高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算教学设计

专题1.1 空间向量及其运算

一、空间向量的概念及运算

在空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量．空间向量的大小称为向量的     或     .空间向量一般用字母a，b，c…表示。

空间向量的加减运算，数乘运算.

二、空间向量的数量积运算

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量　　 　　　叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　 　　　,并规定零向量与任一向量的数量积为　　　 　,即　　 　　. 

一、长度   模

二、|a||b|cos θ       　|a||b|cos θ     　0    　0·a=0

1．空间向量的共线、共面

（1）共线定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb

（2）共面定理：若两个向量a，b不共线,则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据向量的线性运算

故选D

【名师点睛】本题考查了空间向量的线性运算与共线定理，关键注意向量的方向性，从而轻松解题．

已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.

【答案】-1

【解析】

∵2x•3y•4z•，

∴2x•3y•4z•，

∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面

∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1

∴2x+3y+4z＝﹣1

故答案为﹣1

【解题技巧】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，运用共面解决。．

2．空间向量数量积的运算

（1）a·b=|a||b|cos<a，b>

（2）a⊥b⇔a·b=0 (a，b为非零向量). 

（3）|a|2= a2,|a|=. 

已知a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且

，则实数k的值为___.

【答案】6

【解析】由，得，

∴，∴，∴.

故答案为：6.

【解题技巧】本题根据垂直向量的数量积为0，进行运算，主要考察空间向量的数量积运算，考察运算能力.

如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为，则对角线的长为______________

【答案】

【解析】在平行六面体中中，

因为各条棱长均为1，

共顶点A的三条棱两两所成的角为，

所以，

所以，

故

，

所以.

故答案为：.

【名师点睛】运用空间向量的数量积运算，以及向量模的计算，整体来看本题的求解相对比较容易，注意数形结合，空间立体感要强，对本题有很大的帮助.

3．忽略向量共线与共面的区别

给出下列命题:

①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;

②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;

③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;

④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.

其中为真命题的是　　　　. 

【错解】若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,它们三个一定共面,故②正确; 只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③不正确;据向量运算法则可知④正确.

故答案为②④

【错因分析】错解中忽略了空间向量共面定理，空间向量的共面和平面向量的共线是不一样的，不能混为一谈.

【正解】若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③不正确;据向量运算法则可知④正确.

【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意．

1．在下列命题中：

①若、共线，则、所在的直线平行；

②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；

③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；

④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.

其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知为空间任意一点，若，则四点（   ）

A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为(　　)

A．，－ B．－，－ C．－， D．，

4．如图，空间四边形中，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

6．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A． B．

C． D．

7．如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:

(1)    ;(2);(3)+.

8．如图6-39-5,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:

(1)E,F,G,H四点共面;

(2)BD∥平面EFGH.

9．如图，已知空间四边形，，分别是，的中点，则等于（    ）．

A． B． C． D．

10．己知，，是空向单位向量，且满足，若向量，.则在方向上的投影的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ）

A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点

C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点

12．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若，则是钝角

13．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（          ）

A． B．

C． D．

14．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

15．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是（ ）

A． B．

C． D．

16．如图，在菱形中，，分别是的中点，若线段有一点满足，则__________，______．

1．【答案】A

【解析】①若、共线，则、所在的直线平行或重合；所以①错；

②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；

③若、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；

④若三向量、、共面，若向量不在该平面内，则向量不能表示为，所以④错.

故选A.

2．【答案】B

【解析】由若 ，当且仅当 时， 四点共面．

，

而 故 四点共面，

故选B

3．【答案】A

【解析】由于，

所以.

故选A

4．【答案】C

【解析】因为，

又因为，

所以.

故选C

5．【答案】C

【解析】因为，所以，

在平行六面体中，

，

故选C

6．【答案】B

【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，

所以

，

即.

故选B.

7．【答案】见解析

【解析】∵P是C1D1的中点,

∴=++=a++

=a+c+=a+c+b.

(2)∵N是BC的中点,

∴=++=-a+b+

=-a+b+=-a+b+c.

(3)∵M是AA1的中点,

∴=+=+=-a+=a+b+c,

又=+=+=+=c+a,

∴+=+=a+b+c.

8．【答案】见解析

【解析】证明:(1)如图所示,连接BG,则=+

=+(+)

=++=+,

由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.

(2)因为=-=-=(-)=,且E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.

9．【答案】A

【解析】如图所示，，分别是，的中点，

连接，，

则，

所以.

故选A.

10．【答案】D

【解析】易得是空间中两两夹角为60°的单位向量.

如下图，

构造棱长为1的正四面体，使得，

在射线上取点，使得

设，则，由三点共线知在直线上.

由定义知在方向上的投影=

作点在平面上的射影.由最小角定理，当且仅当向量与向量同向时，最小，最大.

即.

故选D.

11．【答案】B

【解析】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，的中点，

，，则，

设，，

由与共线，可得，所以，所以，其中，

因为，

，

所以，所以，即是动点到直线的距离，

由空间两点间的距离公式可得，

所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，

由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.

故选：B

12．【答案】(,)

【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；

对于B中，若对空间中任意一点，有，根据空间向量的基本定理，可得四点一定共面，所以是正确的；

对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量，也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；

对于D中，若，又由，所以，所以不正确.

故选ABC.

13．【答案】D

【解析】

，，

故选

14．【答案】D

【解析】根据空间向量的线性运算可知

因为,，

则

即，

故选D.

15．【答案】B

【解析】如图所示，，

，，，，，

，

故选：．

16．【答案】；.

【解析】设，

在菱形中，分别是的中点，所以

，

又，所以，解得，

所以，

所以，

因为在菱形中，，

所以.

故答案为：；.