C一定不是地雷，
∴A处是雷，则B，C处均不地雷，
P(A)=1；P(B)=0；P(C)=0，
故A、B、C三个方格中有地雷概率最大的是A，
故选A．
13.【答案】3；18
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的最值，三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出小号四边形EFGH关于吨的函数关系式是解题的关键。
设运动时间为t(0≤t≤6)，则AE = t，AH = 6−t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积−4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后立即可以取代。
【解答】
解：设运动时间为t(0≤t≤6)，则AE = t，AH = 6−t，
根据题意得：S四边形EFGH = S正方形ABCD −4S △AEH = 6×6− 4× 12t(6−t)= 2t 2 −12t + 36 = 2(t−3) 2 +18，
∴当t = 3时，四边形EFGH的面积取取，使其为18。
故答案为：3；18
14.【答案】(3,0)
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3)、(2,3)两点，
∴对称轴x=0+22=1；
点(−1,0)关于对称轴对称点为(3,0)，
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3,0)．
故答案为：(3,0)．
根据(0,3)、(2,3)两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
15.【答案】49
【解析】解：当3k+1<0时，即k<−13时，y随x增加而减小，
又∵−3≤k≤3，
∴−3≤k<13，
∴得到的函数具有“y随x增加而减小”的一次函数的概率为−13−(−3)3−(−3)=49，
故答案为：49．
求出“y随x增加而减小”的一次函数k的取值范围，再根据k的取值范围占总取值范围的比值即可．
考查随机事件发生的概率，几何概率是常用的方法，即符合条件的部分占整体的比值．
16.【答案】12
【解析】[分析]
本题考查数轴上两点之间的距离和概率公式.先求出点P到点B的距离不大于1的点的线段的长，再求出AC的长，最后利用概率公式计算即可．
[解答]
解：如图
∵点P到距离不大于1的点在线段DE上，
∵DE=2，AC=4，
∴点P到点B的距离不大于1的概率是24=12．
故答案为12．
17.【答案】解：(1)抛物线的顶点坐标是(6,4.4)，
设抛物线的解析式是：y=a(x−6)2+4.4，
把(0,0.4)代入得36a+4.4=0.4，
解得a=−19，
则抛物线是y=−19(x−6)2+4.4；
(2)∵球门高为2.44米，即y=2.44，
则有2.44=−19(x−6)2+4.4，
解得：x1=10.2，x2=1.8，
从题干图2中，发现球门在CD右边，
∴x=10.2，
即足球运动的水平距离是10.2米；
(3)不后退时，刚好击中横梁，
∴往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当y=0时，
有0=−19(x−6)2+4.4，
解得：x1=6+35110，x2=6−35110，
取正值，x=6+35110，
∴后退的距离需小于6+35110−10.2=(35110−4.2)米
故0
(1)根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是(6,4.4)，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)求出当y=2.44时，x的值，取正；
(3)先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．
18.【答案】解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(x−50)2+25，
把(0,5)代入，得2500a+25=5，
解得a=−1125．
∴y=−1125(x−50)2+25=−1125x2+45x+5；
(2)石块不能飞越防御墙AB，理由如下：
把x=75代入y=−1125(x−50)2+25；
得y=20，
∵20<12+9，
∴石块不能飞越防御墙AB；
(3)设直线OA的解析式为y=kx，
把(75,12)代入得，k=425，
∴直线OA的解析式为y=425x，
过抛物线上的点M作MN⊥x轴交OA于N，
设M(m,−1125m2+45m+5)，则N(m,425m)，
∴MN=−1125m2+1625m+5，对称轴为x=−1625−2125=40，
∵a<0，在对称轴的左侧MN随x的增大而增大，
∴0≤x≤37.5时，a=37.5时，MN最大为714，
37.5
37.5
(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−50)2+25，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
(2)把x=75代入y=−1125x2+45x+5，求得y的值，与21作比较即可；
(3)用待定系数法求得OA的解析式为y=425x，设出点M和N的坐标，再用含a的代数式表示出MN，最后根据二次函数的性质求解即可．
19.【答案】解：(1)树状图如图所示：
(2)方程x2−5x+6=0的解为x=2或者3，
若m，n都是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=2，n=2，或m=3，n=3，或m=2，n=3，或m=3，n=2
若m，n都不是方程x2−5x+6=0的解时，
则m=1，n=4，或m=4，n=4；
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2−5x+6=0的解的结果有4个，
m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，
∴小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出m，n都是方程x2−5x+6=0的解和m，n都不是方程x2−5x+6=0的解的结果数，然后根据概率公式求解．
20.【答案】解：(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，
所以转出的数字是−2的概率为26=13；
(2)列表如下：
−2
−2
1
1
3
3
−2
4
4
−2
−2
−6
−6
−2
4
4
−2
−2
−6
−6
1
−2
−2
1
1
3
3
1
−2
−2
1
1
3
3
3
−6
−6
3
3
9
9
3
−6
−6
3
3
9
9
由表可知共有36种等可能结果，其中数字之积为正数的有20种结果，
所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为2036=59．
【解析】(1)将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中转出的数字是−2的有2种结果，根据概率公式计算可得；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到乘积为正数的结果数，再利用概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)因为每小题有四个选项，且只有一个选项就正确的，所以有三个选项是错误的，不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，所以P(两小题都答错)=916；
(2)小明有3种可能的解答方式，分别为①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16=16分;
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P(对)=14，P(错)=34
∴预期得分为：2×14−1×34+0+16=1534分;
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，所得的分数分别为9分，1分，−2分，相应的概率分别为：
得分值
9分
1分
−2分
概率
P(答对2题)=116
P(答对1题)=616
P(两题都答错)=916
∴预期得分为：9×116+1×616−2×916+16=151316．
∵1534<151316<16，
∴小明采用都不答的解答方式更有利．
【解析】本题考查用列表法或树状图求概率，理解题意是解题的关键．
(1)对于随机选择一个选项的做法，先用列表得到共有16种等可能的结果，其中两题都答错的有9种结果，可得结果；
(2)根据理解预期得分的意义分别计算①两题都不答;②一题不答，一题随机选择;③两题都采用随机选择，三种选择的预期得分，可决定采用哪种做法．
22.【答案】解：(1)将点A(−3,−3)，B(1,−1)的坐标代入y=kx+b．
∴k+b=−1,−3k+b=−3.
∴k=12.b=−32.
∴y=12x−32．
联立y=ax2+2x−1与y=12x−32.则有2ax2+3x+1=0．
∵抛物线C与直线l有交点．
∴Δ=9−8a≥0.
∴a≤98且a≠0.
(2)当a=−1时.根据题意可得，y=−x2+2x−1．
∵a<0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1．
∵m≤x≤m+2时，y有最大值−4，
∴当y=−4时.有−x2+2x−1=−4．
∴x=−1或x=3．
①当自变量x在对称轴x=1左侧时，y随x的增大而增大．
∴x=m+2=−1时y有最大值−4．
∴m=−3．
②当自变量x在对称轴x=1右侧时，y随x的增大而减小．
∴x=m=3时，y有最大值−4．
综上所述：m=−3或m=3．
(3)直线AB的表达式为y=12x−32．
抛物线与直线联立.得ax2+2x−1=12x−32．
即ax2+32x+12=0.若抛物线与直线有两个不同的交点，则
Δ=94−2a>0．
∴a<98且a≠0.
若抛物线与线段AB有两个不同的交点.则：
①当a<0时，a+2−1⩽−1,9a−6−1⩽−3,即a≤−2;
②当a>0时．a+2−1⩾−1,9a−6−1⩾−3,即a≥49．
∴a的取值范围为49≤a<98或a≤−2．
【解析】略
23.【答案】解：(1)二次函数图象的对称轴是x=−−4a2a=2；
(2)该二次函数的图象经过点(1,3)，
∴a−4a+3+b=3，
∴b=3a，
把b=3a代入4
∴a=2，则b=6，
∴二次函数的表达式为y=2x2−8x+9；
当a<0时，4<−2a<9，则−92
∴a=−3或−4，
则对应的b=−9或−12，
∴二次函数的表达式为y=−3x2+12x−6或y=−4x2+16x−9；
(3)∵a>0，
则函数表达式为y=2x2−8x+9=2(x−2)2+1，
则函数顶点坐标为(2,1)，开口向上，
当t+1<2，即t<1时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而减小，
则当x=t+1时，y有最小值，
即2(t+1−2)2+1=32，
解得：t=12或t=32(舍)；
当t>2时，y在t≤x≤t+1上随x的增大而增大，
则当x=t时，y有最小值，
即2(t−2)2+1=32，
解得：t=32(舍)或t=52；
当1≤t≤2时，y在t≤x≤t+1上的最小值为1，故不符合；
综上：t的值为12或52．
【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
(1)由对称轴公式即可求解；
(2)观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
(3)分t<1，t>2，1≤t≤2三种情况分别根据函数的增减性和最小值得到关于t的方程，解之即可．
24.【答案】解：(1)由题意，得a+b+1=04a+2b+1=1
解得a=1b=−2
所以，该函数表达式为y=x2−2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．
(2)由题意，得P=p2+p+1，Q=q2+q+1，
所以 P+Q=p2+p+1+q2+q+1
=p2+q2+4
=(2−q)2+q2+4
=2(q−1)2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1.所以 P+Q>6，得证．
【解析】(1)考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
(2)已知a=b=1，则y=x2+x+1.容易得到P+Q=p2+p+1+q2+q+1，利用p+q=2，即p=2−q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q=2(q−1)2+6≥6.最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．
第(2)小问的关键是利用p+q=2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
25.【答案】解：(1)令y=0，mx2−4mx+3m=0，
∵m≠0，
∴x2−4x−3=0，解得x1=3，x2=1，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)．
(2)∵该一次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值2．
∴4m−8m+3m=2．
∴m=−2，
∴y=−2x2+8x−6．
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值−6，
∴当1≤x≤4时，y的最小值为−6．
(3)当x=2时，代入y=mx2−4mx−3m，得y=−m，
当x=4时，代入y=mx2−4mx−3m，得y=3m，
当m>0时，m+42⩾−m,m+42⩽3m,解得m≥45，
当m<0时，m+42⩾3m,m+42⩽−m,解得m≤−43，
∴当m≤−43或m≥45时，抛物线y=mx2−4mx+3m与线段PQ有公共点．
【解析】略
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