人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案

专题3.3 抛物线

一、抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:

(1)在平面内;

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等; 

(3)定点不在定直线上. 

二、抛物线的标准方程和几何性质

二、y2=2px(p>0)　 y2=-2px(p>0)　 x2=2py(p>0)　 x2=-2py(p>0)

1．抛物线的定义及标准方程

抛物线的定义：动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等.

抛物线的标准方程：y2=2px(p>0)　 y2=-2px(p>0)　 x2=2py(p>0)　 x2=-2py(p>0)

已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于

由抛物线的定义可得：，结合可知：，

即，据此可知抛物线的方程为：.

故选：D.

【名师点睛】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】依题意可得，设，

由得，

所以，，所以，，

因为为抛物线上一点，所以，解得.

故选：B.

【名师点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，计算要注意.

2．抛物线的几何性质

抛物线的性质：范围、对称性、焦距、离心率、准线方程；

抛物线与直线的位置关系问题的计算.

已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

故选：D

【名师点睛】抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.

已知双曲线的渐近线与抛物线交于点，直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则等于（    ）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5

【答案】C

【解析】双曲线，

双曲线的渐近线方程为，不妨取，

双曲线渐近线与抛物线交于点，则将点A代入可得，

将点A代入抛物线方程可得，则，

所以抛物线，焦点坐标为，

直线AB过抛物线M的焦点，则由A和焦点坐标可得直线AB的方程为，

直线AB与抛物线交于，

联立抛物线方程，化简可得，

则，

所以，

故选：C.

【解题技巧】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法.

3．直线与抛物线的位置关系问题

　若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为　　　　. 

【错解】由得k2x2+(4k-8)x+4=0,

由题意有Δ=-64k+64=0,

解得k=1.

【错因分析】本题忽略了直线与抛物线的位置关系中的特殊情况，即与抛物线对称轴平行的情况.

【正解】由得k2x2+(4k-8)x+4=0,

则当k=0时,方程只有一个解,满足条件;

当k≠0时,由题意有Δ=-64k+64=0,

解得k=1.

综上知,k的值为0或1.

【名师点睛】抛物线不是封闭的曲线，当直线与抛物线的对称轴平行的时候，直线与抛物线的交点也可以是一个，解题时不可以忽略.

1．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()

A． B． C． D．或

2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（    ）

A． B． C． D．1

3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．2

4．已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

5．设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程为

B．抛物线的焦点坐标为

C．点B的坐标为

D．的面积为8

7．设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，．若以为直径的圆过点，则抛物线C的方程可能为（    ）

A． B． C． D．

8．已知为抛物线上一点，抛物线的焦点为，则______.

9．已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，轴被所截得的弦长为4，则=________.

10．已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．

（1）求曲线C的方程．

（2）过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积

11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

12．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m等于(　　)

A．  B．2

C．  D．3

13．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

14．已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（      ）

A．8 B．11 C．13 D．16

15．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（    ）

A． B． C．3 D．9

16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（    ）

A．的准线方程为 B．点的坐标为

C． D．三角形的面积为（为坐标原点）

17. 已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则点的横坐标为4

B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为

C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为

D．周长的最小值为

18. 已知抛物线的焦点为，准线为，：过点且与相切，则______.

19. 已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为__________.

20. 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

21.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.

（1）若，求的方程；

（2）若，求.

22. 【2019年高考浙江】如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.

（1）求的值及抛物线的标准方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标.

23. 【2019年高考北京】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

24. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=

A．2  B．3 

C．6  D．9

25. 【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线

A． 经过点 B． 经过点

C． 平行于直线 D． 垂直于直线

26. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

1．【答案】B

【解析】根据题意设出抛物线的方程，

因为点在抛物线上，

所以有，解得，

所以抛物线的方程是：，

故选B.

2．【答案】C

【解析】因为抛物线的焦点为，

双曲线的渐近线为，

所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，

又因为，所以，

故选：C.

3．【答案】B

【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，

所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，

故选：B．

4．【答案】C

【解析】抛物线（）的准线方程为，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，

圆心到准线的距离为，所以有，解得.

故选：C.

5．【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为，由于，

根据抛物线的定义可知，

将代入抛物线方程得，

所以.

故选：C

6．【答案】ABD

【解析】将代入抛物线方程可得，

因此抛物线方程为，

所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；

易知轴，所以，故C错误；

又因为，所以，故D正确．

故选：ABD

7．【答案】AC

【解析】由题意可知，抛物线C的焦点，

设点，抛物线C上点，则，．

因为以为直径的圆过点，所以，

即解得，．

由得．

又，解得或，

则抛物线C的方程为或．

故选：AC．

8．【答案】

【解析】由为抛物线上一点，

得，可得.

则.

故答案为：.

9．【答案】1或3

【解析】由已知得圆心在抛物线上，所以；

又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则，

所以，

因为轴被所截得的弦长为，

根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；

所以，故.

所以，即，所以或，故或.

故答案为：1或3.

10．【答案】（1）（2）

【解析】（1）由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线

∴∴

所以曲线的方程为

（2）联立得

.

11．【答案】C

【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，

设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，

联立抛物线与切线方程，转化得，

，解得，

当时，直线方程为，

，解得，则，

因为，所以，解得；

当时，同理得，

综上所述，抛物线方程为，

故选：C.

12．【答案】A

【解析】∵A,B两点关于直线y＝x＋m对称，

∴可设直线AB的方程为y＝－x＋b，

由消去y整理得2x2＋x－b＝0，

∵直线AB与抛物线交于两点，

∴Δ＝1＋8b＞0，解得．

又由题意得，

∵，

∴b＝1，满足题意．

设A，B的中点为P(x0，y0)，

则，

∴，

又点在直线y＝x＋m上，

∴，解得．

故选A．

13．【答案】A

【解析】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，

则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.

设，圆：，圆心为，半径为1，

则，

当时，有最小值，故最小值为.

故选：.

14．【答案】C

【解析】抛物线中p＝3，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，

又线段AB中点M的横坐标为5，

∴＝10，

∴|AF|+|BF|＝13；

故选：C.

15．【答案】B

【解析】由题意，抛物线的焦点为，

因为，可得,

如图所示，过点作直线于点，则，

所以在直角中，，所以，

所以直线的方程为，

联立，整理得，解得或，

由抛物线的定义可知.

故选：B.

16．【答案】ACD

【解析】如图，不妨设点位于第一象限，

设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.

由抛物线的解析式可得准线方程为，

点的坐标为，则，，

在直角梯形中，中位线，

由抛物线的定义有，结合题意，有，

故，，.

故选：ACD.

17. 【答案】ACD

【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，

因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，

选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；

选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；

选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；

选项D：因为的周长为，所以选项D正确.

故选：ACD

18. 【答案】2或6

【解析】在上

所以，即（1），

和与相切，（2），

由（1）（2）得，所以或

故答案为：2或6.

19. 【答案】

【解析】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．

设点，的中点为，则

两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，

可得.

故答案为：．

20. 【答案】（1）    （2）证明见解析

【解析】（1）设，根据抛物线的定义可得

又轴于点，则

，所以 ，则

所以，由在抛物线上，，解得

所以抛物线的方程为

（2）证明：点在抛物线上.

设的方程为：，

由 得

所以，整理得

将代入得，即.

所以直线恒过定点

21. 【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线的方程为，设，，

联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.

（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，

.

22. 【答案】（1）1，；（2），.

【解析】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.

(2)设，

设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：

，故：，

，

设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：

，，

令可得：，则.即，

由斜率公式可得：，

直线AC的方程为：，

令可得：，

故，

且，

由于，代入上式可得：，

由可得，则，

则

.

当且仅当，即，时等号成立

此时，，则点G的坐标为.

23. 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)见解析.

【解析】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

24. 【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C．

25. 【答案】B

【解析】如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：B．

26.【答案】

【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得  

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：